河北省张家口桥西区第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

张家口桥西区第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
!异常的公式结尾回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在空间直角坐标系中，点，点，则向量 （ ）
A． B． C． D．
2．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1C．k33．已知，，且，则向量与的夹角为
A． B． C． D．
4．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合
5．若直线l的方向向量为＝(1，0，2)，平面α的法向量为＝(－2，1，1)，则（ ）
A．l//α B．l⊥α C．l α或l//α D．l与α斜交
6．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于
A． B． C． D．
7．圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2＝2x的准线和双曲线的渐近线都相切，则圆心的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．
8．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
2、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果向量、与平面共面，且向量满足，，那么就是平面的一个法向量
12．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为（ ）
A． B．－ C．4＋ D．4－
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是_______．
14．已知，且满足，则的最小值为__________．
15．若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则_______.
16．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
（1）已知直线经过点且与直线垂直，求直线的方程.
（2）已知直线与轴，轴分别交于两点，的中点为，求直线的方程.
18．(12分)
已知动圆过点，且与直线：相切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若过点且斜率的直线与圆心的轨迹交于两点，求线段的长度．
19．(12分)
如图，四棱锥中，是边长为2的正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．(12分)
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）从圆C外一点P( x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程.
21．(12分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m，交椭圆于A，B两个不同点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
22．(12分)
已知双曲线的左右两个焦点分别为，点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时，，求双曲线的方程；
（Ⅱ）若，求双曲线离心率的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程.
张家口市第一中学2021-2022学年第一学期期中考试
高二数学评分标准
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D D D C D C A AD BC ABC CD
13． 或 （写出一个即可）
14． 15． 16．
17．（1）直线的斜率，则，
故直线的方程为； ……………………………………………………………. 5分
（2）设，的中点为，知，
则直线的方程为． ……………………………………………………. 10分
18.（1）圆过点，且与直线相切
点到直线的距离等于
由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点、以为准线的抛物线，
依题意，设点的轨迹方程为，则，解得，
所以，动圆圆心的轨迹方程是． ……………………………………………………………. 6分（2）依题意可知直线，设
联立，得，则，
所以，线段的长度为．…………………………………………. 12分
19．（1）连接，
∵是正方形，是的中点，∴是的中点，
∵是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面 .…………..………………. 4分
（2）建立如图所示空间直角坐标系，因为，
则，，，，
，，， ……………………………………. 6分
设平面的法向量，则，
取得， ……………………………………. 10分
设与平面所成角为，
则 ……………………………. 12分
20．（1）圆C标准方程为，则圆心，半径为，
令，则有，解得或.
∴直线l的方程为或 .……………………….………………. 6分
（2）由圆上切点的性质知：，由|PM|＝|PO|，
∴，整理得.
故点P的轨迹方程为 .…………………………………………………. 12分
21．（1）设椭圆方程为，由题意可得 ，解得， ∴椭圆方程为； ………………………………………………..……………. 2分
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m，，
所以设直线的方程为，
由消元，得
∵直线l与椭圆交于A，B两个不同点，
所以，解得，
所以m的取值范围为 .…………………………….…………………. 6分
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可，
设，由（Ⅱ）可知，
则，
由，
而
，，
故直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形 .………….……………………. 12分
22．（Ⅰ）由题意知，， ，
，
解得 .
由双曲线定义得:
所求双曲线的方程为: ……………………………….………………. 4分
（Ⅱ）设，，.
(1)当时， ，且 ，
，
此时 .………………………………………………. 6分
(2)当，由余弦定理得:
，
，， …………………………………………………………. 10分
综上，的最大值为2，但无最小值.
此时，
此时双曲线的渐近线方程为 .………………………….…………………. 12分
（其他方法酌情给分）