2021年人教版八年级数学上册11.2.1第1课时 三角形的内角和教学课件（28张）

(共28张PPT)
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角和
人教版 数学 八年级 上册
学习目标
会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180°.（重点）
会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
我的形状最小， 那我的内角和 最小.
我的形状最大， 那我的内角和最 大.
不对，我有一个钝 角，所以我的内角 和才是最大的.
导入新课
情境引入
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请 同学们作为小判官给它们评判一下吧.
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的 形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
折叠
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为
180°呢
还可以用拼接的方法， 你知道怎样操作吗？
还有其他的拼接方 法吗？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过 程，你能发现证明的思路吗？
讲授新课
三角形的内角和定理的证明
一
探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
l
三角形三个内角的和等于180°.
验证结论
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作
CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一 个平角.
A
1
2
3
4
C
5
l
C
B
A
1
2
3
4
5
l
P
6
m
CB
B
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
1
2
知识要点
作辅助线
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平 面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补 等，这种转化思想是数学中的常用方法.
A
B
C
D
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,
AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= 1 BAC=20 °.
∠
2
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
三角形的内角和定理的运用
二
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝
70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
1
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ 2∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交
AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
4
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，
∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ，x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这 是一个重要的数学思想.
△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
1
1
【变式题】在△ABC中，∠A＝ 2 ∠B＝ 3 ∠ACB，CD是
比例关系可考虑用 方程思想求角度.
解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求 出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即 可求得∠DCE的度数．
解：∵∠A＝
∠B＝ ∠ACB，
1
1
2 3
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
1
∴∠ACE＝ 2×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
三角形 .
练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C=102°.
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
直角
∠A= 60°，
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则
∠ B= 50°，∠ C= 70°.
.
A
D 北
C.
.
B
东
北 E
三角形的内角和定理也常常用在实际问题中.
例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏 东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛
的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多 少度？
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°
=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°
-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
C.
B
.
东
E
【变式题】如图，B岛在A岛的南偏西40°方向，C岛在A岛 的南偏东15°方向，C岛在B岛的北偏东80°方向，求从C岛 看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
解：如图，
由题意得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，
∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．
D
E
当堂练习
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=
.
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280 °
3.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，
∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
4.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求
∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD= 1∠BAC=30°，
2
∴∠ADC=180°-∠B-∠CAD=72°.
5.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若
∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
∴∠PBC+∠PCB= 1 ∠ABC+∠ACB）=60°．
（
2
拓 展
课堂小结
三 角 形 的 内 角 和 定 理
内 容
证 明 了解添加辅助线的方法 及 其 目 的
三 角 形 内 角 和 等 于 1 8 0 °
谢谢观看
Thank You