2021年人教版八年级数学上册11.2.2三角形的外角教学课件（33张）
文档属性
| 名称 | 2021年人教版八年级数学上册11.2.2三角形的外角教学课件（33张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-10 19:42:33 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
人教版 数学 八年级 上册
学习目标
理解并掌握三角形的外角的概念．
能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和．（重点）
会利用三角形的外角性质解决问题.
导入新课
复习引入
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °.
B
C
D
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= 48 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= 50 ° ，∠ACD= 130° .
A
B
C
A
O
●
40 °
D
？
●
70 °
●
问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方 式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的 去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ，
∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
B
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
D
A
O
●
40 °
？
C
70 °
●
由三角形内角和易得
∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70 ° ， 所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
讲授新课
三角形的外角的概念
一
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边 与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
A
D
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不 是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ ACD 与∠ BCE 为对顶角，∠ ACD =∠ BCE ；
B C D
A
∠BCE是△ABC的一个外角，
∠DCE不是△ABC的一个外
角.
E
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少
个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外 角．
每一个顶点相对应的外 角都有2个，且这2个角为 对顶角.
C
B
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延A 长线.
D
∠ACD是△ABC的一个外角 每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
F
B
C
D
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
三角形的外角
A
B
D
C
相邻的内角
三角形的外角的性质
二
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B) 有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明 此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
A
B
C
D
(
(
(
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
B
C
D
(
(
(
A
80 °
60 °
(
2
1
(1)
B
C
(
(
(
2
1
50 °
A
32 °(
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
F
A
解： ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
C ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
D
E
B
典例精析
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用 外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
B
C
D
(
(
(
A
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结 论？
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，
把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ， 试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外 角大于与它 不相邻的内 角.
三角形的外角和
三
例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法 吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
B
C
1
2
3
4
A
M
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
∠2＝ ∠BAM，
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ 结论：三角形的外角和等于360°.
D
E
F
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （
三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （
三角形的一个外角等于两个内角的和. （
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
）
）
）
三角形的一个外角大于任何一个内角. （
三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于
（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63° C.37° D.60°
A
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
的外角,也是△ADE 的外角；
3.（1）如图，∠BDC是_△A_D_C
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，
∠BAC=70°，求：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
1
2
40 ,
所以 B 80
在△ABC中，
C
D
B
C
D
E
1
2
F
G
∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180 .
能力提升：
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
1
2
B
A
C
N 3
M
D
E
P F
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
= 3_6_0_°_.
课堂小结
三角形的 外角
定 义
角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线
性 质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和
三角形的外 角 和
三角形的外角和等于360 °
谢谢观看
Thank You
第十一章 三角形
11.2.2 三角形的外角
人教版 数学 八年级 上册
学习目标
理解并掌握三角形的外角的概念．
能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和及三角形的内角和．（重点）
会利用三角形的外角性质解决问题.
导入新课
复习引入
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 它们的和是180 °.
B
C
D
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= 48 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
则∠ACB= 50 ° ，∠ACD= 130° .
A
B
C
A
O
●
40 °
D
？
●
70 °
●
问题：发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方 式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的 去路，红太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ，
∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
B
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
D
A
O
●
40 °
？
C
70 °
●
由三角形内角和易得
∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70 ° ， 所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
讲授新课
三角形的外角的概念
一
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边 与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
A
D
问题1 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不 是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ ACD 与∠ BCE 为对顶角，∠ ACD =∠ BCE ；
B C D
A
∠BCE是△ABC的一个外角，
∠DCE不是△ABC的一个外
角.
E
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少
个外角？
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢
每一个三角形都有6个外 角．
每一个顶点相对应的外 角都有2个，且这2个角为 对顶角.
C
B
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延A 长线.
D
∠ACD是△ABC的一个外角 每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
F
B
C
D
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
A
∠BEC是△AEC的外角;
E
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
三角形的外角
A
B
D
C
相邻的内角
三角形的外角的性质
二
问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B) 有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明 此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
A
B
C
D
(
(
(
三角形内角和定理的推论
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
B
C
D
(
(
(
A
80 °
60 °
(
2
1
(1)
B
C
(
(
(
2
1
50 °
A
32 °(
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
F
A
解： ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
C ∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
D
E
B
典例精析
例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用 外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
B
C
D
(
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A
51 °
20 °
30 °
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结 论？
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，
把未知角与已知角联系起来求解.
总结
如图 ，试比较∠2 、∠1的大小；
如图 ， 试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小.
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
图
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外 角大于与它 不相邻的内 角.
三角形的外角和
三
例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法 吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
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D
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A
M
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
∠2＝ ∠BAM，
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360°
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ 结论：三角形的外角和等于360°.
D
E
F
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （
三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （
三角形的一个外角等于两个内角的和. （
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
）
）
）
三角形的一个外角大于任何一个内角. （
三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于
（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63° C.37° D.60°
A
(2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
的外角,也是△ADE 的外角；
3.（1）如图，∠BDC是_△A_D_C
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，
∠BAC=70°，求：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
解：因为∠ADC是△ABD的外角. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
1
2
40 ,
所以 B 80
在△ABC中，
C
D
B
C
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G
∴∠1=∠B+ ∠E, 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180 .
能力提升：
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
A
解：∵∠1是△FBE的外角,
1
2
B
A
C
N 3
M
D
E
P F
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
= 3_6_0_°_.
课堂小结
三角形的 外角
定 义
角一边必须是三角形的一边，另一边 必须是三角形另一边的延长线
性 质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和
三角形的外 角 和
三角形的外角和等于360 °
谢谢观看
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