2021年人教版八年级数学上册12.3第2课时 角平分线的判定教学课件（26张）

(共26张PPT)
第十二章 全等三角形
12.3 角平分线的判定
人教版 数学 八年级 上册
学习目标
理解角平分线判定定理.(难点）
掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）
学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
导入新课
复习回顾
P到OB的距离
P到OA的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
1.叙述角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
不必再证全等
O
D
P
A
C
B
E
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角 的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
角平分线的判定
一
P
A
O
B
C
D
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这
个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
猜想:
E
思考：这个结论正 确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
证明： 作射线OP， ∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△PDO和Rt△PEO 中
OP=OP（公共边） PD= PE（已知 ）
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
证明猜想
P
A
O
B
C
D
E
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：
位置关系：点在角的内部；
数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识总结
典例精析
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰ 20000）？
D
C
S
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等， 一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要 求取点.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
二
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每 组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结 论吗？
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂 直于AB，BC，CA，垂足分别为D， E，F.
∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
C
B
N
MM
PP
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角
平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离 相等.
D
E
A
B
P
N
F
M
C
变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平 分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC, 若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
E
N
A
B
C
P
O
D M
解：连接OC
S ABC S AOC S BOC S AOB
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2 2 2
1 OM ( AB BC OM ) 2
1 4 32 64
2
变式1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分
∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,
若OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
E
N
A
B
C
P
O
D M
ch
2
1
s
距离 面积 周长
应用角平分线性质：
存在角平分线
条件
涉及距离问题
联系角平分线性质：
知识与方法
D．140°
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到
△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数 为( A )
A．110° B．120° C．130°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
2
所以有∠CBO＝ ∠ABO＝ ∠ABC，1
2
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB1 ，
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角 形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
方法总结
归纳总结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形 C P
C
P
已知 条件 OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE OP平分∠AOB
当堂练习
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、 OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB 的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC 于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等， 判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
(
(
(
(
3
1
D F
2
4
P
3.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB， 点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
4.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FH⊥AD，
FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FM⊥BC，
∴FM＝FH， ∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
M
A
C
F
E
B H D
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物 中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处 画 出它的位置.
l 1
l 3
l 2
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂小结
角平分线
的判定定理
内 容
角的内部到角两边距离相等的点在这 个角的平分线上
作 用
判断一个点是否在角的平分线上
结
论
三角形的角平分线相交于内部一点
谢谢观看
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