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课时5.1 相交线
知识链接
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2
邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180°
【注意事项】1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
典例与变式
典例1．（2020·河南临颍·七年级期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有( )
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
变式1-1．（2020·陕西·咸阳七年级期中）三条直线相交，交点最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1-2．（2020·湖北巴东·七年级期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么n条直线最多有( ) 个交点
A．2n－3 B． C． D．n(n－1)
变式1-3．（2020·贵州桐梓·七年级期末）下列几个图形与相应语言描述相符的个数有（ ）
延长线段 直线相交于点 点在直线上 过点画直线
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
典例2．（2020·黑龙江南岗·七年级期末）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
变式2-1．（2020·山东沂水·七年级期中）过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（ ）
A．B．C． D．
变式-2．（2020·福建·厦门市七年级期中）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A． B． C． D．
变式2-3．（2020·四川·绵竹市七年级期中）同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
典例3．（2020·北京东城·七年级期末）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
变式3-1．（2020·山东·东埠初中七年级期中）如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
变式3-2．（2020·四川成华·七年级期末）如图，在线段、、、中，长度最小的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
变式3-3．（2020·湖南澧县·七年级期末）在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
典例4．（2020·四川平昌·七年级期末）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( )
A． B． C． D．
变式4-1．（2020·湖北·赤壁市第五初级中学七年级期中）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C．D．
变式4-2．（2020·内蒙古海南·七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝100°，则∠BOC等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
变式4-3．（2020·江西·南昌市七年级期中）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A．90° B．120° C．180° D．360°
典例5．（2020·江西大余·七年级期末）下面四个图形中，与是邻补角的是( )
A．B．
C．D．
变式5-1．（2020·河北新乐·七年级期末）如图，直线m、n相交，则∠1与∠2的位置关系为（ ）
A．邻补角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
变式5-2．（2020·江苏建湖·七年级期中）如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A．与是邻补角 B．与是对顶角
C．与是内错角 D．与是同位角
变式5-3．（2020·北京市朝阳区陈经纶中学分校实验学校七年级期中） 下列图形中，∠1与∠2不是互补关系的是（ ）
A． B．C．D．
典例6．（2020·云南祥云·七年级期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).
A．35° B．70°
C．110° D．145°
变式6-1．（2020·内蒙古·奈曼旗新镇七年级期中）如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）
A．20 B．25° C．30° D．70°
变式6-2．（2020·湖北省武汉市七年级期中）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=30°，则∠BOC=（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
变式6-3．（2020·广西陆川·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
典例7．（2020·河南辉县·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角
C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角
变式7-1．（2020·浙江浙江·七年级期中）如图，∠B的同位角可以是
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
变式7-2．（2020·河南·洛阳市七年级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
变式7-3．（2020·山西寿阳·七年级期中）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
变式7-4．（2020·河南平舆·七年级期中）如图，下列说法错误的是( ).
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
变式7-5．（2020·山东罗庄·七年级期末）如图，图中∠1与∠2是同位角的是( )
A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
综合提升及变式练习
1．平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3
2．在以下三个命题中，正确的命题有（ ）
①a，b，c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c相交
②a，b，c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
③若∠α与∠β互补，∠β与∠γ互补，则∠a与∠γ互补
A．② B．①② C．②③ D．①②③
3．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )
A．30° B．34° C．45° D．56°
4．如图所示，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补
5．如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
6．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
7．若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )
A．互相垂直 B．互相平行
C．既不垂直也不平行 D．不能确定
8．如图，若AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，则下列结论不正确的是( )
A．∠EOC与∠BOC互为余角 B．∠EOC与∠AOD互为余角
C．∠AOE与∠EOC互为补角 D．∠AOE与∠EOB互为补角
9．如图，点O在直线DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．150° B．120° C．110° D．100°
10．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
11．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是( )
A．∠1与∠2是邻补角 B．∠1与∠3是对顶角
C．∠2与∠4是同位角 D．∠3与∠4是内错角
12．如图，不能判断的条件是（ ）
A． B． C． D．
13．平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ________ ．
14．平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若n条直线相交，最多有__个交点．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=34°，则∠BOD为______．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE丄AB于O， ∠DOE=35°，则∠AOC=______．
17．如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是_____，理由_____．
19．如图，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于______，∠3的内错角等于______，∠3的同旁内角等于______．
20．如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．
21．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．
22．如图，直线AB、CD、MN相交于点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
23．如图，平面上四个点A，B，C，D，按要求完成下列问题：
（1）画射线与直线相交于E点；
（2）在直线上找一点M，使线段最短，并说明理由．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，
(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；
(2)若，且=2：3，求的度数.
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
26．根据图形填空：
（1）若直线被直线所截，则和_____是同位角；
（2）若直线被直线所截，则和_____是内错角；
（3）和是直线被直线______所截构成的内错角；
（4）和是直线，______被直线所截构成的_____角．
27．两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和是内错角．
（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；
（2）若、，求，的度数
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数学（人教版）
七年级 下册
5.1.1相交 线
第五章 相交线与平行线
2022春人教版七下数学同步精品教学课件
学习目标
学习目标
1、在具体的情境和图片中找出相交线。
2、理解邻补角和对顶角的概念。
3、探索相交线对顶角之间的关系。
重点
理解邻补角和对顶角的概念。
难点
探索相交线对顶角之间的关系。
情景引入
情景引入
观察下图，你发现了什么？
探索与思考
纸上任意画两条相交直线，尝试用量角器测量所得角的度数，你发现了什么？
1
2
3
4
1）∠1______∠2
2）∠3______∠4
3）∠1+∠3=______
3）∠2+∠4=______
=
=
180°
180°
O
【思考】∠2与∠3， ∠1与∠4之间有什么关系吗？
邻补角
如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
1
2
3
4
【想一想】∠1与那个角互为邻补角？∠2呢？
对顶角
如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这两个角叫对顶角。
尝试证明：∠1=∠2？
∵直线AB、CD相交于点O
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°
∴∠1=180°- ∠3， ∠2 =∠180°- ∠3
∴ ∠1=∠2，同理∠3=∠4
1
2
3
4
D
A
B
C
对顶角的性质：对顶角相等
O
邻补角与对顶角的联系与区别
名称 特征 性质 相同点 不同点
对顶角
邻补角 1.两条直线相交而成的角
2.有一个公共顶点
3.没有公共边
1.两条直线相交而成的角
2.有一个公共顶点
3.有一条公共边
对顶角
相等
邻补角
互补
由两条直线相交
而成的角，
都有一个
公共顶点，
他们都成
对出现
1.对顶角没有公共边，邻补角有一条公共边。
2.两条直线相交时，一个角的对顶角有一个，而一个角的邻补角有两个。
小结
注意事项
1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；
反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；
反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
基础练习
典例1、当∠1=25°时，求∠2，∠3，∠ 4的度数；
1
2
3
4
解：由邻补角的定义，得
∠3=180°-∠1=180°-25°=155°
由对顶角的性质，得∠2 =∠1 =25°，∠3 =∠4 =155°
基础练习
变式1-1 当∠1=n°时，求∠2，∠3，∠4的度数；
1
2
3
4
解：由邻补角的定义，得∠3=180°-∠1=180°- n°
由对顶角的性质，得∠2 =∠1 = n°，∠3 =∠4 =180°- n°
基础练习
变式1-2.当∠3是∠1的8倍时, 求∠1，∠2，∠3，∠4的度数；
1
2
3
4
解：由邻补角的定义，得
∠3+∠1=180°而∠3是∠1的8倍
解得，∠1=20°，∠3=160°
由对顶角的性质，得
∠2 =∠1 =20°，∠3 =∠4 =160°
基础练习
典例2.如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2=90°，则∠BOC的度数是（ ）
A．100° B．115°
C．135° D．145°
【答案】C
【详解】
解：∵∠1=∠2，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠BOC=135°，
故选C．
基础练习
典例3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠DOB，若∠AOC=40 ，求∠AOE的度数.
解：∵∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝180° ∠AOC＝140°，∠DOB＝∠AOC＝40°，
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠DOB＝20°，
∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝140°＋20°＝160°．
基础练习
典例4．直线AB、CD、EF交于点O，则∠1+∠2+∠3=_____度．
【答案】180
【详解】
解：如图，∠BOD=∠1，
∵∠2+∠3+∠BOD=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°．
故答案为：180
提高练习
1．如图，直线AB、CD、EF相交于点O，其中AB⊥CD，∠1：∠2=3:6，则∠EOD=（ ）
A．120° B．130° C．60° D．150°
【答案】D
【详解】
根据对顶角的性质可知∠1=∠DOF，
然后由平面直角坐标系可知∠DOB=90°=∠DOF+∠2，
可知∠1+∠2=90°，
再由∠1：∠2=3:6，
可求得∠2=60°，
因此可知∠AOE=60°，
从而求得∠EOD的度数为150°.
故选D
提高练习
2．如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE＝∠COE，∠DOE＝72°.则∠COE的度数是( )
A．36° B．72° C．44° D．56°
【答案】B
【详解】
解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=（180°-3x），
则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+（180°-3x）=72°，
解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．
故选：B．
提高练习
3．有公共顶点且有公共边的两个角的平分线互相垂直，这两个角是( )
A．对顶角 B．互为补角 C．互为邻角 D．互为邻补角
【答案】D
【详解】
解：如图：
OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OD⊥OE，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC= (∠AOC+∠BOC)，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOC+∠BOC =180°，
即∠AOC和∠BOC互为邻补角．
故选D．
课后回顾
理解邻补角的概念
01
课后回顾
理解对顶角的概念和性质
02
利用邻补角和对顶角的知识解决简单几何问题
03
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课时5.1.1 相交线
知识链接
知识点一 垂线
直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
【注意事项】线段与线段及射线与射线互相垂直，是指它们所在的直线互相垂直。
垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角。
3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【注意事项】垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
知识点二 相交线中的角
第一种 邻补角与对顶角
种类 图形 顶点 边的关系 大小关系
对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2
邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180°
【注意事项】1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
第二种 同位角、内错角与同旁内角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对。
【速记同位角、内错角与同旁内角】
典例与变式
典例1．（2020·河南临颍·七年级期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有( )
A．21个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
【答案】C
【提示】
试题提示：由题意两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点，根据这个规律即可求得结果.
【详解】
由题意得六条直线最多有个交点，故选C.
变式1-1．（2020·陕西·咸阳七年级期中）三条直线相交，交点最多有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【提示】
三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．故可得答案．
【详解】
三条直线相交时，位置关系如图所示：
判断可知：最多有3个交点，
故选C.
【名师点拨】
本题考查了相交线的交点个数问题，解决本题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点．
变式1-2．（2020·湖北巴东·七年级期末）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么n条直线最多有( ) 个交点
A．2n－3 B． C． D．n(n－1)
【答案】C
【提示】
根据题目先分别计算出两条，三条，四条，五条直线相交时，交点最多时的个数，从而得出直线条数n与交点个数的关系即可.
【详解】
解：∵两条直线相交，最多有1个交点；
三条直线相交，最多有1+2=3个交点，
四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点．
五条直线相交，最多有1+2+3+4=10个交点；
∴n条直线相交，最多有个交点.
故答案为：C.
【名师点拨】
本题是一道关于相交线的交点个数的探究型题目，通过列举，找出直线条数与交点个数的关系，总结归纳出计算公式是解题的关键.
变式1-3．（2020·贵州桐梓·七年级期末）下列几个图形与相应语言描述相符的个数有（ ）
延长线段 直线相交于点 点在直线上 过点画直线
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【提示】
根据点、直线、相交线的性质，逐一判定即可.
【详解】
第一个图形，是延长线段，与语言描述相符；
第二个图形，直线相交于点，与语言描述相符；
第三个图形，点A在直线外，与语言描述不相符；
第四个图形，过点画直线，与语言描述相符；
故选：B.
【名师点拨】
此题主要考查点、直线、相交线的性质，熟练掌握，即可解题.
典例2．（2020·黑龙江南岗·七年级期末）如图，在平面内作已知直线的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【提示】
在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】
在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D．
【名师点拨】
此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义．
变式2-1．（2020·山东沂水·七年级期中）过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【提示】
根据垂线段的定义判断即可.
【详解】
根据垂线段的定义可知，过点B画线段AC所在直线的垂线段，可得：
故选D．
【名师点拨】
本题考查了垂线段的定义，过直线外一点做直线的垂线，这点与垂足间的线段叫做这点到直线的垂线段.
变式-2．（2020·福建·厦门市七年级期中）已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题提示：根据题意画出图形即可．
解：根据题意可得图形，
故选C．
点评：此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
变式2-3．（2020·四川·绵竹市七年级期中）同一平面内的四条直线满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（ ）
A．a∥b B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c
【答案】C
【提示】
根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可证a∥c，再结合c⊥d，可证a⊥d．
【详解】
∵a⊥b，b⊥c，
∴a∥c，
∵c⊥d，
∴a⊥d.
故选C.
【名师点拨】
此题考查垂线，难度不大
典例3．（2020·北京东城·七年级期末）如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【提示】
根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【详解】
要把河中的水引到水池A中,应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选D.
【名师点拨】
本题考查垂线段的性质：垂线段最短.
变式3-1．（2020·山东·东埠初中七年级期中）如图,测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度,其依据是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．两点之间直线最短
【答案】B
【提示】
根据垂线的定义即可求解.
【详解】
由图可知，依据是垂线段最短，
故选B.
【名师点拨】
此题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段最短.
变式3-2．（2020·四川成华·七年级期末）如图，在线段、、、中，长度最小的是（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
【答案】B
【提示】
由垂线段最短可解．
【详解】
由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．
故选B．
【名师点拨】
本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．
变式3-3．（2020·湖南澧县·七年级期末）在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【提示】
根据垂线段最短得出结论．
【详解】
根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
典例4．（2020·四川平昌·七年级期末）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
试题提示：A．∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B．∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C．根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D．根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选B．
变式4-1．（2020·湖北·赤壁市第五初级中学七年级期中）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】
试题提示：根据对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角进行提示即可．
解：A、∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误；
B、∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误；
C、∠1与∠2是对顶角，故此选项正确；
D、∠1与∠2不是对顶角，故此选项错误；
故选C．
点评：此题主要考查了对顶角，关键是掌握对顶角定义．
变式4-2．（2020·内蒙古海南·七年级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝100°，则∠BOC等于（ ）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【答案】A
【详解】
试题提示：两直线相交，对顶角相等，即∠AOC=∠BOD，已知∠AOC+∠BOD=100°，可求∠AOC；又∠AOC与∠BOC互为邻补角，即∠AOC+∠BOC=180°，将∠AOC的度数代入，可求∠BOC．
解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD，
又∵∠AOC+∠BOD=100°，
∴∠AOC=50°．
∵∠AOC与∠BOC互为邻补角，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣50°=130°．
故选A．
【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
变式4-3．（2020·江西·南昌市七年级期中）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则∠1＋∠2＋∠3的度数为( )
A．90° B．120° C．180° D．360°
【答案】C
【提示】
根据对顶角相等可得∠2=∠EOD，再根据平角的定义解答．
【详解】
∵∠2=∠EOD，∠1+∠3+∠EOD =180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°．
故选C．
【名师点拨】
本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键．
典例5．（2020·江西大余·七年级期末）下面四个图形中，与是邻补角的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【提示】
根据邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断．
【详解】
解：A、B选项，∠1与∠2没有公共顶点且不相邻，不是邻补角；
C选项互补且相邻，是邻补角；
D选项∠1与∠2不互补，不是邻补角；
故选C．
【名师点拨】
本题考查邻补角的定义，是一个需要熟记的内容．
变式5-1．（2020·河北新乐·七年级期末）如图，直线m、n相交，则∠1与∠2的位置关系为（ ）
A．邻补角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】A
【提示】
根据邻补角的意义，结合图形判定即可．
【详解】
直线m、n相交，则∠1与∠2互为邻补角．
故选A．
【名师点拨】
本题考查了邻补角的意义，掌握两个角的位置关系是解决问题的关键．
变式5-2．（2020·江苏建湖·七年级期中）如图，直线被直线c所截，则下列说法中不正确的是（ ）
A．与是邻补角 B．与是对顶角
C．与是内错角 D．与是同位角
【答案】C
【提示】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别提示即可．
【详解】
解：A、∠3与∠2是邻补角，故原题说法正确；
B、∠1与∠3是对顶角，故原题说法正确；
C、∠1与∠4不是内错角，故原题说法错误；
D、∠2与∠4是同位角，故原题说法正确；
故选：C．
【名师点拨】
此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形．
变式5-3．（2020·北京市朝阳区陈经纶中学分校实验学校七年级期中） 下列图形中，∠1与∠2不是互补关系的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【提示】
根据互补的两个角的和为判定即可．
【详解】
解：A．∠1与∠2是互补关系，故本选项不合题意；
B．由平行线的性质可知∠1与∠2是互补关系，故本选项不合题意；
C．由对顶角的定义可知∠1与∠2是对顶角，不一定具有互补关系，故本选项符合题意；
D．∠1+∠2=180°，即∠1与∠2是互补关系，故本选项不合题意．
故选：C．
【名师点拨】
本题主要考查了补角的定义、邻补角、对顶角、平行线的性质，熟记补角的定义是解答本题的关键．
典例6．（2020·云南祥云·七年级期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).
A．35° B．70°
C．110° D．145°
【答案】C
【详解】
∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,
∴∠AOD=180°-70°=110°.
故选C.
变式6-1．（2020·内蒙古·奈曼旗新镇七年级期中）如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（ ）
A．20 B．25° C．30° D．70°
【答案】D
【提示】
由角平分线的定义可求出∠COB的度数，根据邻补角的定义求出∠BOD的度数即可.
【详解】
∵OE平分∠COB，若∠EOB=55°，
∴∠COB=2∠EOB=110°，
∵∠BOD与∠COB是邻补角，
∴∠BOD=180°-∠COB=70°，
故选D.
【名师点拨】
本题考查了角平分线的定义及邻补角的概念，掌握角平分线的定义和邻补角之和为180°是解题的关键．
变式6-2．（2020·湖北省武汉市七年级期中）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠EOD=30°，则∠BOC=（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】D
【提示】
运用垂线，邻补角的定义计算．
【详解】
∵OE⊥AB，
∴∠EOB=90°，
∵∠EOD=30°，
∴∠DOB=90°-30°=60°，
∴∠BOC=180°-∠DOB=180°-60°=120°，
故选D
【名师点拨】
本题主要考查了垂线，邻补角，灵活运用垂线，邻补角的定义计算是解题的关键．
变式6-3．（2020·广西陆川·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【提示】
根据题意，逐项提示：
根据角平分线的性质，得出∠BOD=∠DOF，然后根据对顶角相等，得出∠BOD=∠AOC，进而得出∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°；②根据∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，得出∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)，等角转换，即可得出∠EOB＝180°﹣α；③由∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF），然后等角转换，即可得出∠AOF＝360°﹣2α.
【详解】
① ∵OD平分∠BOF，
则∠BOD=∠DOF，
又∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=∠DOF=∠EOF-∠EOD= α﹣90°； 符合题意；
② ∵∠EOD=∠EOC=90°，∠BOD=∠DOF，
∴∠EOB=180°-(∠COE+∠BOD)
=180°-(∠EOD+∠DOF)
=180°-∠EOF=180°-α；符合题意；
③∠AOF＝360°﹣（∠AOC+∠COE+∠EOD+∠DOF）
= 360°﹣2（∠EOD+∠DOF）
=360°-2∠EOF=360°-2α；符合题意；
故答案为D.
【名师点拨】
此题主要考查角平分线的性质和等角转换，熟练运用，即可解题.
典例7．（2020·河南辉县·七年级期末）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同旁内角 B．∠1和∠3是对顶角
C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是内错角
【答案】A
【提示】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】
A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选A.
【名师点拨】
此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角， 同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义.
变式7-1．（2020·浙江浙江·七年级期中）如图，∠B的同位角可以是
A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【答案】D
【提示】
直接利用两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案．
【详解】
∠B的同位角可以是：∠4．
故选D．
【名师点拨】
此题主要考查了同位角的定义，正确把握定义是解题关键．
变式7-2．（2020·河南·洛阳市七年级期中）下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行提示即可．
【详解】
解：根据同位角定义观察图形可知A、B、C选项中的均不符合同位角的定义，只有选项D中的图形符合，
故选D．
【名师点拨】
本题考查同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
变式7-3．（2020·山西寿阳·七年级期中）如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是（ ）
A．与是同位角 B．与是内错角
C．与是同旁内角 D．与是同旁内角
【答案】D
【详解】
解：A．∠1与∠4是同位角，故A选项正确；
B．∠2与∠3是内错角，故B选项正确；
C．∠3与∠4是同旁内角，故C选项正确；
D．∠2与∠4是同旁内角，故D选项错误．
故选D．
名师点拨：本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．
变式7-4．（2020·河南平舆·七年级期中）如图，下列说法错误的是( ).
①∠1和∠3是同位角；②∠1和∠5是同位角；③∠1和∠2是同旁内角；④∠1和∠4是内错角.
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【提示】
根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角,分别进行提示可得答案．
【详解】
①∠1与∠3是同位角，原题说法正确；
②∠1与∠5不是同位角，故原题说法错误；
③∠1与∠2是同旁内角，原题说法正确；
④∠1与∠4不是内错角，原题说法错误；
故选C．
【名师点拨】
此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
变式7-5．（2020·山东罗庄·七年级期末）如图，图中∠1与∠2是同位角的是( )
A．（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【答案】C
【提示】
根据同位角的定义，易选C.
综合提升及变式练习
1．平面内三条直线的交点个数可能有〔 〕
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3
【答案】D
【提示】
根据三直线互相平行，可得交点个数；两直线平行与第三条指向相交，可得交点个数；三条直线相交于一点；三条直线两两相交，可得交点个数．
【详解】
解：①三直线互相平行，交点个数为0；
②两直线平行与第三条指向相交，交点个数为2个；
③三条直线相交于一点，交点个数为1个；
④三条直线两两相交，交点个数为3个；
故选D．
【点睛】
本题考查了直线、射线、线段，注意要分类讨论，有4种可能，不要漏掉．
2．在以下三个命题中，正确的命题有（ ）
①a，b，c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c相交
②a，b，c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c
③若∠α与∠β互补，∠β与∠γ互补，则∠a与∠γ互补
A．② B．①② C．②③ D．①②③
【答案】A
【提示】
根据直线与直线的位置关系、平行线的判定定理和同角的补角相等逐一判断即可．
【详解】
解：①a，b，c是三条不同的直线，若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，如下图所示，故①错误；
②a，b，c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，故②正确；
③若∠α与∠β互补，∠β与∠γ互补，则∠a与∠γ相等，故③错误
综上：正确的命题是②．
故选A．
【点睛】
此题考查的是直线的位置关系的判断和补角的性质，掌握直线与直线的位置关系、平行线的判定定理和同角的补角相等是解决此题的关键．
3．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( )
A．30° B．34° C．45° D．56°
【答案】B
【详解】
试题提示：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．
解：∵CO⊥AB，∠1=56°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，
∴∠2=∠3=34°．
故选B．
4．如图所示，点O在直线AB上，∠EOD＝90°，∠COB＝90°，那么下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余
C．∠AOE与∠COD互余 D．∠AOC与∠COB互补
【答案】C
【提示】
根据垂直的定义和互余解答即可．
【详解】
解：∵∠EOD＝90°，∠COB＝90°，
∴∠1+∠DOC＝∠2+∠DOC＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴∠AOE+∠2＝90°，
∵∠1+∠AOE＝∠1+∠COD，
∴∠AOE＝∠COD，
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂线的定义，关键是熟悉当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；平角的度数是180°．
5．如图所示，点P到直线l的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【答案】B
【详解】
由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，故选B.
6．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOE＋∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE D．∠AOD＋∠BOD＝180°
【答案】C
【提示】
根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得．
【详解】
A、∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=∠BOC，此选项正确；
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°，所以∠AOE+∠BOD=90°，此选项正确；
C、∠AOC与∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，此选项错误；
D、∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠AOD+∠BOD=180°，此选项正确；
故选C．
【点睛】
本题主要考查垂线、对顶角与邻补角，解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义．
7．若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线( )
A．互相垂直 B．互相平行
C．既不垂直也不平行 D．不能确定
【答案】A
【详解】
∵∠A与∠B是对顶角，
∴∠A=∠B，
又∵∠A与∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
可求∠A=90°．
故选A．
8．如图，若AB，CD相交于点O，∠AOE＝90°，则下列结论不正确的是( )
A．∠EOC与∠BOC互为余角 B．∠EOC与∠AOD互为余角
C．∠AOE与∠EOC互为补角 D．∠AOE与∠EOB互为补角
【答案】C
【提示】
直接利用垂直的定义结合互余以及互补的定义提示得出答案．
【详解】
解：∵∠AOE=90°，
∴∠BOE=90°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠EOC+∠BOC=90°，∠EOC+∠AOD=90°，∠AOE+∠EOB=180°，
故A、B、D选项正确，C错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了垂直的定义、互余以及互补的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9．如图，点O在直线DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．150° B．120° C．110° D．100°
【答案】C
【提示】
直接利用垂直的定义结合邻补角的定义得出答案．
【详解】
解：∵点O在直线DB上，OA⊥OC，∠1＝20°，
∴∠AOC＝90°，则∠BOC＝90°﹣20°＝70°，
∴∠2＝180°﹣70°＝110°．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了垂线以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键．
10．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ）
A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4
【答案】B
【提示】
同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.根据此定义即可得出答案.
【详解】
∵直线AD，BE被直线BF和AC所截，
∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角，
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题关键是熟记内错角和同位角的定义．
11．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是( )
A．∠1与∠2是邻补角 B．∠1与∠3是对顶角
C．∠2与∠4是同位角 D．∠3与∠4是内错角
【答案】D
【详解】
解：∠3与∠4是同旁内角．
故选：D
12．如图，不能判断的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】
根据题意，结合图形对选项一一提示，排除错误答案．
【详解】
A、∠1=∠3正确，内错角相等两直线平行；
B、∠2+∠4=180°正确，同旁内角互补两直线平行；
C、∠4=∠5正确，同位角相等两直线平行；
D、∠2=∠3错误，它们不是同位角、内错角、同旁内角，故不能推断两直线平行．
故选：D．
【点睛】
此题考查同位角、内错角、同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义．
13．平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ________ ．
【答案】1
【提示】
根据n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，由此可得出a，b，c的值，再代入计算即可．
【详解】
∵n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，
∴a＝10，b=1，c=20
∴．
故答案为：1．
【点睛】
考查了直线的交点问题，解题关键是掌握n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍．
14．平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若n条直线相交，最多有__个交点．
【答案】．
【提示】
画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时的交点个数，总结出规律即可．
【详解】
如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3个交点；
5条直线相交有1+2+3+4个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+…+n＝个交点；
故答案为：．
【点睛】
此题考查了直线相交的交点个数，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，可以激发同学们的学习兴趣．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，且∠COE=34°，则∠BOD为______．
【答案】56°
【提示】
依据OE⊥AB，可得∠BOE=90°；再根据∠COE=34°，即可得到∠BOD的度数．
【详解】
解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE=90°，
又∵∠COE=34°，
∴∠BOD=180°-90°-34°=56°，
故答案是：56°．
【点睛】
本题考查了垂线、对顶角与邻补角．注意，邻补角互补，即和为180°．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE丄AB于O， ∠DOE=35°，则∠AOC=______．
【答案】55 o
【详解】
解：∵OE丄AB于O，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE=90°
又∵∠DOE=35°，
∴∠BOD=90°-35°=55°，
又∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC=55°
故答案为：55°．
17．如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是_____，理由_____．
【答案】PN, 垂线段最短
【详解】
∵PM⊥MN，
∴由垂线段最短可知PM是最短的，
故答案为PM，垂线段最短．
18．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝_____．
【答案】40或80
【详解】
当这两个角是对顶角时，(2x-10) =(110-x)，
解之得
x=40;
当这两个角是邻补角时，(2x-10) +(110-x) =180，
解之得
x=80;
∴x的值是40或80.
点睛：本题考查了两条直线相交所成的四个角之间的关系及分类讨论的数学思想，两条直线相交所成的四个角或者是对顶角的关系，或者是邻补角的关系，明确这两种关系是解答本题的关键.
19．如图，如果∠1=40°，∠2=100°，那么∠3的同位角等于______，∠3的内错角等于______，∠3的同旁内角等于______．
【答案】80°；80°；100°
【详解】
如图，已知∠2=100°，根据邻补角的定义和对顶角相等可得∠4=80°，∠5=100°，∠6=80°，再由同位角、内错角、同旁内角的定义可得∠3的同位角是∠6=80°，∠3的内错角是∠4=80°，∠3的同旁内角是∠5=100°.
20．如图，共有_____对同位角，有_____对内错角，有_____对同旁内角．
【答案】20 12 12
【提示】
利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可．
【详解】
解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ，
∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对；
内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12对；
同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12对，
故答案为：20；12；12．
【点睛】
此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
21．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．
【答案】（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度数为30°或150°．
【提示】
（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得∠BOE的度数；
（2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；
（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°．
【详解】
解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠DOE=90°，
又∵∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠BOE=90°-36°=54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC=1：5，
∴∠BOD=∠COD=30°，
∴∠AOC=30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE=90°+30°=120°；
（3）分两种情况：
若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；
若F'在射线ON上，则∠EOF'=∠DOE+∠BON-∠BOD=150°；
综上所述，∠EOF的度数为30°或150°．
故答案为（1）54°；（2）120°；（3）∠EOF的度数为30°或150°．
【点睛】
本题考查了角的计算，对顶角，垂线等知识点的应用，关键是分类讨论思想的运用．
22．如图，直线AB、CD、MN相交于点O，FO⊥BO，OM平分∠DOF
（1）请直接写出图中所有与∠AON互余的角：．
（2）若∠AOC=∠FOM，求∠MOD与∠AON的度数．
【答案】（1）∠FOM，∠MOD，∠CON；（2）20°，70°
【提示】
（1）根据垂直的定义可得∠BOF=∠AOF=90°，由角平分线的定义和对顶角相等可得与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，用含x的式子表示出∠FOD和∠AOC的度数，然后由∠AOC=∠BOD，得出∠FOD+∠AOC=90°，据此列方程求解，再由（1）中∠MOD与∠AON互余可得出∠AON的度数．
【详解】
解：（1）∵FO⊥BO，∴∠BOF=∠AOF=90°，
∴∠BOM+∠FOM=90°，
又∠BOM=∠AON，∴∠AON+∠FOM=90°．
∵OM平分∠DOF，∴∠DOM=∠FOM，
又∵∠DOM=∠CON，
∴与∠AON互余的角有：∠FOM，∠MOD，∠CON；
（2）设∠MOD的度数为x°，
∵OM平分∠FOD，
∴∠MOD=∠FOM=x°，
∴∠FOD=2x°，∠AOC=∠FOM=°，
又∵FO⊥BO，∠AOC=∠BOD，
∴∠FOD+∠AOC=90°，
即2x+=90，
解得：x=20．
即∠MOD=20°，
由（1）可知∠MOD与∠AON互余，
∴∠AON=90°-∠MOD=90°-20°=70°．
故∠MOD的度数为20°，∠AON的度数为70°．
【点睛】
本题考查了垂直的定义，角的平分线的定义，余角的定义与性质以及对顶角相等，正确理解相关概念是关键．
23．如图，平面上四个点A，B，C，D，按要求完成下列问题：
（1）画射线与直线相交于E点；
（2）在直线上找一点M，使线段最短，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）画射线AB与直线CD，交点记为E点；
（2）根据垂线段最短作出垂线段即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：理由是垂线段最短．
【点睛】
此题主要考查了直线、射线、线段，以及垂线段，关键是掌握直线、射线、线段的性质．
24．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把分成两部分，
(1)直接写出图中的对顶角为________,的邻补角为________；
(2)若，且=2：3，求的度数.
【答案】(1)∠BOD；∠AOE；（2）152°.
【提示】
（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；
（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【详解】
解：（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的邻补角是∠AOE，
故答案为∠BOD，∠AOE；
（2）∵∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°，
∵∠BOE：∠EOD=2：3，
∴∠BOE= ×70°=28°，
∴∠AOE=180°-28°=152°．
∴∠AOE的度数为152°．
【点睛】
本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，利用对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于180°求解是解答此题的关键．
25．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．
【答案】（1）35°；（2）36°.
【提示】
（1）根据角平分线定义得到∠AOC=∠EOC=×70°=35°，然后根据对顶角相等得到∠BOD=∠AOC=35°；
（2）先设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据平角的定义得2x+3x=180°，解得x=36°，则∠EOC=2x=72°，然后与（1）的计算方法一样．
【详解】
解：（1）∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC=×70°=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°；
（2）设∠EOC=2x，∠EOD=3x，根据题意得2x+3x=180°，解得x=36°，
∴∠EOC=2x=72°，
∴∠AOC=∠EOC=×72°=36°，
∴∠BOD=∠AOC=36°．
考点：角的计算．
26．根据图形填空：
（1）若直线被直线所截，则和_____是同位角；
（2）若直线被直线所截，则和_____是内错角；
（3）和是直线被直线______所截构成的内错角；
（4）和是直线，______被直线所截构成的_____角．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），同位
【提示】
（1）根据图形及同位角的概念可直接进行求解；
（2）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；
（3）根据图形及内错角的概念可直接进行求解；
（4）根据图形及同位角的概念可直接进行求解．
【详解】
解：由图可得：
（1）若直线被直线所截，则和是同位角；
故答案为；
（2）若直线被直线所截，则和是内错角；
故答案为；
（3）和是直线被直线所截构成的内错角；
故答案为；
（4）和是直线，被直线所截构成的同位角；
故答案为，同位．
【点睛】
本题主要考查内错角及同位角的概念，熟练掌握同位角及内错角的概念是解题的关键．
27．两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和是内错角．
（1）根据上述条件，画出符合题意的示意图；
（2）若、，求，的度数
【答案】（1）答案见解析；（2）∠1=162°，∠2=54°．
【提示】
（1）根据同旁内角两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，内错角两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线的中间位置的角，可得答案；
（2）根据∠1与∠3互补，可得角的度数．
【详解】
解：（1）如图，下图为所求作．
（2），，
，
又，
，
，
，．
【点睛】
本题考查了内错角，同旁内角，利用了邻补角的定义，列出方程，求出∠3的度数是解题的关键．
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