2021-2022学年高一上学期数学 人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式导学案 （无答案）

“驾驭式自主课堂”导学案
年级 高一 科目 数学 主备人 使用班级 学生姓名 同组教师初审 （签字有效） 备课组长终审 （签字有效） 编号 复印 份
课题名称： 第 10 课 二次函数与一元二次方程、不等式
一、学习目标：
1、理解一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系(思考二)；
2、掌握一元二次不等式的解法(即时训练 2,3,4，5)；
3、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法(即时训练 6)；
4、能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，解决实际生活问题(即时训练 5)。
二、重点、难点、易错点：
1、重点： 理解一元二次方程，一元二次不等式与二次函数的关系(思考二)； 掌握图象法解一元二次不等式；
2、难点： 会解一元二次不等式(A 层 3-8） ，通过解不等式，体会一元二次不等式解的情况，以 及数形结合、分类讨论的思想方法(即时训练 2，3)；
3、易错点： 一元二次不等式的求解(即时训练 4，5，6)。
三、 自学指导与检测：
自学指导 学习任务及检测
【思考一】式子 x2 12x 20 0 和 x2 20x 84 0 是等式还是不等式？ 含有几个未知数？ 未知数的最高次数是几次？
阅读课本第 50 页， 完成右边的问题。 (
___________
) 一、一元二次不等式 1 ．一元二次不等式的概念： 一般地 ，我们把只含有 未知数 ，并且未知数的最高次数是 的不等式 ，称为 ．一元二次不等式的一般形式是： 或 ，其中 a, b, c均为常数，a 0 二、二次函数的零点 一般地，对于二次函数y ax2 bx c ，我们把使ax2 bx c 0 的实数x 叫做二次函数 y ax2 bx c 的 ． 注意： (1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x 轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．
1
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【即时训练 1】下列不等式一定是一元二次不等式的是 (1) x2 0 ; (2) 3x2 x 5 ; (3) x3 5x 6 0 ; (4) ax2 5y 0(a为常数） ; (5) ax2 bx c 0
【思考二】回顾一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系，画出一次函数 y = 2x 6 的 图像，求出下列方程和不等式的解。说一说该函数的图像与下列方程、不等式的解之间有什么 关系 1 、2x 6 0 2 、2x 6 0 3 、 2x 6 0
【探究】 借助二次函数的图像，研究二次不等式x2 x 6 0( 0) 的解集。
三、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2 －4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y ax2 bx c(a 0) 的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0) 的根 有两个不相等的实 根 x1 , x2 ，且 x1＜x2 有两个相等的实数根 b (
x
x
)1 2 2a 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0) 的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0) 的解集
注意： (1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是： 大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即 a 0 )的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情 况求解．
2
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(
(3)
x
2
2
x
3
0
;
(4)
x
2
3
x
4
0
)【即时训练 2】求下列不等式的解集。 (1) x2 5x 6 0 ; (2) x x2 ;
【总结】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： (1)调整系数（系数大于零） ： (2)解相应方程（首选十字相乘，不行再用求根公式） ；
(3)画相应二次函数图像； (4)由图像写解集.
【即时训练 3】“三个二次”关系的应用 已知关于 x 的不等式 x2＋ax＋b<0 的解集为{x|10 的解集．
3
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四、分式不等式的解法（主导思想： 化分式不等式为整式不等式）
类型 同解不等式
(
+
) + > 0( < 0) (其中 ， ， ， 为常数) ( + )( + ) > 0( < 0)
(
+
) + ≥ 0( ≤ 0) ( + )( + ) ≥ 0( ≤ 0) + ≠ 0
(
+
) + < > ≥ k ≤ (其中为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式
(
3
x
x
2
) 【即时训练 4】解下列不等式： (1) x 4 0 ; (2) x 1 2 ;
五、从实际问题中抽象出一元二次不等式模型 （1） 读： 阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系. （2） 建： 将文字语言转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型. （3） 解： 解不等式，得到数学结论，要注意数学模型中元素的实际意义. （4） 答： 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.
【即时训练 5】一元二次不等式的实际应用 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位： 辆） 与创造的价值 y （单位： 元） 之间有如下的关系： y 20x2 2200x .
4
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若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 60000 元以上，则在一个星期内大约应该生 产多少辆摩托车？
六、一元二次不等式恒成立问题 （1） 不等式的解集为R （或恒成立） 的条件
不等式 2 + + > 0 2 + + < 0
= 0 = 0 ， > 0 = 0 ， < 0
≠ 0 > 0 < 0 < 0 < 0
（2） 有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 = 2 + + 若2 + + ≤ 恒成立 ≤
若2 + + ≥ 恒成立 ≥
【即时训练 6】若x 0 时，关于x 的不等式 x2 2ax 1 0 恒成立，则 a 的取值范围是（ ）
A．- 1 a 1 B．a 0 C．a 0 D． a 0
5
(
2
) (
2
) (
2
) (
2
) (
2
3
) (
3
x
1
) (
2
x
1
) (
x
2
) (
x
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6
四、诊断巩固： A 层
1 、不等式x2 2x 0 的解集为（ ）
A． x x 2
C． x 0 x 2
B． x x 2
D． x x 0 或x 2
2 、下面所给关于 x 的几个不等式： ① 3x＋4＜0；② x2＋mx－1＞0；③ ax2＋4x－7＞0；④ x2＜0. 其中一定为一元二次不等式的有( )
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3 、不等式 x2＋6x＋10＜0 的解集是( )
A ．
C ．{x|x＞5}
B ．R
D ．{x|x＜2}
4 、不等式2x2 x 3 0 的解集为(
A 、 {x | 1 x 3}
C 、 {x | 3 x 1}
)
B 、 {x | x 3 , 或x 1}
D、 {x | x 1, 或x 3}
5 、已知集合 M＝{x| －4A ．{x| －4C ．{x| －26 、不等式 0 的解集是________．
7 、不等式 0 的解集是________．
8 、不等式 ax2 bx 1 0 的解集是{x | 1 x 1} ，则 a b 的值是________．
(
3
2
) (
2
x
1
) (
x
2
1
) (
a
) (
_______
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9 、若不等式 ax2＋5x＋c＞0 的解集为{x | 1 x 1} ，则 a ，c 的值为
7
a= ，
c=
________
B 层
1 、当 a> －1 时，关于 x 的不等式 x2＋(a－1)x－a>0 的解集是________．
2 、(多选题)下列四个不等式中，解集为 的是（ ）
A ． x2 x 1 0 B ．2x2 3x 4 0
C ．x2 6x 9 0 D ． x2 4x a 4 0(a 0)
3 、(多选题)下面所给关于 x 的几个不等式，其中一定为一元二次不等式的有( )
A. 3 B. x2 mx 1 0
B. ax2 4x 7 0 D. x2 0
4 、已知M {x | 4x2 4x 15 0} ， N {x | x2 5x 6 0}, 求M N , M N .
5 、若函数y 4x2 4x 15 k ，求k 取值范围.
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C 层
1 、 （ 1）解不等式 2x2 x 1 0 .
（2）若不等式ax2 x b 0 的解集为( , 1) ，求实数a ，b 的值；
2 、解关于 x 的不等式 ax2 －(a＋1)x＋1<0.
3 、解下列不等式： 已知关于x 的不等式kx2 6kx k 8 0 对任意x R 恒成立，求k 的取值范围。
五、堂请、 日清记录：
堂清 日清
今日之事今日毕 日积月累成大器8