河南省示范性高中2021-2022学年高三上学期1月阶段性调研联考二理科数学试题（Word版含答案）

河南省示范性高中2022届高三上学期阶段性调研联考二
理科数学试卷
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卷面及答题卡清洁，不要折叠，不破损。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知向量，若与垂直，则实数的值为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3．已知为虚数单位，，设是z的共轭复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．若将函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（ ）
A．26 B．39 C．104 D．52
已知实数满足条件：，则的最大值为（ ）
B.2 C. D.1
如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
9．设函数,则使成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在单调递减
B．当时，在处的切线为轴
C．当时，在存在唯一极小值点，且
D．对任意，在一定存在零点
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.
13. 抛物线的焦点坐标为,则的值为 .
14. 若实数满足不等式组，则的最大值为 .
15. 在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为 .
16. 如图，矩形中，为的中点，，将沿直线翻折成（不在平面内），连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是 .
①平面
②存在某个位置，使得
③线段长度为定值
三、解答题
17．已知数列对任意满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．
18．在中，角，，所对的边分别为，，，若，点在线段上，且，，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
19．如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，二面角等于60°，求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程．
（2）证明：在上有且仅有2个零点．
21．已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当，时，，其中，证明：.
22．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线、交于、两点，，求的值．
23．已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.
理科数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A B C A C C B C D C
13． 14． 15． 16．①③④
17．解：（1）因为①，
所以 ②，
①②两式相减，得 ，
所以③．
又当时，得，不满足上式．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以不成立，
当时，
，
由，得．
令，则为增函数，
又．
因此要使成立，只需，
故使成立的正整数的最小值为7．
18.解：（1）根据可得，
∴，
∴，∴，
即，∴.
又∵，∴.
（2）设，.
在中，由余弦定理可得.
在中，由余弦定理可得.
由于，故，
即，
整理可得.①
在中，由余弦定理可知.
代入①式整理可得.所以.
据此可知的面积 .
19．（1）证明：因为，
所以平面，
又因为平面，所以.
又因为，
所以平面.
（2）因为，
所以是二面角的平面角，即，
在中，，
取的中点，连接，因为,
所以,由（1）知，平面，为的中位线，
所以，即两两垂直，
以为原点建立如图所示的坐标系，设，则
，
，设平面的一个法向量为，
则由得令，得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．（1）解：，则，
又，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）证明：令，则．
当时，，单调递增，，，所以在上恰有1个零点．
当时，单调递增，，，
则存在，使得，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以存在，使得在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上恰有1个零点．
当时，，以在上单调递增，因为，所以在上没有零点．
综上，在上有且仅有2个零点．
21．解：（Ⅰ）依题意，，.
当时，.
所以当时，，当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，令，解得或.
若，则，所以函数在上单调递增；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
若，则，
所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）依题意，得，所以.
要证，即证，即证，即证,
即证，所以只需证时，成立即可.
令，则.
令，则.
所以在上单调递增.
所以，即，所以.
所以在上单调递增.所以，
所以，即.
22．解：（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为．所以①，②，
②①得：．
曲线的极坐标方程为．根据，转换为直角坐标方程为．
（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），
代入，得到和为点和对应的参数），
所以，，
所以．
23．解：
（1）因为，所以，
所以不等式等价于或或，
解得或.
所以不等式的解集为或.
（2）因为，所以，
根据函数的单调性可知函数的最小值为，
因为恒成立，所以，解得.
所以实数的取值范围是.