5.4.2正弦函数余弦函数的性质 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
5.4.2正弦函数余弦函数的性质
人教A（2019）版
必修一
新知导入
五点作图法步骤：
（1）列表（列出关键五点）
（2）描点（描出五个关键点）
（3）连线（用光滑曲线顺次连五个点）
复习巩固
正弦五点：
余弦五点：
关键五点坐标：
正弦函数的图像
π
4
-
o
-
π
2
-
π
3
-

π
2
π
3
π
4
x
y
1
-1
余弦函数的图像
x
o
1
-1
-2
-

2
3
4
掌握了函数图像，下面我们来探讨它们的性质
新知导入
新知讲解
正弦函数、余弦函数的周期性
π
4
-
o
-
π
2
-
π
3
-

π
2
π
3
π
4
x
y
1
-1




2π
2π
2π
2π
从图像中可以看出这样一条性质：任意一点函数值，每隔2π个单位，
函数值重复出现。函数的这种性质叫做周期性。
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
周期性定义
新知讲解
最小正周期：
周期函数的周期不止一个．例如，2π，4π，6π，…以及-2π，-4π，-6π，…都是正弦函数的周期．事实上，任意k∈Z且k≠０，常数２kπ都是它的周期．
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
根据上述定义我们有：
正弦函数是周期函数，2kπ (k∈Z且k≠０)都是它的周期，最小正周期是2π
类似地，余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是２π
新知讲解
说明：1、函数的周期T是对函数定义域中每一个x都满足f(x+T)=f(x)
例如：
但是容易验证：
也就是说， 不能使每一个x都有sin(x+ )=sinx，所以 不是周期。
4、若f(x)周期为T，f(ωx)的周期为
3、不是所有的周期函数都存在最小正周期。如：f(x)=c(常数)
例如：sinx最小正周期2π，sin2x的最小正周期为π
2、函数的周期不唯一，如果一个函数的周期为T，则kT也是它的周期。
新知讲解
例1、求下列函数的周期
(1) y=3sinx，x∈R
(2) y=sin2x，x∈R
解：（１）任意x∈R，有3sin(x+2π)=3sinx． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为２π
（２）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cosz的周期为2π，即cos(z+2π)=cosz， 于是cos(2x+2π)=cos2x， 所以 cos2(x+π)=cos2x，x∈R． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
（３）令z= ，由x∈R得z∈R，且y=2sinz的周期为2π，即2sin(z+2π)=2sinz，于是2sin( +2π)＝2sin( )，
所以
由周期函数的定义可知，原函数的周期为４π．
正弦函数和余弦函数的奇偶性
π
4
-
o
-
π
2
-
π
3
-

π
2
π
3
π
4
x
y
1
-1
先看正弦函数
从图像上可以看出：定义域为R，图像关于原点成中心对称。
由奇偶性定义，正弦函数为奇函数。
同理，我们得到余弦函数为偶函数
x
o
1
-1
-2
-

2
3
4
再看余弦函数
从解析式看：sin(-x)=-sinx
新知讲解
正弦函数的对称性
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

对称中心
对称轴
对称中心
对称轴









余弦函数的对称性
根据诱导公式，正弦函数向左平移 单位，得到余弦函数对称中心和对称轴。
新知讲解
正弦函数的单调性
x
y
y=sinx
从图像上可以观察出：
正弦函数y=sinx在区间 上是增函数，
在区间 上是减函数。
由正弦函数的周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间
上都是减函数，其值从1减小到-1。
新知讲解
余弦函数的单调性
y
x
y=cosx
0
1
-1
从图像上可以观察出：
余弦函数y=cosx在区间[-π,0 ]上是增函数，
在区间[0, π]上是减函数。
由余弦函数的周期性可知：
余弦函数在每一个闭区间[-π+2k π,2k π]
上都是增函数，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间 [2kπ, π+2k π]
上都是减函数，其值从1减小到-1。
新知讲解
新知讲解
最大值与最小值
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，
正弦函数当且仅当x= 时取得最大值1，
当且仅当x= 时取得最小值-1；
余弦函数当且仅当x= 时取得最大值1，
当且仅当x= 时取得最小值-1；
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自
变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
解：
（1）有最大值、最小值.
使函数 取得最大值的x的集合，就是使函数
取得最大值的x的集合：
使函数 取得最小值的x的集合，就是
使函数 取得最小值的x的集合：
合作探究
合作探究
函数 的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
（2）令t=2x,因为使函数 取最大值的t的集合是
所以使函数 取最大值的x的集合是
同理，使函数 取最小值的x的集合是
函数 取最大值是3，最小值是-3。
例3、不通过求值，比较下列各组数的大小：
解：(1)因为
正弦函数y=sinx在区间 上单调递增，所以
(2)
因为 ，且函数y=cosx在区间[0，π]上单调递减，所以
即：
合作探究
例4、求函数 ，x∈［－２π，２π］的单调递增区间
解：
令z=
则
因为y=sinz,
的单调递增区间是
且由
得：
所以，函数 ，x∈[-2π，2π］的单调递增区间是
合作探究
课堂练习
1、求 函数的对称轴和对称中心
解:令
的对称轴为
解得：对称轴为
的对称中心为
对称中心为
课堂总结
函数 y=sinx y=cosx
图形
定义域
值域
最值
单调性
奇偶性
周期
对称性
1
-1
时，
时，
时，
时，
增函数
减函数
增函数
减函数
1
-1
对称轴：
对称中心：
对称轴：
对称中心：
奇函数
偶函数
板书设计
周期性
奇偶性
对称性
y=sinx
周期2kπ
最小正周期2π
y=cosx
周期2kπ
最小正周期2π
奇
偶
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
作业布置
课本P2021、2、4、5
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