2020-2021学年上海市虹口区八年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年上海市虹口区八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，将结果直接填入括号内]
1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次根式的一个有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）
A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0
4．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　）
A．6 B．6.5 C．10 D．13
6．下列命题中，逆命题不正确的是（　　）
A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．全等三角形对应角相等
D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入相应位置]
7．化简：＝　 　．
8．计算：×（a＞0）＝　 　．
9．方程x2﹣9＝0的解是　 　．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝　 　．
11．实数范围内因式分解：x2﹣3x﹣1＝　 　．
12．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 　 　．
13．函数y＝的定义域是 　 　．
14．已知函数f（x）＝+x，则f（）＝　 　．
15．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 　 　．
16．在直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（3，﹣1），则线段AB的长度等于 　 　．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝14cm，则AF＝　 　cm．
18．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于 　 　．
三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．计算：．
20．用配方法解方程3x2﹣6x+1＝0．
21．已知y与2x﹣3成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y关于x的函数解析式．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3．
四、（本大题共2题，每题9分，满分18分）
23．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元，
②方式收费 　 　元；
（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　；
（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）．
24．如图，已知AD∥BC，∠CAD＝90°，点E、F分别是AB、CD的中点，AF＝CE．
（1）求证：AB＝CD；
（2）求证：AD＝BC．
五、（本大题共2题，第25题满分22分，第26小题满分22分，满分22分）
25．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，将结果直接填入括号内]
1．下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再观察它们的被开方数是否相同．
解：∵＝3，＝，＝，＝6，
∴与是同类二次根式的是，
故选：C．
2．二次根式的一个有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．
解：×＝（）2＝x+y，
故选：C．
3．下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）
A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0
【分析】将x＝0代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项．
解：A、当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；
B、当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意；
当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意；
当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；
故选：B．
4．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大”判定k＞0，然后根据k的符号来判断函数所在的象限．
解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数图象经过第一、三象限；
∴函数的图象经过第一、三象限；
故选：D．
5．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　）
A．6 B．6.5 C．10 D．13
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．
故选：B．
6．下列命题中，逆命题不正确的是（　　）
A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0
B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．全等三角形对应角相等
D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方
【分析】分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．
解：A、逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；
B、逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；
C、逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；
D、逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意，
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）[请将结果直接填入相应位置]
7．化简：＝　　．
【分析】根据二次根式的性质：＝×（a≥0，b≥0）解答．
解：＝＝2，
故答案为：2．
8．计算：×（a＞0）＝　4a　．
【分析】根据二次根式乘法运算法则进行计算，再利用二次根式的性质进行化简．
解：原式＝，
∵a＞0，
∴原式＝4|a|＝4a，
故答案为：4a．
9．方程x2﹣9＝0的解是　x＝±3　．
【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．
解：x2﹣9＝0即（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3或x＝﹣3．
故答案为：x＝±3．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝　1　．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，然后解关于m的方程即可．
解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，
解得m＝1．
故答案为：1．
11．实数范围内因式分解：x2﹣3x﹣1＝　（x﹣）（x﹣）　．
【分析】先配方成完全平方式，再利用平方差公式继续分解即可．
解：x2﹣3x﹣1
＝x2﹣3x+（）2﹣（）2﹣1
＝（x﹣）2﹣
＝（x﹣+）（x﹣﹣）
＝（x﹣）（x﹣）．
12．某旅游景点6月份共接待游客64万人次，暑期放假学生旅游人数猛增，且每月的增长率相同，8月份共接待游客81万人次，如果每月的增长率都为x，则根据题意可列方程 　64（1+x）2＝81　．
【分析】如果每月的增长率都为x，根据某旅游景点6月份共接待游客64万人次，由于暑期放假学生旅游人数猛增，8月份共接待游客81万人次，可列出方程．
解：设每月的增长率都为x，
64（1+x）2＝81．
故答案为：64（1+x）2＝81．
13．函数y＝的定义域是 　x≠0　．
【分析】根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0．
解：函数y＝的定义域是：x≠0．
故答案为：x≠0．
14．已知函数f（x）＝+x，则f（）＝　2　．
【分析】把x＝代入解析式即可求得．
解：∵函数f（x）＝+x，
∴f（）＝+＝2，
故答案为：2．
15．平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的 　角平分线　．
【分析】根据角平分线的判定可知．
解：根据角平分线的判定可知：平面内在角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线，
故答案为：角平分线．
16．在直角坐标平面内，已知点A（﹣1，2），点B（3，﹣1），则线段AB的长度等于 　5　．
【分析】根据两点间的距离公式得到AB即可．
解：根据题意得AB＝＝5．
故答案为：5．
17．将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝14cm，则AF＝　7　cm．
【分析】求出∠AFC＝∠E＝45°，由直角三角形的性质求出AC＝7cm，由勾股定理可得出答案．
解：由题意知，∠ACB＝∠D＝90°，
∴CF∥DE，
∵∠E＝45°，
∴∠AFC＝∠E＝45°，
∴AC＝CF，
∵AB＝14cm，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝7cm，
∴AF＝＝＝7（cm）．
故答案为：7．
18．定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，则Rt△ABC的面积等于 　9或6　．
【分析】分∠A＝90°或∠A≠90°，分别画图，根据“特征三角形”的定义即可解决问题．
解：如图，若∠A＝90°，
∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴AC＝AB＝＝3，
∴S＝9；
如图，若∠A≠90°，
∵Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即AC2+62＝4AC2，
∴AC＝±2（负值舍去），
∴S
＝6，
故答案为：9或6．
三、（本大题共4题，每题6分，满分24分）
19．计算：．
【分析】把式子进行分母有理化和化简，再合并即可．
解：原式＝++﹣
＝2．
20．用配方法解方程3x2﹣6x+1＝0．
【分析】方程移项后，二次项系数化为1，两个加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
解：方程移项得：3x2﹣6x＝﹣1，即x2﹣2x＝﹣，
配方得：（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
21．已知y与2x﹣3成反比例，且当x＝2时，y＝4，求y关于x的函数解析式．
【分析】根据题意可以设出y＝（k≠0），把“x＝2，y＝4”代入，解可得函数解析式．
解：依题意可设y＝（k≠0），
∵当x＝2时，y＝4，
∴4＝，
∴k＝4，
∴函数解析式为y＝．
答：y关于x的函数解析式是y＝．
22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3．
【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可．
【解答】证明：由题意得S1＝AC2，S2、＝BC2，S3＝AB2．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3．
四、（本大题共2题，每题9分，满分18分）
23．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　80　元，
②方式收费 　100　元；
（2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　y2＝0.2x　；
（3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　②　（填①或②）．
【分析】（1）由函数图象就可以得出①②收费；
（2）设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由待定系数法求出k2值即可；
（3）设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，再讨论当y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2时求出x的取值就可以得出结论．
解：（1）由函数图象，得：
①方式收费80元，②方式收费100元，
故答案为：80，100；
（2）设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由题意，得
100＝500k2，
∴k＝0.02，
∴函数解析式为：y2＝0.2x；
（3）设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，由函数图象，得：
解得：，
∴y1＝0.1x+30，
当y1＞y2时，0.1x+30＞0.2x，
解得：x＜300，
当y1＝y2时，0.1x+30＝0.2x，
解得：x＝300，
当y1＜y2时，0.1x+30＜0.2x，
x＞300，
∵200＜300，
∴方式②省钱．
故答案为：②．
24．如图，已知AD∥BC，∠CAD＝90°，点E、F分别是AB、CD的中点，AF＝CE．
（1）求证：AB＝CD；
（2）求证：AD＝BC．
【分析】（1）先由AD∥BC得到∠ACB＝∠CAD＝90°，然后由点E、F分别是AB和CD的中点，得到AB＝2CE，CD＝2AF，最后由CE＝AF得证结果；
（2）先由AC＝CA、AB＝CD得证Rt△ACB≌Rt△CAD，然后得到AD＝BC．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∠CAD＝90°，
∴∠ACB＝∠CAD＝90°，
在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，点F是CD的中点，
∴CD＝2AF，
同理可得，AB＝2CE，
∵AF＝CE，
∴AB＝CD；
（2）在Rt△ACB和Rt△CAD中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△CAD（HL），
∴AD＝BC．
五、（本大题共2题，第25题满分22分，第26小题满分22分，满分22分）
25．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线y＝（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值；
（2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标；
（3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可．
解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），
∴4a＝2，
∴a＝，
∵双曲线y＝（k＞0）过点A，
∴k＝2×4＝8．
∴a＝，k＝8．
（2）令x＝，解得x＝±4，
∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2）．
（3）设点C（0，y），
由点A，B，C的坐标可知，AB＝4，AC＝，
∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，
∴AB＝AC，即4＝，
解得y＝﹣6，或y＝10．
∴C（0，﹣6）或（0，10）．
26．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角形的性质求出∠A；
（2）作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，再根据勾股定理列式计算求出y关于x的函数解析式；
（3）分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝AB＝6，
∴EF＝|6﹣x|，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2，即y2＝（6﹣x）2+（2）2，
解得：y＝；
（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4；
当BE＝DE时，12﹣x＝，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4或8．