2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工大附中九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（word、解析版）

2021-2022学年黑龙江省哈尔滨工大附中九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列四个实数中，是无理数的为（　　）
A．﹣2 B． C． D．4
2．下列运算中，正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．a2 a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣4的最小值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
5．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
6．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为（　　）
A．a元 B．a元 C．40%a元 D．60%a元
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA＝2，∠B＝60°，则CD的长（　　）
A． B．2 C．2 D．4
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．甲、乙两车分别从相距280km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是40千米/时；
②甲车从C返回A的速度为70千米/时；
③t＝3；
④当两车相距35千米时，乙车行驶的时间是2小时或6小时；
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将45000000用科学记数法表示为 　 　．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．计算：﹣＝　 　．
14．把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是　 　．
15．不等式组的解集是　 　．
16．一个扇形的面积是3πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 　 　cm．
17．某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱内有标号分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十个质地、大小相同的小球，顾客从中任意摸出一个球，摸出的球的标号是3的倍数就得奖，顾客得奖概率是 　 　．
18．在△ABC中，tan∠B＝，AB＝，AC＝，则线段BC的长为 　 　．
19．如图，直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y＝（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB＝1：4，则k的值为 　 　．
20．如图，在四边形ABCE中，∠B＝∠A，∠E＝90°，点D在AB上，AD：BD＝5：11，连接CD，若点D在CE的垂直平分线上且满足∠A＝2∠BDC，CE＝10，则线段AB的长为 　 　．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式÷（﹣a+4）的值，其中a＝2sin60°﹣5tan45°．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（0，1），C（0，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别为A2，B2，C2．连接B2C2，并直接写出线段B2C2的长度．
23．某学校为了调查学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率，随机抽取了部分学生，利用调查问卷进行抽样调查：用“A”表示“一周5次”，“B”表示“一周4次”，“C”表示“一周3次”，“D”表示“一周2次”（必须选且只选一项），如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）本次调查中，共调查了多少人？
（2）将图（2）补充完整；
（3）如果该学校有学生1000人，请你估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人？
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
25．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）A、B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
（2）某化工厂有3000kg化工原料需要搬运，A型机器人先工作若干小时，然后B型机器人加入一起搬运化工原料，所有化工原料搬运完成．若A、B两种机器人合作的时间不超过10小时，则A种机器人至少先工作多少小时？
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝∠B．
（1）如图1，求证：AB＝CD；
（2）如图2，连接BO并延长分别交⊙O和CD于点F、E，若CD＝EB，CD⊥EB，求tan∠CBF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BF上取点G，连接CG并延长交⊙O于点I，交AB于H，EF：BG＝1：3，EG＝2，求GH的长．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax+c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN∥EC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列四个实数中，是无理数的为（　　）
A．﹣2 B． C． D．4
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
解：A、﹣2是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C、是无理数，故本选项符合题意；
D、4是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了无理数，能熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．a2 a3＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别分析得出答案．
解：A、6a﹣5a＝a，故此选项错误；
B、a2 a3＝a5，正确；
C、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
D、（a2）3＝a6，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣4的最小值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【分析】根据二次函数的最值进行解答即可．
解：二次函数y＝2（x﹣2）2﹣4的顶点坐标为（2，﹣4），
当x＝2时，函数有最小值﹣4，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题关键．
5．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣2），则k的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【分析】把（3，﹣2）代入解析式，就可以得到k的值．
解：根据题意，得k＝xy＝﹣2×3＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的系数k，比较简单．
6．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，可得∠AOC＝80°，又有∠A＝110°，∠D＝40°，根据图形可得，∠α＝∠AOC﹣∠DOC；代入数据可得答案．
解：根据旋转的意义，图片按逆时针方向旋转80°，
即∠AOC＝80°，
又∵∠A＝110°，∠D＝40°，
∴∠DOC＝30°，
则∠α＝∠AOC﹣∠DOC＝50°．
故选：C．
【点评】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
7．某种常用药品降价40%后的价格为a元，则降价前此药品的价格为（　　）
A．a元 B．a元 C．40%a元 D．60%a元
【分析】根据降价前药品的（1﹣40%）等于降价后的价格等量关系列方程，正确解方程，从而得到要求的量．
解：设降价前此药品价格为x元，
则（1﹣40%）x＝a，
x＝a．
故选：B．
【点评】此题考查列代数式问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意降价40%后的价格为a元．注意代数式的正确写法，数字写在字母的前面，应写成假分数的形式．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA＝2，∠B＝60°，则CD的长（　　）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】根据弦CD⊥AB于E，OA＝2，∠B＝60°可知CE＝DE＝CD，设BE＝x，则CE＝DE＝BE tan60°＝x，OE＝2﹣x，在Rt△ODE中，根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，OA＝2，∠B＝60°，
∴CE＝DE＝CD，设BE＝x，则CE＝DE＝BE tan60°＝x，OE＝2﹣x，
在Rt△ODE中，OE＝2﹣x，DE＝x，OD＝2，
∵OE2+DE2＝OD2，即（2﹣x）2+（x）2＝22，解得x＝1，
∴DE＝，
∴CD＝2DE＝2．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意得出OE与DE之间的关系，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD＝BC，
∴，，，
故选：C．
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断．
10．甲、乙两车分别从相距280km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，下列说法：
①乙车的速度是40千米/时；
②甲车从C返回A的速度为70千米/时；
③t＝3；
④当两车相距35千米时，乙车行驶的时间是2小时或6小时；
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象和已知条件，可以判断①②③④是否正确，从而可以解答本题．
解：由图象可得，乙车的速度为：35÷1＝35千米/时，故①错误；
甲车从开始最后回到A地用的时间为：（280﹣35）÷35＝7（小时）
则甲从C返回A地的速度为：210÷＝70千米/时，故②正确；
由图可得：t＝＝3（小时），故③正确；
乙车行驶的时间是2小时，甲乙相距是280﹣（35×2+70×1）＝140千米，故④错误；
故②③正确．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将45000000用科学记数法表示为 　4.5×107　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：45000000＝4.5×107．
故答案为：4.5×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠2　．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．计算：﹣＝　　．
【分析】先进行二次根式的化简，再进行同类二次根式的合并即可．
解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简和同类二次根式的合并．
14．把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是　a（3a+b）（3a﹣b）　．
【分析】首先提取公因式9a，进而利用平方差公式法分解因式得出即可．
解：9a3﹣ab2
＝a（9a2﹣b2）
＝a（3a+b）（3a﹣b）．
故答案为：a（3a+b）（3a﹣b）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
16．一个扇形的面积是3πcm2，圆心角是60°，则此扇形的半径是 　3　cm．
【分析】设扇形的半径为rcm，根据扇形的面积公式得出3π＝，再求出r即可．
解：设扇形的半径为rcm，
∵扇形的面积是3πcm2，圆心角是60°，
∴3π＝，
解得：r＝3（负数舍去），
即此扇形的半径为3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S＝．
17．某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱内有标号分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十个质地、大小相同的小球，顾客从中任意摸出一个球，摸出的球的标号是3的倍数就得奖，顾客得奖概率是 　　．
【分析】让标号是3的倍数的小球个数除以抽奖箱内的小球总个数即为所求的概率．
解：∵抽奖箱内有标号分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10十个质地、大小相同的小球，顾客从中任意摸出一个球，
摸出的球的标号是3的倍数的情况有：标号分别为3，6，9，一共3种，
∴顾客得奖概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
18．在△ABC中，tan∠B＝，AB＝，AC＝，则线段BC的长为 　3+或3﹣　．
【分析】此题分两种情况：如图1，过A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，由已知条件tan∠B＝，设AD＝x，BD＝3x，根据勾股定理求出x的值，从而得出AD＝1，BD＝3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出CD＝，于是得到结果；如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，同理可得结果．
解：如图1，过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B＝，
∴设AD＝x，BD＝3x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（x）2+（3x）2＝（）2，
∴x＝1，
∴AD＝1，BD＝3，
在Rt△ADC中，CD＝＝＝，
∴BC＝BD+CD＝3+；
如图2，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在Rt△ABD中，∵tan∠B＝，
∴设AD＝x，BD＝3x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（x）2+（3x）2＝（）2，
∴x＝1，
∴AD＝1，BD＝3，
在Rt△ADC中，CD＝＝＝，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣；
故答案为：3+或3﹣．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19．如图，直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y＝（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB＝1：4，则k的值为 　﹣6　．
【分析】由直线y＝2x﹣4的图象与x，y轴交于B，A两点，可求得A与B的坐标，易得△AOB∽△CDB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得CD与BD的长，继而求得点C的坐标，则可求得答案．
解：∵直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，
∴点A（0，﹣2），点B（﹣4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∵CD⊥x轴，
∴CD∥OA，
∴△AOB∽△CDB，
∵S△BCD：S△AOB＝1：4，
∴＝＝，
∴CD＝1，BD＝2，
∴OD＝OB+BD＝6，
∴点C的坐标为：（﹣6，1），
∵反比例函数y＝（x＜0）的图象过点C，
∴k＝﹣6×1＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了一次函数的性质与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，在四边形ABCE中，∠B＝∠A，∠E＝90°，点D在AB上，AD：BD＝5：11，连接CD，若点D在CE的垂直平分线上且满足∠A＝2∠BDC，CE＝10，则线段AB的长为 　20　．
【分析】过点D作DH⊥EC于点H，连接ED，从而得到DH∥AE、ED＝DC，然后得到∠AED＝∠EDH，∠EAD＝∠HDB，然后结合∠A＝2∠CDB得到∠AED＝∠EDH＝∠HDC＝∠CDB，再结合∠A＝∠B得证△AED≌△BDC，从而得到CB＝AD，由AD：BD＝5：11可设AD＝5k，BD＝11k，从而得到BC＝5k，过点C作CM⊥EC，交AB于点M，得到CM∥AE，从而得到∠A＝∠CMB＝∠B，故而CM＝CB＝5k，结合DH垂直平分线段EC得到DH＝8k，过点C作CF⊥AB于点F，由∠HDC＝∠BDC得到CH＝CF＝5，DF＝DH＝8k，进而得到BF＝3k，然后由Rt△BCF中CF2+BF2＝BC2得到k的取值，最后求得线段AB的长度．
解：如图，过点D作DH⊥EC于点H，连接ED，则∠DHC＝90°，
∵点D是线段EC的中垂线上的点，EC＝10，
∴ED＝CD，∠EDH＝∠HDC，EH＝HC＝5，
∵∠AEC＝90°，
∴DH∥AE，
∴∠AED＝∠EDH，∠EAD＝∠HDB，
∵∠A＝2∠CDB，
∴∠AED＝∠EDH＝∠HDC＝∠CDB，
又∵∠A＝∠B，ED＝DC，
∴△AED≌△BDC（AAS），
∴CB＝AD，AE＝BD，
由AD：BD＝5：11，设CB＝AD＝5k，AE＝BD＝11k，
过点C作CM⊥EC，交AB于点M，则∠MCH＝∠AEC＝90°，
∴CM∥AE，
∴∠A＝∠CMB＝∠B，
∴CM＝CB＝5k，
∵EH＝CH，
∴DH＝（AE+CM）＝（11k+5k）＝8k，
过点C作CF⊥AB于点F，则∠DFC＝∠BFC＝90°，
∵∠HDC＝∠BDC，
∴CH＝CF＝5，
∴△DHC≌△DFC（AAS），
∴DF＝DH＝8k，
∴BF＝BD﹣DF＝11k﹣8k＝3k，
在Rt△BCF中，CF2+BF2＝BC2，
∴52+（3k）2＝（5k）2，
解得：k＝，或k＝﹣（舍），
∴AB＝AD+BD＝5k+11k＝16k＝16×＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、勾股定理，解题的关键是准确作出辅助线构造三角形全等得到相关线段的长度．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式÷（﹣a+4）的值，其中a＝2sin60°﹣5tan45°．
【分析】根据分式的通分、分式的除法法则、约分法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值把a化简，代入计算即可．
解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝
＝﹣，
当a＝2sin60°﹣5tan45°＝2×﹣5×1＝﹣5时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、特殊角的三角函数值是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，1），B（0，1），C（0，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，A、B、C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）画出△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，A、B、C的对应点分别为A2，B2，C2．连接B2C2，并直接写出线段B2C2的长度．
【分析】（1）按要求作出对称图形即可；
（2）按要求作图，根据图形直接可得B2C2的长度．
解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图：
（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，如图：
由图可得B2C2的长度为3．
【点评】本题考查方格中的作图，解题的关键是掌握对称、旋转作图的方法．
23．某学校为了调查学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率，随机抽取了部分学生，利用调查问卷进行抽样调查：用“A”表示“一周5次”，“B”表示“一周4次”，“C”表示“一周3次”，“D”表示“一周2次”（必须选且只选一项），如图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：
（1）本次调查中，共调查了多少人？
（2）将图（2）补充完整；
（3）如果该学校有学生1000人，请你估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人？
【分析】（1）根据选项C的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查中，共调查了多少人；
（2）根据（1）中的结果和B所占的百分比，可以计算出选择B的人数，然后即可将图（2）补充完整；
（3）根据扇形统计图中D所占的百分比，可以计算出该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有多少人．
解：（1）100÷20%＝500（人），
即本次调查中，共调查了500人；
（2）选择B的有：500×30%＝150（人），
补全的图（2）如右图所示；
（3）1000×10%＝100（人），
即估计该学校学生利用“天天跳绳”APP锻炼身体的使用频率是“一周2次”的约有100人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
24．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
【分析】（1）首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA＝OC，OB＝OD，又由AE＝CF，可得OE＝OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠BEA＝∠DFC，
在△BEA和△DFC中，
，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵△BEA≌△DFC，
∴AE＝CF，
∵AE＝EF，
∴AE＝EF＝CF，
∴S△ADE＝S△DEF＝S△CDF＝S△ABE＝S△BEF＝S△BCF＝S△ABC，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC，
∵S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S△ABC＝×S平行四边形ABCD，
∴S△ABF＝S△BCE＝S△ADF＝S△DCE＝S平行四边形ABCD，
∴图中所有面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形为△ADF，△DCE，△ABF，△BCE．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
25．A、B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
（1）A、B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
（2）某化工厂有3000kg化工原料需要搬运，A型机器人先工作若干小时，然后B型机器人加入一起搬运化工原料，所有化工原料搬运完成．若A、B两种机器人合作的时间不超过10小时，则A种机器人至少先工作多少小时？
【分析】（1）设B种机器人每小时搬运x千克化工原料，则A种机器人每小时搬运（x+30）千克化工原料，根据A型机器人搬运900kg原料所用时间与B型机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论；
（2）设A种机器人先工作a小时，根据A种机器人a小时搬运的化工原料与A、B两种机器人合作10小时搬运的化工原料大于等于3000kg列不等式，求解即可．
解：（1）设B种机器人每小时分别搬运xkg化工原料，则A种机器人每小时分别搬运（x+30）kg化工原料，
根据题意得＝，
解得：x＝60，
经检验x＝60为原方程的解，
当x＝60时，x+30＝90，
答：A种机器人每小时搬运90kg化工原料，B种机器人每小时搬运30kg化工原料；
（2）设A种机器人先工作a小时，根据题意得：
90a+90×10+60×10≥3000，
解得：a≥，
答：A种机器人至少先工作小时．
【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用和一元一次不等式的应用，解答时根据A种机器人搬运900kg原料所用时间与B种机器人搬运600kg原料所用时间相等建立方程是关键．
26．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝∠B．
（1）如图1，求证：AB＝CD；
（2）如图2，连接BO并延长分别交⊙O和CD于点F、E，若CD＝EB，CD⊥EB，求tan∠CBF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BF上取点G，连接CG并延长交⊙O于点I，交AB于H，EF：BG＝1：3，EG＝2，求GH的长．
【分析】（1）先证AD∥BC，进而可证四边形ABCD是等腰梯形，进而命题得证；
（2）根据垂径定理得，CE＝，根据锐角三角函数得出结果；
（3）连接CF，∠BCF＝90°，∠BEC＝90°，可证∠ECF＝∠CBE，故可得，设EF＝x，CE＝2x，则BE＝4x，BG＝3EF＝3x，得出EG＝BE﹣BG＝x，于是EF＝EG＝x＝3，因为∠ECG＝∠ECF＝∠CBE，进而证得∠HBG＝∠BCH，于是△BHG∽△CHB，从而∴＝，进一步得出GH的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝CD；
（2）解：∵OE⊥CD，
∴CE＝CD，
∵CD＝BE，
∴CE＝BE，
∴tan∠CBF＝＝，
（3）解：如图3，
连接CF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ECF＝∠CBE，
∴tan∠ECF＝tan∠CBE＝，
∴，
设EF＝x，CE＝2x，
则BE＝4x，
∴BG＝3EF＝3x，
∴EG＝BE﹣BG＝x，
∴EF＝EG＝x＝3，
∴∠ECG＝∠ECF＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC﹣∠CBE＝∠BCD﹣∠ECG，
∴∠HBG＝∠BCH，
∵∠BHG＝∠CHB，
∴△BHG∽△CHB，
∴，
∵BE＝4x＝12，CE＝2x＝6，BG＝3x＝9，
∴BC＝＝6，CG＝＝3，
∴＝，
∴BH＝CH，GH＝BH，
∴GH＝，
∵CH＝GH+CG＝GH+3，
∴GH＝（GH+3），
∴GH＝．
【点评】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，圆的内接四边形性质，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关通过探求角之间关系，发现相似三角形．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax+c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN∥EC，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．
【分析】（1）将点B、C两点坐标代入抛物线解析式求得结果；
（2）作PE⊥AB于E交BC于F，证明△BEF，△PDE是等腰直角三角形，表示出BD的长，进而求得S的关系式；
（3）连接GF，组GR⊥AB于R，ET⊥AB于T，先求出点E坐标（﹣2，2），进而通过计算确定△CDE是等腰直角三角形，然后证明△FKD≌△FMD，得出DG＝DM，通过证明∠GKF＝∠HFG，证得F、G、K、H共圆，从而得出∠FKD＝90°，从而△FKD是等腰直角三角形，于是可证GH＝GF＝DK，于是GN＝DE＝2，设EG＝NHN＝t，则GK＝2t，从而在Rt△DGN根据勾股定理列出t的方程，求得t，进一步求得G点坐标．
解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣+x+6；
（2）如图1，
作PE⊥AB于E交BC于F，
∵B（6，0），C（0，6），
∴直线BC的解析式是：y＝﹣x+6，
∠BCO＝∠CBO＝45°，
∵P（t，﹣++6），
∴F（t，﹣t+6），
∴OE＝t，BE＝EF＝6﹣t，
∵PD⊥BC，
∴∠BEF＝∠PGF＝90°，
∵∠PFG＝∠BFE，
∴∠DPF＝∠OBC＝45°，
∴∠PDB＝90°﹣∠DPF＝45°，
∴DE＝PE＝﹣+t+6，
∴BD＝DE+BE＝﹣+t+6+6﹣t＝﹣+t+12，
∴S＝BD OC＝﹣t+12）＝﹣+；
（3）如图2，
连接GF，组GR⊥AB于R，ET⊥AB于T，
∵∠EOC＝45°，E在第二象限，
∴设点E（a，﹣a），
∴﹣+＝﹣a，
∴a1＝﹣2，a2＝8（舍去），
∴E（﹣2，2），
∵点E在CD的垂直平分线上，
∴EC＝ED，
设D（m，0），
∴（m+2）2+22＝（﹣2）2+（6﹣2）2，
∴m1＝2，m2＝﹣6（舍去），
∴D（2，0），
∴DE＝＝2，DT＝4，ET＝2，
∵CE2+DE2＝40，CD2＝62+22＝40，
∴CE2+DE2＝CD2，
∴∠CED＝90°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∠CDE＝45°，
∵DN∥CE，
∴∠EDN＝90°，
∴∠MDF＝∠EDN﹣∠CDE＝45°，
∴∠FDM＝∠FDK＝45°，
∵∠KHM＝90°，
∴点K、D、M、H共圆，
设∠FKG＝∠HKD＝α，
∴∠HMN＝∠HKD＝α，∠HKD+∠HMD＝180°，
∴∠HDM＝180°﹣α，
∵∠FDK＝180°﹣∠FKG＝180°﹣α，
∴∠FKD＝∠FMD，
∵FD＝FD，
∴△FKD≌△FMD（AAS），
∴DM＝DK，
设DK＝DM，
∵HN＝MN，
∴∠NMH＝∠NHM＝α，
∴∠FHG＝∠NHM＝α，
∴∠FKG＝∠FHG＝α，
∴点F、G、K、H共圆，
∴∠FGK+∠FHK＝180°，
∵KH⊥FM，
∴∠FHK＝90°，
∴∠FGK＝90°，
∴∠CED＝∠FGK＝90°，
∴CE∥GF，
∵DN∥CE，
∴∠GFH＝∠NMH＝α，
∴∠GFH＝∠GHF＝α，
∴GH＝GF，
∵∠GDF＝45°，∠FGD＝90°，
∴△FKD是等腰直角三角形，
∴GF＝DG，
设EG＝MN＝HN＝t，
∴GK＝2MN＝2t，DM＝DK＝DE﹣EK＝2﹣3t，
∴GH＝GF＝DG＝DE﹣EG＝2﹣t，
在Rt△GDN中，DG＝2﹣t，DN＝DM+MN＝2﹣3t+t＝2﹣2t，GN＝GH+HN＝2，
由DG2+DN2＝GN2得，
（2﹣t）2+（2﹣2t）2＝（2）2，
∴t1＝，t2＝2（舍去），
∴EG＝，
∴＝，
∴＝，
∵GR∥ET，
∴△DGR∽△DET，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴GR＝，DR＝，
∴OR＝DR﹣OD＝﹣2＝，
∴G（﹣，）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点坐标，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是理清关系，发现特殊性．