2021-2022学年吉林省长春市农安县九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年吉林省长春市农安县九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
2．下列说法正确的是（　　）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，出现一次故障”是随机事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差大的更稳定
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为5米．若栏杆的旋转角∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．米 C．5sinα米 D．5cosα米
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
6．已知二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，则a的值为（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
7．由二次函数y＝﹣3（x+4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向上
B．其顶点坐标为（4，2）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣4
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
8．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，BD＝2AD，BC＝24，则DE的长为（　　）
A．6 B．16 C．8 D．12
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．若，则＝　 　．
11．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝　 　．
12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 　 　．
13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：
（1）﹣÷+（1﹣）2；
（2）sin45°﹣2cos30°+．
16．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】
17．现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．
18．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店购进了一批口罩，二月份销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）如果继续按照相同的增长率增长，那么五月份的销售量会达到多少袋口罩？
19．图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，＝　 　．
（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．
（3）如图③，在AC上找一点M，连接BM、DM，使△ABM∽△CDM．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．
22．【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，GH∥AB交BC于点H，则△EGH与△ABC的面积的比值为 　 　．
23．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．动点P从点A出发，沿AB以每秒5位度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、以AP，AD为边作 APED，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为　 　（用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）连接BE，当tan∠CBE＝时，求t的值；
（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，﹣2m+3），过点A作y轴的平行线交二次函数y＝x2的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为　 　（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数y＝x2的图象上时，求m的值；
（3）当m＜0时，若AB＝2．求m的值；
（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．+x﹣1＝0 B．3x+1＝5x+42 C．ax2+bx+c＝0 D．m2﹣2m+1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．当a＝0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．下列说法正确的是（　　）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶10000km，出现一次故障”是随机事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨
D．若两组数据的平均数相同，则方差大的更稳定
【分析】直接利用概率的意义以及方差的意义、随机事件分别分析得出答案．
解：A．买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故此选项不合题意；
B．汽车累积行驶10000km，出现一次故障”是随机事件，故此选项符合题意；
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天大概率下雨，故此选项不合题意；
D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及方差的意义、随机事件，正确掌握概率的意义是解题关键．
3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】各式化为最简二次根式后，找出被开方数相同的即为同类二次根式．
解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝3，符合题意；
C、原式＝，不符合题意；
D、原式＝3，不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
4．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A'B'的位置，已知AO的长为5米．若栏杆的旋转角∠AOA'＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．米 C．5sinα米 D．5cosα米
【分析】作A'H⊥AO于H，根据三角函数求出A'H的长度即可．
解：作A'H⊥AO于H，
∵OA'＝5m，∠AOA'＝α，
∴A'H＝OA' sinα＝5sinα（米），
故选：C．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．
5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是（　　）
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C．＝ D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
解：∵∠1＝∠2
∴∠DAE＝∠BAC
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6．已知二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，则a的值为（　　）
A．0或2 B．0 C．2 D．无法确定
【分析】根据二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，可以求得a的值，本题得以解决．
解：∵二次函数y＝ax2+x+a（a﹣2）的图象经过原点，
∴0＝a×02+0+a（a﹣2）且a≠0，
解得，a＝2，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．由二次函数y＝﹣3（x+4）2﹣2可知（　　）
A．其图象的开口向上
B．其顶点坐标为（4，2）
C．其图象的对称轴为直线x＝﹣4
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：∵二次函数y＝﹣3（x+4）2﹣2，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，﹣2），
∴当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE∥BC，BD＝2AD，BC＝24，则DE的长为（　　）
A．6 B．16 C．8 D．12
【分析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，从而，代入计算即可．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵BD＝2AD，
∴
∴，
∴DE＝8，
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
9．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
解：若在实数范围内有意义，
则x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
10．若，则＝　　．
【分析】利用比例的性质设x+y＝3k，则x＝2k，用k表示x，y，将x，y的值代入即可得出结论．
解：由题意：设x+y＝3k，则x＝2k，
∴x＝2k．y＝k．
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的性质，设x+y＝3k，则x＝2k，用字母k表示出x，y是解题的关键．
11．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝　　．
【分析】根据位似图形的概念得到EF∥AB，＝，证明△OEF∽△OAB，根据相似三角形的性质计算即可．
解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O，
∴EF∥AB，＝，
∴△OEF∽△OAB，
∴＝＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到EF∥AB是解题的关键．
12．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 　（35﹣2x）（20﹣x）＝660　．
【分析】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米，然后根据长方形的面积＝长×宽，即可列出相应的方程．
解：由题意可得，
（35﹣2x）（20﹣x）＝660，
故答案为：（35﹣2x）（20﹣x）＝660．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化．
13．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　（4﹣4）　m．
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OB＝AB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是　　．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．
解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴AB＝2×|﹣3|＝6，
∴点A的坐标为（0，﹣6），
∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，
∴点E到AB的距离为3，
∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），
∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，
∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，
∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，
解得a＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．计算：
（1）﹣÷+（1﹣）2；
（2）sin45°﹣2cos30°+．
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则和完全平方公式计算，然后合并即可；
（2）先根据特殊角的三角函数值和二次根式的性质得到原式＝×﹣2×+|1﹣|，然后进行乘法运算和去绝对值，最后合并即可．
解：（1）原式＝2﹣+1﹣2+3
＝2﹣+4﹣2
＝4﹣；
（2）原式＝×﹣2×+|1﹣|
＝1﹣+﹣1
＝0．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法则是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值．
16．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】
【分析】根据正切的定义求出DE，结合图形计算，得到答案．
解：由题意得：CE＝AB＝1.8米，BE＝AC＝22米，
在Rt△DBE中，∠DBE＝32°，
则DE＝BE tan∠DBE≈22×0.62＝13.64（米），
∴CD＝DE+EC＝13.64+1.8≈15.4（米），
答：旗杆的高度CD约为15.4米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小华获胜；若颜色不同，则小林获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平，如果不公平，谁获胜的机会大．
【分析】由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，根据概率公式求出各自的概率，再进行比较即可得出答案．
解：根据题意，列表如下：
A B 红1 红2 白
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白）
红 （红，红1） （红，红2） （红，白）
由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有5种，颜色相同的结果有4种，
∴P（颜色不相同）＝，P（颜色相同）＝，
∵＜，
∴这个游戏规则对双方不公平，小林获胜的机会大．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店购进了一批口罩，二月份销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）如果继续按照相同的增长率增长，那么五月份的销售量会达到多少袋口罩？
【分析】（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，根据二月份及四月份口罩的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）五月份的销售量＝四月份的销售量×（1+x）．
解：（1）设三、四这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
（2）根据题意，得400×（1+25%）＝500（袋）．
答：五月份的销售量会达到500袋口罩．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①，＝　　．
（2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝2．
（3）如图③，在AC上找一点M，连接BM、DM，使△ABM∽△CDM．
【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答；
（2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
（3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答．
解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝1，CD＝2，
∴＝，
故答案为：；
（2）如图②，点F即为所求；
（3）如图③，点M即为所求.
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长．
【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论；
（2）由AC2＝AB AD得到62＝（AD+5） AD，则可求出AD＝4，然后利用射影定理计算出CD的长．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC：AB＝AD：AC，
∴AC2＝AB AD；
（2）解：∵AC2＝AB AD，
∴62＝（AD+5） AD，
整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4，
∵CD2＝AD BD，
∴CD＝＝2．
【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．
【分析】（1）把x＝﹣1代入已知方程，得到关于m的一元一次方程，通过解该方程来求m的值；
（2）由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况．
解：（1）将x＝﹣1代入方程x2﹣mx﹣2＝0，得1+m﹣2＝0，
解得m＝1，
解方程x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2；
（2）∵Δ＝m2+8＞0，
∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和方程的解的定义．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
22．【教材呈现】下面是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】如图②，在△ABC中，D、F分别是边BC、AB的中点，AD、CF相交于点G，GE∥AC交BC于点E，GH∥AB交BC于点H，则△EGH与△ABC的面积的比值为 　　．
【分析】【教材呈现】连接DE，如图①，先利用三角形中位线的性质得到DE∥AC，DE＝AC，则证明△DEG∽△ACG，利用相似三角形的性质得，然后利用比例的性质得到结论；
【结论应用】由（教材呈现）得，再证明△DEG∽△DCA，利用相似比得到DC＝3DE，利用相似三角形的性质解答即可．
解：【教材呈现】连接DE，如图①，
∵D、E分别为BC、BA的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴，
∴，
即；
【结论应用】∵D、F分别是边BC、AB的中点，
∴，BD＝CD，
∵GE∥AC，
∴△DEG∽△DCA，
∴，
∴，
同理可得，，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的综合，关键是根据三角形的重心性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1解答．
23．如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．动点P从点A出发，沿AB以每秒5位度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、以AP，AD为边作 APED，设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为　4t　（用含t的代数式表示）；
（2）当点E落在BC边上时，求t的值；
（3）连接BE，当tan∠CBE＝时，求t的值；
（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据角A的三角函数值求出AD＝AP＝4t．
（2）作图，根据点E落在AB边上时通过相似三角形的比例或者锐角三角函数求解．
（3）分别作出点E在BC两侧图象，构造直角三角形，通过t表示各边长再通过锐角三角函数计算．
（4）分别作出三边的垂直平分线与Q相交的图象，再根据三角形中位线及锐角三角函数求解．
解：（1）由题意得AP＝5t．
∵AB＝＝5，
∴cosA＝＝，
∴AD＝AP＝4t．
（2）如图，当点E落在BC边上时，CD＝AC﹣AD＝4﹣4t，DE＝AP＝5t．
∵DE∥AB，
∴∠CDE＝∠A，
∴cos∠CDE＝＝，
∴，解得t＝．
（3）①如图，当0＜t＜时，延长PE交BC于点F，
∵∠C＝∠CDP＝∠DPE＝90°，
∴四边形CDPF为矩形．
∴PF＝CD＝4﹣4t，CF＝DP＝3t，
∴EF＝PF﹣PE＝PF﹣AD＝4﹣4t﹣4t＝4﹣8t．
BF＝BC﹣CF＝3﹣3t．
在Rt△BFE中，tan∠CBE＝＝＝，
∴t＝．
②如图，当t＞时，PE交BC于点F，连接BE．
∵APED为平行四边形，四边形CDPF为矩形，
∴PF＝CD＝4﹣4t，PE＝AD＝4t，CF＝DP＝3t，
∴EF＝PE﹣PF＝4t﹣（4﹣4t）＝8t﹣4，BF＝BC﹣CF＝3﹣3t．
∵tan∠CBE＝＝＝．
解得t＝．
∴t＝或．
（3）①如图，当线段PE的中点为Q落在AB垂直平分线上时，K为AB中点，
在Rt△QPK中，PK＝PQ＝PE＝t，
∴AP+PK＝AB，即5t+t＝，
解得t＝．
②如图，当线段PE的中点为Q落在BC垂直平分线上时，
PQ所在线段为△ABC的中位线，即点P为AB中点，
∴5t＝，即t＝．
③如图，当线段PE的中点为Q落在AC垂直平分线上时，直线交AC，AB于点N，M，
∴线段MN为△ABC的中位线，即点M为AB中点，
同①，＝＝，
解得t＝．
综上，t＝或t＝或t＝．
【点评】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，解题关键是熟练掌握解直角三角形及作辅助线的方法．
24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，﹣2m+3），过点A作y轴的平行线交二次函数y＝x2的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为　m2　（用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数y＝x2的图象上时，求m的值；
（3）当m＜0时，若AB＝2．求m的值；
（4）当线段AB的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x＝m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，然后解方程即可；
（3）根据等量关系AB＝2和两点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
（4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答．
解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x＝m代入y＝x2，得y＝m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案是：m2；
（2）把A（m，﹣2m+3）代入y＝x2，得﹣2m+3＝m2．
解得m1＝﹣3，m2＝1；
（3）根据题意知：|﹣2m+3﹣m2|＝2．
①﹣2m+3﹣m2＝2，
解得m1＝﹣﹣1，m2＝﹣1．
∵m＜0，
∴m＝﹣﹣1，符合题意；
②﹣2m+3﹣m2＝﹣2，
解得m1＝﹣﹣1，m2＝﹣1．
∵m＜0，
∴m＝﹣﹣1，符合题意．
综上所述，m的值为﹣﹣1或﹣﹣1；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（﹣3，9）或（1，1）．
设AB＝d，
当﹣3＜m＜0时，d＝﹣2m+3﹣m2＝﹣（m+1）2+4时，对称轴是直线m＝﹣1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，﹣3＜m≤﹣1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是﹣3＜m≤﹣1或m＞1．
【点评】主要考查了二次函数综合题，注重培养二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．