2021-2022学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）（Word版 含解析）

2021-2022学年上海市长宁区九年级第一学期期末数学试卷（一模）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）
1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝c，那么BC的长为（　　）
A．c sinα B．c tanα C． D．c cotα
2．如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
4．抛物线y＝ax2+bx+c（其中a＞0、b＜0、c＞0）一定不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．下列命题中，说法正确的是（　　）
A．所有菱形都相似
B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
6．如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（　　）
A．△ABE与△ECD相似 B．△ABE与△AED相似
C． D．∠BAE＝∠ADE
二、填空题（本大题共12题，每颃4分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．已知，那么的值为 　 　．
8．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是　 　．
9．在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 　 　千米．
10．已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝　 　．
11．如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为 　 　．
12．点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝　 　．
13．如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝　 　米．
14．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（ab＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，若AB＝2，则点B坐标为 　 　．
15．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为 　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC＝∠B，则的值为 　 　．
17．定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE∥BC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比．已知，在△ABC中，BC＝4，BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，则DE＝　 　．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝　 　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．计算：cot30°﹣．
20．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标．
（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是 　 　，平移后的抛物线表达式是 　 　．
21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．
（1）用、表示、；
（2）求作在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
22．如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．
求：（1）点A到地面的距离；
（2）AB的长度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
23．如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB BD＝BC BE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如果BF＝DF，求证：AF CD＝AE DF．
24．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），其顶点D的纵坐标为4．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．
25．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．
（1）如图，如果OC＝2，求的值；
（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）
1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝c，那么BC的长为（　　）
A．c sinα B．c tanα C． D．c cotα
【分析】根据锐角三角函数的正弦值计算即可．
解：在Rt△ABC中，sinA＝，
∴BC＝c sinα
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
2．如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案．
解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||，
∴3＝﹣，
∴．
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．
3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例得到＝，即＝，可计算出BC，然后利用CE＝BE﹣BC进行计算．
解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
∴BC＝，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．抛物线y＝ax2+bx+c（其中a＞0、b＜0、c＞0）一定不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．
解：①∵a＞0、c＞0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；
②∵a＞0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数图象的对称轴是直线x＝﹣＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；
综合①②，二次函数y＝ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．
5．下列命题中，说法正确的是（　　）
A．所有菱形都相似
B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
【分析】利用菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、所有的菱形不相似，故错误，不符合题意；
B、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；
C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；
D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识，难度不大．
6．如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（　　）
A．△ABE与△ECD相似 B．△ABE与△AED相似
C． D．∠BAE＝∠ADE
【分析】证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论．
解：∵∠AEC＝∠AED+DEC＝∠B+∠BAE，∠B＝∠AED，
∴∠DEC＝∠BAE，
∵∠B＝∠C，
∴△BAE∽△CED，
∴＝，
∵BE＝CE，
∴＝，
∴＝，
∵∠B＝∠AED，
∴△ABE∽△AED，
∴＝，
故选项A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
二、填空题（本大题共12题，每颃4分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】
7．已知，那么的值为 　　．
【分析】由已知可得y＝2x，代入所求的代数式可得答案．
解：∵，
∴y＝2x，
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查比例的基本性质，根据已知得到y＝2x是解题关键．
8．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是　（0，﹣1）　．
【分析】利用顶点坐标公式直接求解．
解：根据顶点坐标公式，
得顶点横坐标为x＝＝0，
纵坐标为y＝＝﹣1，即（0，﹣1）．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
9．在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为 　0.5　千米．
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得：1：10000＝5：x，
∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000＝50000（厘米）＝0.5（千米），
故答案为：0.5．
【点评】本题考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
10．已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝　+1　．
【分析】先根据黄金比值为求出AB与AC的关系，再列式计算即可．
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，BC＝2，
∴AC＝AB，
∵AB﹣AC＝BC，
∴AB﹣AB＝2，
解得：AB＝3+，
则AC＝AB﹣BC＝+1，
故答案为：+1．
【点评】本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为是解题的关键．
11．如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为 　9：4　．
【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
解：∵两个相似三角形的周长之比为3：2，
∴它们的相似比为3：2，
∴它们的面积比为9：4，
故答案为：9：4．
【点评】此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
12．点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝　　．
【分析】连接AG交BC于点D，由EF∥BC，可得＝，又由G是△ABC的重心，可得＝，再由D是BC的中点，可得＝．
解：连接AG交BC于点D，
∵EF∥BC，
∴＝，
∵G是△ABC的重心，
∴＝，
∵D是中点，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查三角形重心定理，熟练掌握三角形重心定理，灵活应用平行线的性质是解题的关键．
13．如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝　5　米．
【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：2.4，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
解：∵坡度i＝1：2.4，
∴AC与BC的比为1：2.4，
设AC＝x米，则BC＝2.4x米，
由勾股定理，得x2+（2.4x）2＝132．
解得x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关键．
14．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（ab＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，若AB＝2，则点B坐标为 　（2，﹣2）　．
【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标，进而再根据抛物线的对称性求出点B坐标．
解：∵y＝ax2+bx﹣2（ab＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，
∴A（0，﹣2），A、B关于对称轴对称，
∵AB＝2，
∴点B坐标为（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
15．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为 　300　．
【分析】根据题意，可知△AEF∽△HAG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
解：∵F、G分别是AD和AB的中点，AD＝AB，
∴AF＝AD，AG＝AB，
∴AF＝AG，
由题意可得，△AEF∽△HAG，
∴＝，
即AF2＝30×750＝22500，
解得：AF＝150，
∴AD＝2AF＝300
故答案是：300．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC＝∠B，则的值为 　　．
【分析】先由∠ECD＝∠ACB＝90°，得出∠ECA＝∠BCD，又∠EAC＝∠B，根据两角对应相等的两三角形相似得出△ACE∽△BCD，再由相似三角形的对应边成比例得出CE：CD＝AC：BC，即CD：BC＝CE：AC，又∠ECD＝∠ACB，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得出△CDE∽△CBA，由tan∠BAC＝，根据正切函数的定义设BC＝3k，则AC＝2k，由勾股定理求出AB＝k，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD＝k，然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．
解：∵EC⊥CD，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，
∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
即∠ECA＝∠BCD，
又∵∠EAC＝∠B，
∴△ACE∽△BCD，
∴CE：CD＝AC：BC，
∴CD：BC＝CE：AC．
∴△CDE∽△CBA；，
在直角△ABC中，∵∠ACB＝90°，tan∠BAC＝＝，
∴可设BC＝3k，则AC＝2k，
∴AB＝＝k，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝k．
∵△CDE∽△CBA，
∴＝（）2＝（）2＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数的定义，有一定难度．（1）中证明出△ACE∽△BCD，根据相似三角形的对应边成比例得出CD：BC＝CE：AC是解题的关键．
17．定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE∥BC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比．已知，在△ABC中，BC＝4，BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，则DE＝　　．
【分析】先证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质可求解．
解：∵DE关于BC的横纵比为2：3，
∴设点D、点E之间距离为2x，直线DE与直线BC间的距离为3x，DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴x＝，
∴DE＝2x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝　　．
【分析】过F作FG⊥AB于点G．先求出AB＝3，BF＝3﹣1＝2．则FG＝GB＝BF＝，所以AG＝AB﹣BG＝3﹣＝2，设AE＝x，则EF＝x，EG＝2﹣x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，利用勾股定理解列出（2﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即求出BE．
解：过F作FG⊥AB于点G．
∵∠C＝90°，AC＝BC＝3，CF＝1，
∴AB＝3，BF＝3﹣1＝2．
∴FG＝GB＝BF＝，
∴AG＝AB﹣BG＝3﹣＝2，
设AE＝x，则EF＝x，EG＝2﹣x，
在Rt△EGF中，
EG2+FG2＝EF2，
即（2﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19．计算：cot30°﹣．
【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：cot30°﹣
＝﹣
＝﹣（）
＝1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标．
（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是 　向左平移1个单位，再向下平移1个单位　，平移后的抛物线表达式是 　y＝﹣x2+3　．
【分析】（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c即可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，配成顶点式即得其顶点坐标；
（2）由顶点的位置关系即可得平移过程，根据平移后顶点坐标即可得表达式．
解：（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点是（1，4）；
（2）∵抛物线的顶点是（1，4），A（0，3），
∴将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，平移的过程是向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
∵平移后抛物线形状、大小不变，
∴平移后的抛物线表达式是y＝﹣x2+3，
故答案为：向作平移1个单位，再向下平移1个单位，y＝﹣x2+3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．
（1）用、表示、；
（2）求作在、方向上的分向量．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用平行四边形法则作出图形即可．
解：（1）∵AB：CD＝3：2，
∴CD＝AB，
∴＝，
∴＝+＝+，
∴DE＝EC，CE∥AB，
∴＝＝，
∴AF＝AC，
∴＝（+）＝+．
（2）如图，在、方向上的分向量分别为，．
【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
22．如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．
求：（1）点A到地面的距离；
（2）AB的长度．（精确到0.1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）
【分析】（1）要求点A到地面的距离，所以过点A作AF⊥CD，垂足为F，然后放在直角三角形AFD中即可解答；
（2）要求AB的长度，需要把AB放在直角三角形中，所以过点A作AG⊥EC，垂足为G，在Rt△AFD中，求出DF的长，然后设CF为x，用x表示AG，BG的长，再用76°的正切值求出x，最后求出AB即可．
解：（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
在Rt△AFD中，AF＝ADsin53°＝3.5×0.8＝2.8米，
答：点A到地面的距离为2.8米；
（2）过点A作AG⊥EC，垂足为G，
则AF＝GC，AG＝CF，
在Rt△AFD中，DF＝ADcos53°＝3.5×0.6＝2.1米，
设CF为x米，则CD为（2.1+x）米，
在Rt△BCD中，BC＝CDtan45°＝（2.1+x）米，
∴GB＝GC﹣BC＝2.8﹣（2.1+x）＝（0.7﹣x）米，
在Rt△AGB中，tan76°＝，
∴tan76°＝，
∴，
解得：x≈0.56，
∴CF＝AG＝0.56米，
∴AB＝＝≈0.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形得应用—仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB BD＝BC BE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）如果BF＝DF，求证：AF CD＝AE DF．
【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明△ABE∽△CBD，得∠BDC＝∠AEB，从而证明∠ADE＝∠E，则AD＝AE；
（2）利用三角形外角的性质证明∠BAF＝∠FBC，证明△BCF∽△ABF，得，则（AF﹣AD） DF＝AF CF，进行化简即可．
【解答】证明：（1）∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵AB BD＝BC BE，
∴，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠BDC＝∠AEB，
∵∠BDC＝∠ADE，
∴∠AEB＝∠ADE，
∴AD＝AE；
（2）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠FBD，
∵∠BDF＝∠BAF+∠ABD，∠FBD＝∠DBC+∠CBF，
∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠CBF，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BAF＝∠FBC，
∵∠BFC＝∠AFB，
∴△BCF∽△ABF，
∴，
∴BF2＝AF CF，
∵DF＝BF，
∴DF2＝AF CF，
∵DF＝AF﹣AD，
∴（AF﹣AD） DF＝AF CF，
∴AF DF﹣AD DF＝AF CF，
∴AF DF﹣AF CF＝AD DF，
∴AF （DF﹣CF）＝AD DF，
∵DF﹣CF＝CD，AD＝AE，
∴AF CD＝AE DF．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键．
24．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），其顶点D的纵坐标为4．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的正切值；
（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．
【分析】（1）根据对称轴公式：x＝﹣可得对称轴是：x＝﹣1，得D（﹣1，4），根据顶点式可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入可得结论；
（2）如图1，构建直角三角形，计算AM和CM的长，根据正切的定义可得结论；
（3）根据正切相等可得∠ACB＝∠DAB，所以得AC＝AF，根据两点的距离公式列方程可得结论．
解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，
∴对称轴是：x＝﹣＝﹣1，
∴顶点D的坐标为（﹣1，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，
把（0，3）代入得：a+4＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点A作AM⊥BC于M，
当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝3+1＝4，BC＝＝，AC＝3，
∵S△ABC＝AB OC＝BC AM，
∴＝×AM，
∴AM＝，
由勾股定理得：CM＝＝＝，
∴tan∠ACB＝＝＝2；
（3）如图2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝＝＝2，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵∠DAB＝∠AFC，
∴∠ACB＝∠AFC，
∴AC＝AF，
设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3，
设F（m，﹣3m+3），
∴（3）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，
解得：m1＝0（舍），m2＝，
∴F（，﹣），
∴CF＝＝．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的解析式，对称轴公式，顶点式，三角函数的定义，两点的距离，三角形面积等知识，第三问有难度，得出∠AFC＝∠ACB是本题的关键．
25．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．
（1）如图，如果OC＝2，求的值；
（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．
【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；
（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；
（3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解．
解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，
∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC，
∴∠B＝∠OEC＝∠AED，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△OEC，
∴，
∴＝，
∴EC＝，
∴AE＝，
∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ODB，
∴＝（）2＝（）2＝；
（2）如图1，当点E在AC上时，
∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，
∴AE＝EO，
由（1）可知：△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴EC＝OC，
∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，
∴OC＝；
当点E在线段CA的延长线上时，如图2，
∵∠EAO＞90°，△AEO是等腰三角形，
∴AE＝AO，
∴∠E＝∠AOE，
∵∠B＝∠C＝∠OEC，
∴∠B＝∠AOE，
∴△ABC∽△AOE，
∴，
∴，
∴AE＝OC，
由（1）可知：△ABC∽△OEC，
∴，
∴，
∴EC＝OC，
∵AC＝EC﹣AE＝5，
∴OC﹣OC＝5，
∴OC＝，
综上所述：线段OC的长为或；
（3）如图3，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，
∴∠EBO＝∠DCA，
∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB，
∴∠DAC＝∠BOE，
∴△CDA∽△BEO，
∴，
∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，
∴△ABE∽△ODC，
∴，
∴，
∴，
∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去），
∴OC＝8﹣．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．