2020-2021学年湖南省永州市零陵区九年级（上）期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省永州市零陵区九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上）
1．下列各点在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，0）
2．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．﹣
3．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（　　）
A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
4．在小孔成像问题中，如图所示，若点O到AB的距离是18cm，点O到CD的距离是6cm，则像CD的长与物体AB长的比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1
5．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
6．近几年来，零陵区在区委区政府的坚强领导下，坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入学习十九大精神，贯彻新发展理念，全区经济保持总体平稳发展态势，据初步统计，我区2017年财政总收入16.4亿元，2019年财政总收入18.4亿元，已知两年财政总收入增长的百分率相同，若设每年增长的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．16.4（1﹣x）2＝18.4 B．16.4（1﹣x2）＝18.4
C．16.4（1﹣2x）＝18.4 D．16.4（1+x）2＝18.4
7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
9．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…按此规律继续下去，则矩形ABn nCn﹣1的周长为（　　）
A．3×（）n B．3×（）n﹣1 C．6×（）n D．6×（）n﹣1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．随机从甲，乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为＝13，＝13，S甲2＝4，S乙2＝3.8，则小麦长势比较整齐的试验田是 　 　．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 　 　．
13．抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是 　 　．
14．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于 　 　．
15．如图是拦水坝的横断面，斜纹AB的高度为6米，斜面的坡比为1：2，则斜坡AB的长为 　 　米．（保留根号）
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），AB⊥x轴于点B，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为 　 　．
17．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 　 　．
18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．计算：|﹣3|+（π+2020）0﹣2tan45°sin30°．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
21．已知：关于x的一元二次方程x2+x+m﹣3＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22＝5，求m的值．
22．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好；并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 　 　名学生；若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生共有 　 　名．
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 　 　度．
（3）若该校九年级爱好阅读的学生有150人，估计九年级有多少学生？
23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
24．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
26．如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24cm，tan∠ABC＝．
（1）求AB的长；
（2）如图2，点P沿线段BC从B点向C点以每秒2cm的速度运动，同时点Q沿线段CA向A点以每秒1cm的速度运动，且当P点停止运动时，另一点Q也随之停止运动，若P点运动时间为t秒．
①若∠APQ＝∠B时，求证：△ABP∽△PCQ；并求此时t的值；
②点P沿线段BC从B点向C点运动过程中，是否存在t的值，使△PQC的面积最大；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡的空格上）
1．下列各点在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，0）
【分析】根据y＝得k＝xy＝2，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于2，就在函数图象上．
解：k＝xy＝2，
A．xy＝1×2＝k，符合题意；
B．xy＝﹣1×2＝﹣2≠k，不合题意；
C．xy＝1×（﹣2）＝﹣2≠k，不合题意；
D．xy＝2×0＝0≠k，不合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．﹣
【分析】根据两内项之积等于两外项之积求出b＝2a，然后代入比例式进行计算即可得解．
解：∵＝，
∴b＝2a，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了比例式的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记．
3．为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”．统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”的频率是（　　）
A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
解：由图知，八年级（3）班的全体人数为：25+30+10+20+15＝100（人），
选择“5G时代”的人数为：30人，
∴选择“5G时代”的频率是：；
故选：B．
【点评】本题考查了频数分布折线图，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
4．在小孔成像问题中，如图所示，若点O到AB的距离是18cm，点O到CD的距离是6cm，则像CD的长与物体AB长的比是（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：1 D．3：1
【分析】如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出CD：AB＝OF：OE＝6：18＝1：3（相似三角形的对应高的比等于相似比），由此即可解决问题．
解：如图，作OE⊥AB于E，EO的延长线交CD于F．
∵AB∥CD，
∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴CD：AB＝OF：OE＝6：18＝1：3（相似三角形的对应高的比等于相似比），
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住相似三角形对应高的比等于相似比，属于中考常考题型．
5．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．不能确定
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出y1，y2的值，然后比较大小即可．
解：∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝3，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
6．近几年来，零陵区在区委区政府的坚强领导下，坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入学习十九大精神，贯彻新发展理念，全区经济保持总体平稳发展态势，据初步统计，我区2017年财政总收入16.4亿元，2019年财政总收入18.4亿元，已知两年财政总收入增长的百分率相同，若设每年增长的百分率为x，根据题意列方程得（　　）
A．16.4（1﹣x）2＝18.4 B．16.4（1﹣x2）＝18.4
C．16.4（1﹣2x）＝18.4 D．16.4（1+x）2＝18.4
【分析】如果设财政总收入的年平均增长率为x，根据2017年投入16.4亿元，得出2018年财政总收入16.4（1+x）亿元，2019年财政总收入16.4（1+x）2亿元，从而可得出方程．
解：根据题意得16.4（1+x）2＝18.4．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
7．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
解：过点A′作A′C⊥AB于点C，
由题意可知：A′O＝AO＝4，
∴sinα＝，
∴A′C＝4sinα，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
8．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
【分析】利用相似三角形判定方法依次判断可求解．
解：由题意可得：△ACD和△ABC中，∠CAD＝∠BAC，
若∠ACD＝∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项A不合题意；
若∠ADC＝∠ACB，由有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项B不合题意；
若AC2＝AD AB，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，故选项C不合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
9．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝x﹣b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，由此即可得出＜0，﹣b＜0，即可得出一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
解：∵二次函数开口向下，
∴a＜0；
∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，
∴b符号与a相异，b＞0；
∵反比例函数图象经过一三象限，∴c＞0，
∴＜0，﹣b＜0，
∴一次函数y＝x﹣b的图象经过二三四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…按此规律继续下去，则矩形ABn nCn﹣1的周长为（　　）
A．3×（）n B．3×（）n﹣1 C．6×（）n D．6×（）n﹣1
【分析】根据已知和矩形的性质可分别求得AC，AC1，AC2的长，从而可发现规律，根据规律即可求得第n个矩形的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC＝＝＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2，
∴矩形AB1C1C的周长和矩形ABCD的周长的比：2，
∵矩形ABCD的周长＝2×（2+1）＝6，
∴矩形AB1C1C的周长＝6×，
依此类推，矩形AB2C2C1的周长和矩形AB1C1C的周长的比，
∴矩形AB2C2C1的周长6×（）2，
∴矩形AB3C3C2的周长＝6×（）3
按此规律第n个矩形的周长为：6×（）n，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．随机从甲，乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为＝13，＝13，S甲2＝4，S乙2＝3.8，则小麦长势比较整齐的试验田是 　乙　．
【分析】根据方差的意义判断即可．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
解：由方差的意义，观察数据可知乙块试验田的方差小，故乙试验田小麦长势比较整齐．
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立
12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 　﹣2　．
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝0代入关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，然后解关于m的一元二次方程即可．
解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．
13．抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是 　（2，﹣3）　．
【分析】根据抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，可以看出该函数解析式就是二次函数的顶点式，从而可以直接得到该函数的顶点坐标，从而可以解答本题．
解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3
∴该抛物线的顶点坐标为：（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确函数的顶点式，由顶点式可以直接得到顶点坐标．
14．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于 　﹣4　．
【分析】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝2，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
解：∵△POM的面积等于2，
∴|k|＝2，
而k＜0，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
15．如图是拦水坝的横断面，斜纹AB的高度为6米，斜面的坡比为1：2，则斜坡AB的长为 　6　米．（保留根号）
【分析】根据斜面坡度为1：2，斜坡AB的水平宽度为12米，可得AC＝12m，BC＝6m，然后利用勾股定理求出AB的长度．
解：∵斜面坡度为1：2，AC＝12m，
∴BC＝6m，
则AB＝＝＝6（m）．
故答案为：6m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），AB⊥x轴于点B，以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍得到△OA1B1，且点A1在第二象限，则点A1的坐标为 　（﹣2，4）　．
【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A1的坐标．
解：∵点A的坐标为（﹣1，2），以原点O为位似中心，将△OAB放大为原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，
∴点A1的坐标为（﹣2，4）．
故答案为：（﹣2，4）．
【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
17．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 　　．
【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．
解：如图，连接AB．
∵OA＝AB＝，OB＝2，
∴OB2＝OA2+AB2，
∴∠OAB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∴sin∠AOB＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 　x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣　．
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得．
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．计算：|﹣3|+（π+2020）0﹣2tan45°sin30°．
【分析】先算绝对值，零指数和三角函数，再加减．
解：原式＝3+1﹣2×1×＝3．
【点评】本题考查实数的混合计算，确定计算顺序，正确化简绝对值，零指数和三角函数是求解本题的关键．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，再设P（m，0），知PC＝|﹣1﹣m|，根据S△ACP＝ PC yA＝4求出m的值即可得出答案．
解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，
∴y＝，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（m，0），
则PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP＝ PC yA＝4，
∴×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、三角形的面积问题．
21．已知：关于x的一元二次方程x2+x+m﹣3＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两根为x1，x2，且满足x12+x22＝5，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，结合m≥0，即可得出m的取值范围为0≤m≤3；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1 x2＝m﹣3，结合x12+x22＝5，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x+m﹣3＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（m﹣3）≥0，
解得：m≤3，
又∵m≥0，
∴0≤m≤3，
∴m的取值范围为0≤m≤3．
（2）∵x1，x2为一元二次方程x2+x+m﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1 x2＝m﹣3．
又∵x12+x22＝5，即（x1+x2）2﹣2x1 x2＝5，
∴（﹣）2﹣2（m﹣3）＝5，
解得：m＝1，
∴m的值为1．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x12+x22＝5，找出关于m的一元一次方程．
22．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好；并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次研究中，一共调查了 　100　名学生；若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生共有 　600　名．
（2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是 　108　度．
（3）若该校九年级爱好阅读的学生有150人，估计九年级有多少学生？
【分析】（1）根据娱乐的人数以及百分比求出总人数即可．
（2）求出阅读的人数，画出条形图即可，利用360°×百分比取圆心角．
（3）根据总人数，个体，百分比之间的关系解决问题即可．
解：（1）总人数＝20÷20%＝100（名），
若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生有1500×＝600（名）．
故答案为100，600．
（2）圆心角＝360°×108°，
条形图如图所示：
故答案为108．
（3）150÷30%＝500（名），
答：估计九年级有500名学生．
【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）利润＝销售量×单位利润．单位利润为x﹣40，销售量为500﹣10（x﹣50），据此表示利润得关系式；
（3）销售成本不超过10000元，即进货不超过10000÷40＝250kg．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论．
解：
（1）销售量：500﹣5×10＝450（kg）；
销售利润：450×（55﹣40）＝450×15＝6750（元）
（2）y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000
（3）由于水产品不超过10000÷40＝250kg，定价为x元，
则（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000
解得：x1＝80，x2＝60
当x1＝80时，进货500﹣10（80﹣50）＝200kg＜250kg，符合题意，
当x2＝60时，进货500﹣10（60﹣50）＝400kg＞250kg，舍去．
所以销售单价应为80元．
【点评】此题的创意在第三问，同时考虑进出两个方面的问题，比较后得结论．
24．如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40海里的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20海里到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处立即出发以每小时30海里速度赶到C处进行救援，问救援队能否在2小时内到达C处进行救援？请说明理由．
【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，解直角三角形即可得到结论；
（2）在Rt△BCM中，解直角三角形求得∠MBC＝60°，再求得∠CBG＝45°，BC＝80nmile，即可得到结论．
解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，如图所示：
由题意，知∠BAM＝45°，则∠ABM＝45°．
在Rt△ABM中，∠BAM＝45°，AB＝40海里，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴BM＝AM＝AB＝×40＝20（海里）．
答：渔船航行20海里与小岛B的距离最近．
（2）救援队能在2小时内到达C处进行救援，理由如下：
∵BM＝20海里，MC＝20海里，
∴tan∠MBC＝＝＝，
∴∠MBC＝60°，
∴∠CBG＝180°﹣60°﹣45°﹣30°＝45°，
在Rt△BCM中，∠MBC＝60°，
∴∠BCM＝30°，
∴BC＝2BM＝40（海里），
∴40÷30＝＜2．
即：救援队能在2小时内到达C处进行救援．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣3＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．
26．如图1，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24cm，tan∠ABC＝．
（1）求AB的长；
（2）如图2，点P沿线段BC从B点向C点以每秒2cm的速度运动，同时点Q沿线段CA向A点以每秒1cm的速度运动，且当P点停止运动时，另一点Q也随之停止运动，若P点运动时间为t秒．
①若∠APQ＝∠B时，求证：△ABP∽△PCQ；并求此时t的值；
②点P沿线段BC从B点向C点运动过程中，是否存在t的值，使△PQC的面积最大；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．利用等腰三角形的性质求出BH，AH，可得结论；
（2）①根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
②构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝AB＝12（cm），
∵tan∠ABC＝，
∴AH＝5（cm），
∴AB＝＝＝13（cm）；
（2）①如图2中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠B，
∴∠CPQ＝∠BAP，
∴△ABP∽△PCQ，
∴＝，
∴＝，
解得t＝；
②过点Q作QJ⊥BC于点J．则QJ＝CQ sinC＝t，
∴S△PQC＝ CP QJ＝（24﹣2t）×t＝﹣（t﹣6）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝6时，△PQC的面积最大，最大值为．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题．