2021-2022学年黑龙江省大庆市龙凤区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2021-2022学年黑龙江省大庆市龙凤区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列具有二次函数关系的是（　　）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．sinB＝ C．cosA＝ D．tanB＝2
3．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
5．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）
A． B．2 C． D．
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
7．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
8．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．4
9．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．2
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．比较大小：sin80° 　 　tan50°（填“＞”或“＜”）．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行 　 　m才能停下来．
13．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 　 　cm．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 　 　．
15．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 　 　．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是 　 　．
17．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的序号是 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．计算：
（1）2sin30°+3cos60°+tan45°；
（2）．
20．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
21．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝CF AC．
23．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．
24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积．
25．某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
26．如图，平行四边形ABCD中，AB+BC＝20，sinA＝，P是AB边上一点，设DC＝x，△PCD的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求△PCD的面积的最大值；
（2）若以DC为直径的圆过P、B两点，求CD的长．
27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
（3）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．
28．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；
（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
1．下列具有二次函数关系的是（　　）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；
D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．sinB＝ C．cosA＝ D．tanB＝2
【分析】分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，
故sinA＝＝＝，故A选项错误；
sinB＝＝＝，故B选项错误；
cosA＝＝＝，故C选项错误；
tanB＝＝2，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．
3．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】求出∠BOC，利用圆周角定理即可解决问题．
解：∵＝，
∴∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BPC＝∠BOC＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（　　）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
5．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（　　）
A． B．2 C． D．
【分析】作直径CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠CDO，根据圆周角定理得到∠OBC＝∠CDO，等量代换即可．
解：作直径CD，
∵∠COD＝90°，
∴点D在x轴上，
在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，
则OD＝＝4，
tan∠CDO＝＝，
由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，
则tan∠OBC＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】根据切线长定理得到AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据BC＝5，于是得到△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
7．如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，点A的坐标为（　　）
A．（﹣12，0） B．（﹣13，0） C．（±12，0） D．（±13，0）
【分析】由题意可知：直线l与⊙A相切，设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，利用直线l的解析式设出点B的坐标，可得线段BE，OB的长，由直角三角形的边角关系可得tan∠AOB＝；解直角三角形ABO可得OB的长，利用勾股定理可求OA的长，点A坐标可得，同理可求当A在x轴的正半轴上的坐标为（13，0）．
解：当⊙A与直线l：y＝x只有一个公共点时，直线l与⊙A相切，
设切点为B，过点B作BE⊥OA于点E，如图，
∵点B在直线y＝x上，
∴设B（m，m），
∴OE＝﹣m，BE＝﹣m．
在Rt△OEB中，tan∠AOB＝．
∵直线l与⊙A相切，
∴AB⊥BO．
在Rt△OAB中，tan∠AOB＝．
∵AB＝5，
∴OB＝12．
∴OA＝．
∴A（﹣13，0）．
同理，在x轴的正半轴上存在点（13，0）．
综上所述，点A的坐标为（±13，0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，正比例函数的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，解直角三角形，勾股定理．利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（　　）
A．4 B．2 C．2 D．4
【分析】过点B作BH⊥CD的延长线于点H．由点D为△ABC的内心，∠A＝60°，得∠BDC＝120°，则∠BDH＝60°，由BD＝4，求得BH，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：过点B作BH⊥CD的延长线于点H．
∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°，
∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），
∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，
则∠BDH＝60°，
∵BD＝4，
∴DH＝2，BH＝2，
∵CD＝2，
∴△DBC的面积＝CD BH＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
9．二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2（a＜b）与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是（　　）
A．m＜a＜n＜b B．a＜m＜b＜n C．m＜a＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【分析】依照题意画出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）及y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的大致图象，观察图象即可得出结论．
解：二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．2
【分析】连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到﹣x2+2x＝0得B（2，0），利用配方法得到A（，3），则OA＝2，从而可判断△AOB为等边三角形，接着利用∠OAP＝30°得到PH＝AP，利用抛物线的对称性得到PO＝PB，所以OP+AP＝PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可．
解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，
当y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则B（2，0），
y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，则A（，3），
∴OA＝＝2，
而AB＝AO＝2，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+AP＝PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC＝AB＝×2＝3，
∴OP+AP的最小值为3．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11．比较大小：sin80° 　＜　tan50°（填“＞”或“＜”）．
【分析】正弦函数值小于1，而tan50°＞tan45°，故tan50°＞1即可比较二者大小．
解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，
∴tan50°＞1，
又sin80°＜1，
∴sin80°＜tan50°；
故答案为：＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性，正弦（切）函数值随角的增大而增大，但锐角的正弦函数值小于1．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2，飞机着陆后滑行 　200　m才能停下来．
【分析】根据二次函数的顶点坐标即可求解．
解：s＝20t﹣0.5t2
＝﹣0.5（t﹣20）2+200
当t＝20时，s有最大值为200．
即飞机着陆后滑行200m才能停下来．
故答案为200．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是求二次函数的顶点坐标．
13．如图，一根排水管道的横截面是半径为13cm的圆．排水管内有水，若水面宽度AB＝24cm，则水管中的水最大深度为 　8　cm．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝24cm，
∴BD＝AB＝12（cm），
∵OB＝OC＝13cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝5（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（cm），
即水管中的水最大深度为8cm，
故答案为：8．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；正确作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 　　．
【分析】作圆周角∠AMC，连接OB交AC于N，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠AMC，根据平行四边形的性质得出∠B＝∠AOC＝2∠AMC，根据圆内接四边形的性质得出∠AMC+∠B＝180°，求出∠AMC＝60°，求出∠AOC＝120°，解直角三角形求出ON、OA，再根据弧长公式求出即可．
解：
如图，作圆周角∠AMC，连接OB交AC于N，
则∠AOC＝2∠AMC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠B＝∠AOC＝2∠AMC，
∵四边形MABC是⊙O的内接四边形，
∴∠AMC+∠B＝180°，
∴∠AMC+2∠AMC＝180°，
∴∠AMC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AN＝CN＝AC＝＝，
∵OA＝OC，
∴∠AOB＝∠COB＝60°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴OA＝2ON，
∴（2ON）2＝ON2+（）2，
解得：ON＝1，
即OA＝2ON＝2，
∴的长是＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质等知识点，能求出∠AOC的度数是解此题的关键．
15．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 　　．
【分析】在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论．
解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则BC＝1，AB＝AC＝，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当y＜5时，x的取值范围是 　0＜x＜4　．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x＝4时，y＝5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，
所以，x＝4时，y＝5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y＝5的另一个x的值是解题的关键．
17．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4．
其中正确结论的序号是 　①②③④　．
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；
故答案为：①②③④．
【点评】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y＝|ax2+bx+c|与二次函数y＝ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　　．
【分析】在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ＝AP，当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．
解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴＝，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．
【点评】本题考查胡不归求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将PA转化为PQ是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．计算：
（1）2sin30°+3cos60°+tan45°；
（2）．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：（1）原式＝
＝；
（2）＝
＝8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球
的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．解答以下问题
（1）小球从飞出到落地要用多少时间？
（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？
【分析】（1）令h＝0，求t即可；
（2）由配方法，得到抛物线顶点坐标，问题可解．
解：（1）令h＝20t﹣5t2＝0
解得t1＝0（舍去），t2＝4
∴小球从飞出到落地要用4s
（2）由配方法得
y＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20
∵a＝﹣5＜0
∴小球飞行的最大高度是20m，此时需要飞行2s．
【点评】本题是代数综合题，考查了二次函数和一元二次方程的有关知识．
21．避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度（B，C，D三点共线），在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【分析】解直角三角形求出BC，BD，根据CD＝BC﹣BD求解即可．
解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，
∴1.60＝，
∴BD＝32（米），
在Rt△CAB中，∵tan∠CAB＝，
∴1.33＝，
∴BC＝26.6（米），
∴CD＝BD﹣BC＝5.4（米）．
答：避雷针DC的长度为5.4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝CF AC．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB＝∠ABC＝∠C，由DF⊥AC，得∠CDF+∠C＝90°，等量代换可证∠ODF＝90°，从而证明结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理知∠ADB＝90°，从而证明△CFD∽△CDA，得CD2＝CF AC，而CD＝BD，代入即可．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝∠C，
∵DF⊥AC，
∴∠CDF+∠C＝90°，
∴∠CDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
又∵OD是半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，
∵∠CDF+∠C＝90°，∠C+∠DAC＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠DFC＝∠ADC＝90°，
∴△CFD∽△CDA，
∴，
∴CD2＝CF AC，
∴BD2＝CF AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．
（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）代入x＝2求出y值，用其减去﹣2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），
将A（3，﹣3）代入y＝ax2，
﹣3＝9a，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2．
（2）当x＝2时，y＝﹣×22＝﹣．
∵﹣﹣（﹣2）＝＞0.5，
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．
24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE＝3，CE＝3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC＝∠ACO，加上∠ACO＝∠CAO，从而得到∠DAC＝∠CAO；
（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE＝60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影＝S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．
解：（1）连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥CO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）设⊙O半径为r，
在Rt△OEC中，∵OE2+EC2＝OC2，
∴r2+27＝（r+3）2，解得r＝3，
∴OC＝3，OE＝6，
∴cos∠COE＝＝，
∴∠COE＝60°，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COB＝ 3 3﹣＝﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
25．某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于24元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（15，45）、（24，36）代入，得：
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60（15≤x≤24）；
（2）根据题意知，W＝（x﹣15）y
＝（x﹣15）（﹣x+60）
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∵15≤x≤24，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大利润是324元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
26．如图，平行四边形ABCD中，AB+BC＝20，sinA＝，P是AB边上一点，设DC＝x，△PCD的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求△PCD的面积的最大值；
（2）若以DC为直径的圆过P、B两点，求CD的长．
【分析】（1）过D作DH⊥AB于H，根据AB＝CD＝x，得AD＝BC＝20﹣x，又sinA＝，故DH＝AD sinA＝（20﹣x），可得y＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣10）2+40，即知当x＝10时，△PCD的面积的最大值是40；
（2）连接BD，根据以DC为直径的圆过P、B两点得∠DBC＝90°，可得sin∠DBC＝sinA＝，BD＝CD＝x，故BC＝＝x，即得x+x＝20，即可解得CD为．
解：（1）过D作DH⊥AB于H，如图：
∵AB＝CD＝x，
∴AD＝BC＝20﹣x，
∵sinA＝，
∴DH＝AD sinA＝（20﹣x），
∴y＝×（20﹣x） x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣10）2+40，
∵﹣＜0，
∴当x＝10时，y取最大值为40，
故△PCD的面积的最大值是40；
（2）连接BD，如图：
∵以DC为直径的圆过P、B两点，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DCB＝∠A，
∴sin∠DCB＝sinA＝，
即＝，
∴BD＝CD＝x，
∴BC＝＝x，
∵CD+BC＝20，
∴x+x＝20，
解得x＝，
故CD为．
【点评】本题考查平行四边形、二次函数、圆的综合知识，难度适中，解题的关键是用含x的代数式表示相关的线段的长度．
27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．
（1）求证：∠DCF＝∠CAD．
（2）探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；
（3）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．
【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）可证明△FCD∽△FAC，即可得出结论；
（3）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠OCD+∠OCA＝90°，
∵FC是⊙O的切线，
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
∴∠OCA+∠DCF，
∵OC＝OA，
∴∠CAD＝∠OCA，
∴∠DCF＝∠CAD；
（2）解：FC2＝FD FA，理由如下：
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝，
∴FC2＝FD FA；
（3）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，
∴＝，
由（2）知△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
∴FC2＝FD FA，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．
【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
28．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；
（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；
（2）分类讨论三角形相似情况即可；
（3）由已知，满足条件的Q点在以A、D、F（﹣1，1）的圆E在第二象限的部分，连接CE交圆于Q，则CQ最小．
解：（1）∵直线y＝x+1与x轴交点为A，
∴点A的坐标为（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴点C的坐标为（1，0），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，
∴抛物线为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0），
①当∠ADE＝90°时，△ADE∽△AOB．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，坐标为（﹣1，4）；
②当∠AED＝90°时，△AED∽△AOB．
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
过点P作PG⊥AC于点G，则△AED∽△PGD．
于是 ＝＝＝，
∴PG＝3GD．
即：﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），
解得 t1＝﹣2，t2＝3（不合题意，舍去）．
当t＝﹣2时，﹣22+2×2+3＝3，
所以此时点P的坐标为（﹣2，3）．
综上所述，点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）存在，CQ的最小值为﹣，
如图，取点F（﹣1，1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，）为圆心．
∵tan∠AFD＝2，
∴（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．
连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值，
此时CE＝＝，⊙E半径为＝，
∴CQ最小值为﹣．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象性质、三角形相似以及隐形圆的构造，解答时注意数形结合．