八上人教版 13.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的的性质与判定

八上-第十三章 轴对称-13.3 等腰三角形-13.3.2 等边三角形-第1课时 等边三角形的的性质与判定
一、选择题（共5小题；共25分）
1. 如图， 为 的直径，， 为 上的两点，若 ，．则 的度数是
A. B. C. D.
2. 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者先从鱼塘中捕获 条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验发现捕捞的鱼有标记的频率稳定在 左右，则鱼塘中鱼的条数大约为
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
3. 如图，在等边三角形 中， 于点 ．若 ，则 的长是
A. B. C. D.
4. 下列推理中，不能判断 是等边三角形的是
A. B. ，
C. ， D. ，且
5. 已知 是等边三角形 的高，且 厘米，那么 的长是
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
二、填空题（共3小题；共15分）
6. 如图， 是等边三角形， 为角平分线，若 ，则 的长度为 ．
7. 如图，在 中，，，则 ．
8. 如图，等边三角形纸片 的边长为 ，， 是边 上的三等分点．分别过点 ， 沿着平行于 ， 方向各剪一刀，则剪下的 的周长是 ．
三、解答题（共7小题；共91分）
9. 如图所示， 是等边三角形， 为中线，，求 的度数．
10. 如图，等边三角形 的边长为 ，点 是边 上一动点（不与点 ， 重合），以 为边在 的下方作等边三角形 ，连接 ，．
（1）在运动的过程中， 与 有何数量关系 请说明理由；
（2）当 时，求 的度数．
11. 如图， 与 相交于点 ，若 ，，且 ，求证： 是等边三角形．
12. 如图， 为等边三角形 的边 上一点，且 ，，试判定 的形状，并说明理由．
13. 已知：如图， 中，点 是 边上的一点，， 交 的外角平分线于点 ．求证： 是等边三角形．
14. 如图， 中，， 的平分线交 于 ， 交 的延长线于点 ， 交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
15. 如图，点 是线段 上除点 ， 外的任意一点，分别以 ， 为边在线段 的同旁作等边 和等边 ，连接 交 于 ，连接 交 于 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）判断 的形状并说明理由．
答案
第一部分
1. B 【解析】如图，连接 ，
，，
，
是等边三角形，
，
．
2. B
3. B
4. D 【解析】A选项：由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故A错误；
B选项：由“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故B错误；
C选项：由“，”可以得到“”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故C错误；
D选项：由“，且 ”只能判定 是等腰三角形，故D正确．
5. B
第二部分
6.
【解析】 为等边三角形，，
．
为角平分线，
，
．
7.
【解析】，，
．
是 的外角，
．
．
．
8.
【解析】 等边三角形纸片 的边长为 ，， 是边 上的三等分点，
，
，，
是等边三角形，
剪下的 的周长是 ．
第三部分
9. 是等边三角形， 为中线，
， .
，
.
．
10. （1） ．理由：
和 是等边三角形，
，，，
在 与 中，
，
．
（2） ，，
为 的中点，
是等边三角形，
，
，
由（）知 ，
．
11. ，
是等边三角形，
.
，
， .
.
是等边三角形．
12. 是等边三角形.
理由：
是等边三角形，
，．
在 和 中，
（）.
， .
.
是等边三角形．
13. 在线段 上截取 ，使 ．
，
等边三角形，，
，，，
又 平分 ，
，
．
，
，
（）．
．
为等边三角形．
14. （1） 因为 ，，
所以 ，
因为 平分 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
（2） 因为 ，
所以 ，
又 ，，
所以 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 为等边三角形，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
在 中，．
15. （1） 因为 和 是等边三角形，
所以 ，，，，
所以 ，
所以 ，
在 和 中，
所以 ，
所以 ．
（2） 等边三角形，
理由如下：
因为由（）得，，
所以 ，
因为 ，而 ，， 三点共线，
所以 ，
在 和 中，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 为等边三角形．
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