人教A版选修2-3第一章 计数原理同步练习 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(Word版，含解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版选修2-3第一章 计数原理同步练习 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(Word版，含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 85.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-11 21:07:23 | ||
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文档简介
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 某中学需从 年师范大学毕业的 名女大学生和 名男大学生中选聘 人，则不同的选法种数为
A. B. C. D.
2. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把 根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为
A. B. C. D.
3. 高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 如果，从甲地到乙地有 条路，从乙地到丁地有 条路；从甲地到丙地有 条路，从丙地到丁地有 条路．从甲地到丁地的不同路线共有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5. 甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 ，，，，，为遵守当地某月 日至 日 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为
A. B. C. D.
6. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都选取到喜欢的礼物，则不同的选法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 从 ， 中选一个数字，从 ，， 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
A. B. C. D.
8. 李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 天假期中，到“东亚文化之都 泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 如果一个三位正整数如“”满足 ，且 ，则称这样的三位数为凸数（如 ，， 等），那么所有凸数的个数为
A. B. C. D.
10. 从数字 ，，，， 中取出 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 ，则这样的三位数的个数为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 有 本不同的数学书， 本不同的语文书， 本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有 种不同的取法．
12. 如图，从 有 种不同的走法．
13. 现有 种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点 ，，，， 涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则一共有 种涂法．
14. 用红，黄，蓝三种颜色去涂图中标号为 ，，， 的九宫格中的 个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“，，”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法有 种．
15. 若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 某地政府召集 家企业的负责人开会，其中甲企业有 人到会，其余 家企业各有 人到会，会上有 人发言，则这 人来自 家不同企业的情况有多少种
17. 某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形 （边长为 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点 处的所有不同走法共有多少种
18. 假设今天是 月 日，某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（ 月 日 月 日）内选择一天出游，在①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择 月 日出游；③丙不选择 月 日出游；④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法数．
未来六天空气质量预报
答案
第一部分
1. B 【解析】选取的方法可分为两类：从 名女大学生中选聘 人，有 种选法；
从 名男大学生中选聘 人．有 种选法．
根据分类加法计数原理，不同的选法种数为 ，故选B．
2. B 【解析】按每一位算筹的根数分类一共有 种情况，如下：，，，，，，，，，，，，，，，
根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，
则上述情况能表示的三位数字个数分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，
根据分类加法计数原理， 根算筹能表示的三位数字个数为
．
3. C 【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 种选择，共有 种情况，
其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 种选择，共有 种方案；
则符合条件的有 种．
4. C 【解析】若经乙地，则有 条，
若经甲地，则有 条，
故共有 条．
5. B
【解析】 日至 日，日期尾数分别为 ，，，，，有 天是奇数日， 天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有 种选择，共有 种；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选 天安排甲的车，另外 天安排其他车，有 种，第二类，不安排甲的车，每天都有 种选择，共有 种，共有 种．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为 ．
6. B 【解析】①甲同学选择牛，乙有 种选择，丙有 种选择，选法有 （种）；
②甲同学选择马，乙有 种选择，丙有 种选择，选法有 （种），
所有总共有 （种）选法．
7. B 【解析】分两类情况讨论：
第 类，奇偶奇，个位有 种选择，十位有 种选择，百位有 种选择，共有 （个）奇数；
第 类，偶奇奇，个位有 种选择，十位有 种选择，百位有 种选择，共有 （个）奇数．
根据分类加法计数原理知，共有 （个）奇数．
8. C 【解析】任意相邻两天组合一起，一共有 种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有 种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有 种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 （种）．
9. A 【解析】若 ，则百位数字只能选 ，个位数字可选 或 ，“凸数”为 与 ，共 个．
若 ，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 （个）．
若 ，满足条件的“凸数”有 （个），
，
若 ，满足条件的“凸数”有 （个）．
所以所有凸数有 （个）．
10. C
【解析】从数字 ，，，， 中取出 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 ，可分为三类情况：
（）当三个数为 ，， 时， 可以在个位、十位、百位，所以共有 个这样的三位数；
（）当三个数为 ，， 时，共有 个这样的三位数；
（）当三个数为 ，， 时，只有 个这样的三位数．
由分类加法计数原理可得，共有 个，即这样的三位数共有 个．
第二部分
11.
【解析】任取两本不同类的书分为三类：①取数学、语文各一本；②取语文、英语各一本；③取数学、英语各一本．在每一类中利用分步乘法计数原理，再利用分类加法计数原理即可．共有 种不同取法．
12.
【解析】分为两类，不过 点有 种方法，过 点有 种方法，共有 种方法．
13.
【解析】第 类：顶点 ， 同色．顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，此时顶点 与顶点 同色，只有 种颜色可选，顶点 有 种颜色可供选择，不同的涂法有 种．
第 类：顶点 ， 不同色．顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，此时顶点 与顶点 不同色，有 种颜色可选，顶点 有 种颜色可供选择，不同的涂法有 种．综上，不同的涂法共有 种．
14.
【解析】分三步：第一步，先给标号 ，， 的小正方形涂色，有 种涂法．
第二步，给标号 ，， 的小正方形涂色，又分两类：一是标号 与标号 ，， 涂色相同，则标号 ， 各有 种涂法，共 种涂法；二是标号 与标号 ，， 涂色不同，则标号 有 种涂法，此时标号 ， 只有 种涂法，共 种涂法．综上可知，标号 ，， 的小正方形的涂法有 种．
第三步，给标号 ，， 的小正方形涂色，显然跟标号 ，， 的小正方形涂色方法一样，也是 种．
根据分步乘法计数原理，符合条件的所有涂法有 种．
15.
【解析】方法一：
如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步．
当染边 时有 种染法，则染边 有 种染法．
（）当 与 同色时有 种染法，则 有 种， 有 种，此时染法总数为 （种）．
（）当 与 不同色时， 有 种，
①当 与 同色时， 有 种， 有 种；
②当 与 不同色时， 有 种， 有 种，则此时有 （种）．
综合（），（），由分类加法计数原理，可得染法的种数为 种．
方法二：
通过分析可知，每种颜色至少要涂 次，至多只能涂 次，即有一色涂 次，剩余两种颜色各涂 次．一次的有 种涂法，涂 次的有 种涂法，故一共有 （种）涂法．
第三部分
16. 第一类，甲企业有 人发言，有 种情况，另两个发言人来自其余 家企业，有 种情况，由分步乘法计数原理知有 种情况；
第二类， 人全来自其余 家企业，有 种情况．
根据分类加法计数原理，共有 种情况．
17. 由题意知正方形 （边长为 个单位）的周长是 ，
抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点 处表示三次骰子的点数之和是 ，
点数中三个数字能够使得和为 的有
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，共 种组合．
① ，，；，，；，， 这三种组合中，每一种又可以列出 种不同结果，所以有 种；
② ，，；，， 这两种组合中，每种有 种结果，所以有 种；
③组合 ，， 只有 种结果．
根据分类加法计数原理知，共有 种不同走法．
18. 若选择①②③，则三人出游的不同方法数 ．
若选择①②④，则需分两类，第一类，若甲选择 月 日出游，则三人出游的不同方法数 ；第二类，若甲不选择 月 日出游，则三人出游的不同方法数 ．故这三人出游的不同方法数 ．
若选择①③④，则三人出游的不同方法数 ．
若选择②③④，则三人出游的不同方法数 ．
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一、选择题（共10小题；共50分）
1. 某中学需从 年师范大学毕业的 名女大学生和 名男大学生中选聘 人，则不同的选法种数为
A. B. C. D.
2. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把 根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为
A. B. C. D.
3. 高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 如果，从甲地到乙地有 条路，从乙地到丁地有 条路；从甲地到丙地有 条路，从丙地到丁地有 条路．从甲地到丁地的不同路线共有
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5. 甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 ，，，，，为遵守当地某月 日至 日 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为
A. B. C. D.
6. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学都选取到喜欢的礼物，则不同的选法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 从 ， 中选一个数字，从 ，， 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
A. B. C. D.
8. 李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 天假期中，到“东亚文化之都 泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9. 如果一个三位正整数如“”满足 ，且 ，则称这样的三位数为凸数（如 ，， 等），那么所有凸数的个数为
A. B. C. D.
10. 从数字 ，，，， 中取出 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 ，则这样的三位数的个数为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 有 本不同的数学书， 本不同的语文书， 本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有 种不同的取法．
12. 如图，从 有 种不同的走法．
13. 现有 种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点 ，，，， 涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则一共有 种涂法．
14. 用红，黄，蓝三种颜色去涂图中标号为 ，，， 的九宫格中的 个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“，，”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法有 种．
15. 若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有 种．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 某地政府召集 家企业的负责人开会，其中甲企业有 人到会，其余 家企业各有 人到会，会上有 人发言，则这 人来自 家不同企业的情况有多少种
17. 某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示的正方形 （边长为 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 ，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点 处的所有不同走法共有多少种
18. 假设今天是 月 日，某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示．该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（ 月 日 月 日）内选择一天出游，在①甲只选择空气质量为优的一天出游；②乙不选择 月 日出游；③丙不选择 月 日出游；④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个，求这三人出游的不同方法数．
未来六天空气质量预报
答案
第一部分
1. B 【解析】选取的方法可分为两类：从 名女大学生中选聘 人，有 种选法；
从 名男大学生中选聘 人．有 种选法．
根据分类加法计数原理，不同的选法种数为 ，故选B．
2. B 【解析】按每一位算筹的根数分类一共有 种情况，如下：，，，，，，，，，，，，，，，
根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，
则上述情况能表示的三位数字个数分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，
根据分类加法计数原理， 根算筹能表示的三位数字个数为
．
3. C 【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有 种选择，共有 种情况，
其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有 种选择，共有 种方案；
则符合条件的有 种．
4. C 【解析】若经乙地，则有 条，
若经甲地，则有 条，
故共有 条．
5. B
【解析】 日至 日，日期尾数分别为 ，，，，，有 天是奇数日， 天是偶数日．第一步，安排偶数日出行，每天都有 种选择，共有 种；第二步，安排奇数日出行，分两类，第一类，选 天安排甲的车，另外 天安排其他车，有 种，第二类，不安排甲的车，每天都有 种选择，共有 种，共有 种．根据分步乘法计数原理，不同的用车方案种数为 ．
6. B 【解析】①甲同学选择牛，乙有 种选择，丙有 种选择，选法有 （种）；
②甲同学选择马，乙有 种选择，丙有 种选择，选法有 （种），
所有总共有 （种）选法．
7. B 【解析】分两类情况讨论：
第 类，奇偶奇，个位有 种选择，十位有 种选择，百位有 种选择，共有 （个）奇数；
第 类，偶奇奇，个位有 种选择，十位有 种选择，百位有 种选择，共有 （个）奇数．
根据分类加法计数原理知，共有 （个）奇数．
8. C 【解析】任意相邻两天组合一起，一共有 种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有 种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有 种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 （种）．
9. A 【解析】若 ，则百位数字只能选 ，个位数字可选 或 ，“凸数”为 与 ，共 个．
若 ，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 （个）．
若 ，满足条件的“凸数”有 （个），
，
若 ，满足条件的“凸数”有 （个）．
所以所有凸数有 （个）．
10. C
【解析】从数字 ，，，， 中取出 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于 ，可分为三类情况：
（）当三个数为 ，， 时， 可以在个位、十位、百位，所以共有 个这样的三位数；
（）当三个数为 ，， 时，共有 个这样的三位数；
（）当三个数为 ，， 时，只有 个这样的三位数．
由分类加法计数原理可得，共有 个，即这样的三位数共有 个．
第二部分
11.
【解析】任取两本不同类的书分为三类：①取数学、语文各一本；②取语文、英语各一本；③取数学、英语各一本．在每一类中利用分步乘法计数原理，再利用分类加法计数原理即可．共有 种不同取法．
12.
【解析】分为两类，不过 点有 种方法，过 点有 种方法，共有 种方法．
13.
【解析】第 类：顶点 ， 同色．顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，此时顶点 与顶点 同色，只有 种颜色可选，顶点 有 种颜色可供选择，不同的涂法有 种．
第 类：顶点 ， 不同色．顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，顶点 有 种颜色可供选择，此时顶点 与顶点 不同色，有 种颜色可选，顶点 有 种颜色可供选择，不同的涂法有 种．综上，不同的涂法共有 种．
14.
【解析】分三步：第一步，先给标号 ，， 的小正方形涂色，有 种涂法．
第二步，给标号 ，， 的小正方形涂色，又分两类：一是标号 与标号 ，， 涂色相同，则标号 ， 各有 种涂法，共 种涂法；二是标号 与标号 ，， 涂色不同，则标号 有 种涂法，此时标号 ， 只有 种涂法，共 种涂法．综上可知，标号 ，， 的小正方形的涂法有 种．
第三步，给标号 ，， 的小正方形涂色，显然跟标号 ，， 的小正方形涂色方法一样，也是 种．
根据分步乘法计数原理，符合条件的所有涂法有 种．
15.
【解析】方法一：
如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步．
当染边 时有 种染法，则染边 有 种染法．
（）当 与 同色时有 种染法，则 有 种， 有 种，此时染法总数为 （种）．
（）当 与 不同色时， 有 种，
①当 与 同色时， 有 种， 有 种；
②当 与 不同色时， 有 种， 有 种，则此时有 （种）．
综合（），（），由分类加法计数原理，可得染法的种数为 种．
方法二：
通过分析可知，每种颜色至少要涂 次，至多只能涂 次，即有一色涂 次，剩余两种颜色各涂 次．一次的有 种涂法，涂 次的有 种涂法，故一共有 （种）涂法．
第三部分
16. 第一类，甲企业有 人发言，有 种情况，另两个发言人来自其余 家企业，有 种情况，由分步乘法计数原理知有 种情况；
第二类， 人全来自其余 家企业，有 种情况．
根据分类加法计数原理，共有 种情况．
17. 由题意知正方形 （边长为 个单位）的周长是 ，
抛掷三次骰子后，棋子恰好又回到点 处表示三次骰子的点数之和是 ，
点数中三个数字能够使得和为 的有
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，
，，，共 种组合．
① ，，；，，；，， 这三种组合中，每一种又可以列出 种不同结果，所以有 种；
② ，，；，， 这两种组合中，每种有 种结果，所以有 种；
③组合 ，， 只有 种结果．
根据分类加法计数原理知，共有 种不同走法．
18. 若选择①②③，则三人出游的不同方法数 ．
若选择①②④，则需分两类，第一类，若甲选择 月 日出游，则三人出游的不同方法数 ；第二类，若甲不选择 月 日出游，则三人出游的不同方法数 ．故这三人出游的不同方法数 ．
若选择①③④，则三人出游的不同方法数 ．
若选择②③④，则三人出游的不同方法数 ．
第1页（共1 页）