人教A版选修2-3第一章 计数原理同步练习 1.3 二项式定理(Word版，含解析)

1.3 二项式定理
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知 ，若 ，则
A. B. C. D.
2. 在 的展开式中，含 项的系数为
A. B. C. D.
3. 设 ，则 等于
A. B. C. D.
4. 设 ，则 的值为
A. B. C. D.
5. 若 ，则
A. B. C. D.
6. 设 ，则 的值为
A. B. C. D.
7. （其中 ）的展开式中， 的系数与 的系数相同，则实数 的值为
A. B. C. D.
8. 设 ，且 ，若 能被 整除，则
A. B. C. D.
9. 的展开式中 的系数是
A. B. C. D.
10. 除以 的余数是
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 已知 ，则 ．
12. 二项式 的展开式中常数项为 ．
13. 的展开式中常数项是 ．（用数字作答）
14. 观察如图所示的三角形数阵，则该数阵最后一行各数之和为 ．
15. 记 ，则 ， ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. ，求 的值．
17. 求 被 除的余数．
18. 已知 的展开式中，前三项系数成等差数列．
（1）求含 项的系数；
（2）将 的展开式中的所有项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．
答案
第一部分
1. A 【解析】由题意，令 ，
可得 ，
解得 ，
所以 ，
所以展开式中 的系数为 ，
故选A．
2. C 【解析】 的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，则 ．
的展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，
综上可得，含 项的系数为 ．
3. C 【解析】
4. B 【解析】易得 的展开式的通项为 ，
所以 ，，，， 为正数，，，，， 为负数，
所以
令 ，得 ，
所以 ．
5. A
【解析】令 ，得 ，
令 ，得 ，
故
6. C 【解析】，
令 ，可得 ．
令 ，可得 ，
所以 ．
7. D 【解析】 的展开式的通项为 ，
因为 的系数与 的系数相同，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ．
故选D．
8. D 【解析】因为 ，
所以
又因为 能被 整除，所以只需 能被 整除，
因为 ，，
所以 ，
故选D．
9. D 【解析】 的展开式的通项是
令 ，解得 ，
所以展开式中 的系数是 ．
10. B
【解析】
所以 除以 的余数是 ．
第二部分
11.
【解析】等式两边同时对 求导，可得 ，令 ，得 ．
12.
【解析】二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以该二项式展开式中常数项为 ，
故答案为：．
13.
14.
【解析】由题图得最后一行各数之和为：
．
15. ，
【解析】因为 ，
则 即 的系数，故为 ．
再令 ，可得 ，
故 ．
第三部分
16. 令 得 ；
令 得 ．
由两式可解的 ，，
所以 ．
17.
故只需求出 被 除的余数即可，因为
所以余数为 ．
18. （1） 因为 的展开式的通项为 ，
所以前三项的系数分别为 ，，，
又知前三项系数成等差数列，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍去）．
所以展开式的通项为 ．
令 ，得 ，
所以含 项的系数为 ．
（2） 由（）知 ， 的展开式的通项为 ．
当 为整数时，，对应的项为有理项．
因为展开式共有 项，所以将所有项重新排列共有 种排法，
其中有理项有 项，有理项互不相邻有 种排法，
所以有理项互不相邻的概率 ．
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