人教A版选修2-3第一章 计数原理同步练习 1.4 计数模型（补充）(Word版，含解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版选修2-3第一章 计数原理同步练习 1.4 计数模型（补充）(Word版，含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 137.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-11 21:10:06 | ||
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文档简介
1.4 计数模型（补充）
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 用数字 ，，，， 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为
A. B. C. D.
3. 若直线方程 的系数 ， 可以从 ，，，，， 这六个数字中任取两个不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是
A. B. C. D.
4. 要将甲、乙、丙、丁 名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为
A. B. C. D.
5. 从正方体的 个顶点中选取 个作为顶点，可得到四面体的个数为
A. B. C. D.
6. 现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为
A. B. C. D.
7. 某学校从 年实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在物、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照北大高考招生选考科目要求物、化必选，现为该生安排课表（上午四节、下午四节，其中上午第四节和下午第一节不算相邻），若该生某天最后两节为自习课，且数学不排在下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表的不同排法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于 ，则称此四位数为“完美四位数”（如 ），则由数字 ，，，，，，， 构成的“完美四位数”中，奇数的个数为
A. B. C. D.
9. 某校在“数学联赛”考试后选取了 名教师参加阅卷，试卷共 道解答题，要求将这 名教师分成 组，每组改一道解答题，其中 组各有 名教师，另外 组各有 名教师，则不同的分配方案的种数是
A. B. C. D.
10. 从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同的工作，若乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 某校开设 门选修课程，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修 门，则一共有 种不同的选修方案．
12. 用 ，，，，， 这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻，且 和 必须相邻，则满足条件的六位数的个数为 ．（用数字作答）
13. 某县城中学安排 位教师（含甲）去 所不同的农村小学（含 小学）支教，每位教师只能支教一所农村小学，且每所农村小学都有教师支教．甲不去 小学，则不同的安排方法种数为 ．
14. 平面上有 个不同的点，其中任何 点不在同一直线上．如果任取 点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形．（结果用数值表示）
15. 学校在周一至周五的 天中安排 天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排的 天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有 种．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 直线 ，，将圆面 分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法
17. 某次文艺晚会上共演出 个节目，其中 个歌曲， 个舞蹈， 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种 （用数字作答）
（1）一个歌曲节目开头，另一个歌曲节目放在最后压台．
（2） 个歌曲节目相邻且 个曲艺节目不相邻．
18. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 ，， 三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下的不同报名方法的种数．
（1）甲、乙报同一项目，丙不报 项目；
（2）甲不报 项目，且 ， 项目报名的人数相同．
答案
第一部分
1. C
2. B 【解析】由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在 ，， 中任选一个数，有 种选择，其他数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为 ．故选B
3. A 【解析】第一类：先考虑除 之外的五个数字，它们可以组成的直线条数为 ，
但由于 ，，，，
从而不同的直线条数应为 ；
第二类：， 中恰有一个为 时，所表示的直线为 或 共 条．
由分类加法计数原理可知，不同的直线条数应为 ．
4. B 【解析】甲和另一个人一起分到A班有 种分法，甲一个人分到A班有 种分法，故共有 种分法．
5. A
6. D 【解析】先涂Ⅰ，有 种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ．
①当Ⅱ，Ⅳ相同时，涂法有 种，故不同的涂色方法种数有 ．
②当Ⅱ，Ⅳ不同时，涂法有 种，故不同的涂色方法种数有 ．
综上所述，不同的涂色方法数为 ．
7. B 【解析】首先在物、化、生、史、地、政中六选三，且物、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有 种选法，然后对所选六科课程进行排列，分两类讨论，第 类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课的任意一节，剩下的四科全排列，共有 种排法；第 类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有 种排法，语文和外语可都安排在上午，可以是上午一、三节，上午一、四节，上午二、四节，共 种情况，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有 种情况，其他三科可以全排列，则共有 种排法．所以该生该天的课表的不同排法共有 种．
8. B 【解析】分情况讨论：
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，，，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ，前三位的数字还可能为 ，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ；
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ，前三位的数字还可能为 ，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ；
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ；
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ．
综上所述，由数字 ，，，，，，， 构成的“完美四位数”中，奇数共有 个．
9. D 【解析】 人分成 组共有 种不同的分组方案，所以共有 种分配方案．
10. A
【解析】利用分类加法计数原理，分三种情况：
（）选派乙和丙 人从事翻译、导游工作，再从剩下的 人中选 人从事礼仪工作，则排法种数是 ；
（）选派乙、丙中的 人从事翻译或导游中的一项工作，再从剩下的 人中选派 人从事余下的两项工作，则排法种数是 ；
（）乙和丙都没有被选派，三项工作分配给丙、丁、戊三人，则排数种数是 ．
综上所述，不同的选派方案共有 种．
第二部分
11.
12.
【解析】根据题意分情况讨论：
（）先将数字 和 捆绑在一起，且 排在 的前面，再和数字 ， 进行排列，共有 种排法，排好后形成 个空，最后将数字 ， 插空，因为偶数不能相邻，所以 ， 不能插入与 相邻的空里，故有 种排法．
因此，满足此条件的六位数的个数为 ．
（）先将数字 和 捆绑在一起，且 排在 的前面，再和数字 ， 进行排列，因为 不能排在最前面，所以共有 种排法，最后将数字 ， 插空，同（），共有 种排法．
因此，满足此条件的六位数的个数为 ．
综上，满足条件的六位数的个数为 ．
13.
【解析】 小学若安排 人，则有 （种），
小学若安排 人，则有 （种），
小学若安排 人，则有 （种），
故共有 （种）．
14.
15.
第三部分
16. 第 步，涂A区域有 种方法；第 步，涂B区域有 种方法；第 步，涂C区域和D区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有 种涂法；若C区域涂A，B剩余 种颜色之一，即有 种涂法，则D区域有 种涂法．故共有 种不同的涂色方法．
17. （1） 根据题意，分 步进行分析：
①要求 个歌曲节目 个在开头，另一个在最后，有 种安排方法，
②将剩下的 个节目全排列，安排在中间，有 种安排方法，则一共有 种安排方法．
（2） 根据题意，分 步进行分析：
① 个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有 种情况，
②将这个整体与 个舞蹈节目全排列，有 种情况，排好后有 个空位，
③在 个空位中任选 个，安排 个曲艺节目，有 种情况，则一共有 种安排方法．
18. （1） 甲、乙报同一项目，丙不报 项目，共有 种报名方法．
（2） 由题意，若 ， 项目各有一人，有 种报名方法；
若 ， 项目各有两人，有 种报名方法，
所以甲不报 项目，且 ， 项目报名的人数相同的报名方法共有 种．
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一、选择题（共10小题；共50分）
1. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2. 用数字 ，，，， 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为
A. B. C. D.
3. 若直线方程 的系数 ， 可以从 ，，，，， 这六个数字中任取两个不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是
A. B. C. D.
4. 要将甲、乙、丙、丁 名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为
A. B. C. D.
5. 从正方体的 个顶点中选取 个作为顶点，可得到四面体的个数为
A. B. C. D.
6. 现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为
A. B. C. D.
7. 某学校从 年实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在物、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目．已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业，按照北大高考招生选考科目要求物、化必选，现为该生安排课表（上午四节、下午四节，其中上午第四节和下午第一节不算相邻），若该生某天最后两节为自习课，且数学不排在下午第一节，语文、外语不相邻，则该生该天课表的不同排法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 如果一个四位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于 ，则称此四位数为“完美四位数”（如 ），则由数字 ，，，，，，， 构成的“完美四位数”中，奇数的个数为
A. B. C. D.
9. 某校在“数学联赛”考试后选取了 名教师参加阅卷，试卷共 道解答题，要求将这 名教师分成 组，每组改一道解答题，其中 组各有 名教师，另外 组各有 名教师，则不同的分配方案的种数是
A. B. C. D.
10. 从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派三人分别从事翻译、导游、礼仪三项不同的工作，若乙和丙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这三项工作，则不同的选派方案有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 某校开设 门选修课程，其中A、B、C三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修 门，则一共有 种不同的选修方案．
12. 用 ，，，，， 这六个数字组成一个无重复数字的六位数，要求偶数互不相邻，且 和 必须相邻，则满足条件的六位数的个数为 ．（用数字作答）
13. 某县城中学安排 位教师（含甲）去 所不同的农村小学（含 小学）支教，每位教师只能支教一所农村小学，且每所农村小学都有教师支教．甲不去 小学，则不同的安排方法种数为 ．
14. 平面上有 个不同的点，其中任何 点不在同一直线上．如果任取 点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形．（结果用数值表示）
15. 学校在周一至周五的 天中安排 天分别进行甲、乙两项不同的活动，若安排的 天不相邻且甲活动不能安排在周一，则不同的安排方式有 种．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 直线 ，，将圆面 分成A，B，C，D四个区域，用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法
17. 某次文艺晚会上共演出 个节目，其中 个歌曲， 个舞蹈， 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种 （用数字作答）
（1）一个歌曲节目开头，另一个歌曲节目放在最后压台．
（2） 个歌曲节目相邻且 个曲艺节目不相邻．
18. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加 ，， 三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下的不同报名方法的种数．
（1）甲、乙报同一项目，丙不报 项目；
（2）甲不报 项目，且 ， 项目报名的人数相同．
答案
第一部分
1. C
2. B 【解析】由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在 ，， 中任选一个数，有 种选择，其他数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为 ．故选B
3. A 【解析】第一类：先考虑除 之外的五个数字，它们可以组成的直线条数为 ，
但由于 ，，，，
从而不同的直线条数应为 ；
第二类：， 中恰有一个为 时，所表示的直线为 或 共 条．
由分类加法计数原理可知，不同的直线条数应为 ．
4. B 【解析】甲和另一个人一起分到A班有 种分法，甲一个人分到A班有 种分法，故共有 种分法．
5. A
6. D 【解析】先涂Ⅰ，有 种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ．
①当Ⅱ，Ⅳ相同时，涂法有 种，故不同的涂色方法种数有 ．
②当Ⅱ，Ⅳ不同时，涂法有 种，故不同的涂色方法种数有 ．
综上所述，不同的涂色方法数为 ．
7. B 【解析】首先在物、化、生、史、地、政中六选三，且物、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有 种选法，然后对所选六科课程进行排列，分两类讨论，第 类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课的任意一节，剩下的四科全排列，共有 种排法；第 类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有 种排法，语文和外语可都安排在上午，可以是上午一、三节，上午一、四节，上午二、四节，共 种情况，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有 种情况，其他三科可以全排列，则共有 种排法．所以该生该天的课表的不同排法共有 种．
8. B 【解析】分情况讨论：
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，，，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ，前三位的数字还可能为 ，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ；
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ，前三位的数字还可能为 ，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ；
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ；
（）个位数字为 ，则前三位的数字可能为 ，此时构成的“完美四位数”为奇数的个数为 ．
综上所述，由数字 ，，，，，，， 构成的“完美四位数”中，奇数共有 个．
9. D 【解析】 人分成 组共有 种不同的分组方案，所以共有 种分配方案．
10. A
【解析】利用分类加法计数原理，分三种情况：
（）选派乙和丙 人从事翻译、导游工作，再从剩下的 人中选 人从事礼仪工作，则排法种数是 ；
（）选派乙、丙中的 人从事翻译或导游中的一项工作，再从剩下的 人中选派 人从事余下的两项工作，则排法种数是 ；
（）乙和丙都没有被选派，三项工作分配给丙、丁、戊三人，则排数种数是 ．
综上所述，不同的选派方案共有 种．
第二部分
11.
12.
【解析】根据题意分情况讨论：
（）先将数字 和 捆绑在一起，且 排在 的前面，再和数字 ， 进行排列，共有 种排法，排好后形成 个空，最后将数字 ， 插空，因为偶数不能相邻，所以 ， 不能插入与 相邻的空里，故有 种排法．
因此，满足此条件的六位数的个数为 ．
（）先将数字 和 捆绑在一起，且 排在 的前面，再和数字 ， 进行排列，因为 不能排在最前面，所以共有 种排法，最后将数字 ， 插空，同（），共有 种排法．
因此，满足此条件的六位数的个数为 ．
综上，满足条件的六位数的个数为 ．
13.
【解析】 小学若安排 人，则有 （种），
小学若安排 人，则有 （种），
小学若安排 人，则有 （种），
故共有 （种）．
14.
15.
第三部分
16. 第 步，涂A区域有 种方法；第 步，涂B区域有 种方法；第 步，涂C区域和D区域；若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有 种涂法；若C区域涂A，B剩余 种颜色之一，即有 种涂法，则D区域有 种涂法．故共有 种不同的涂色方法．
17. （1） 根据题意，分 步进行分析：
①要求 个歌曲节目 个在开头，另一个在最后，有 种安排方法，
②将剩下的 个节目全排列，安排在中间，有 种安排方法，则一共有 种安排方法．
（2） 根据题意，分 步进行分析：
① 个歌曲节目相邻，将其看成一个整体，有 种情况，
②将这个整体与 个舞蹈节目全排列，有 种情况，排好后有 个空位，
③在 个空位中任选 个，安排 个曲艺节目，有 种情况，则一共有 种安排方法．
18. （1） 甲、乙报同一项目，丙不报 项目，共有 种报名方法．
（2） 由题意，若 ， 项目各有一人，有 种报名方法；
若 ， 项目各有两人，有 种报名方法，
所以甲不报 项目，且 ， 项目报名的人数相同的报名方法共有 种．
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