人教A版选修2-3第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用(Word版，含解析)

2.2 二项分布及其应用
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 同时抛掷 枚质地均匀的硬币 次，设 枚硬币均正面向上的次数为 ，则 的数学期望是
A. B. C. D.
2. 如图是某个闭合电路的部分，每个元件正常导电的概率为 ，则从 到 这部分电路能通电的概率为
A. B. C. D.
3. 在 重伯努利试验中，事件 在每次试验中发生的概率相同，若事件 至少发生一次的概率为 ，则事件 发生的次数 的期望和方差分别为
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
4. 某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛．现有 名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为 ，每名同学有 次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响．现规定：投进两个得 分，投进一个得 分，一个未进得 分，则一名同学投篮得 分的概率为
A. B. C. D.
5. 已知袋子内有 个球，其中 个红球， 个白球，从中不放回地依次抽取 个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是
A. B. C. D.
6. 从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为 ，身体关节结构造合格率为 ，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）
A. B. C. D.
7. 设随机变量 ，则 等于
A. B. C. D.
8. 口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸一个球，定义数列 ，如果 是数列 的前 项和，那么 的概率是
A. B.
C. D.
9. 袋中装有标号为 ，，，，， 且大小相同的 个小球，从袋中一次性摸出两个球，记下号码并放回，若两个号码的和是 的倍数，则获奖．现有 人参与摸球，则恰好 人获奖的概率是
A. B. C. D.
10. 甲盒中有 个螺杆，其中有 个 型的，乙盒中有 个螺母，其中有 个 型的．现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成 型螺栓的概率为
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 某气象台统计，该地区下雨的概率为 ，刮四级以上风的概率为 ，既刮四级以上的风又下雨的概率为 ，设 为下雨， 为刮四级以上的风，则 ， ．
12. 某处有 个水龙头，调查表明每个水龙头被打开的概率均为 ，各个水龙头是否被打开互不影响，随机变量 表示水龙头同时被打开的个数，则 ．（用数字作答）
13. 甲袋中有 个白球， 个红球；乙袋中有 个白球， 个红球．从两袋中各任取一个球，则取得同色球的概率为 ．
14. 某学校在春天来临时开展了以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为 ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领取了此种盆栽植物 株，设 为其中成活的株数，若 ，，则 ．
15. 从数字 ，，， 中任取一个数，记为 ，再从由小到大排列的自然数 ，， 中任取一个数，记为 ，则 为 的概率是 ．
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 某公司的一次招聘中，应聘者都要经过 ，， 三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过 ，， 每个项目测试的概率都是 ．
（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为 ，求 的分布列．
17. 已知某种高射炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 ．
（1）假定有 门这种高射炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率．
（2）要使敌机一旦进入这个区域后有 以上的概率被击中，需至少布置几门高射炮
18. 假设某种人寿保险规定：若投保人没活过 岁，则保险公司要赔偿 万元；若投保人活过 岁，则保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付 万元．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过 岁的概率都为 ，随机抽取其中的 个投保人，设其中活过 岁的人数为 ，保险公司支出给这 人的总金额为 万元．（参考数据：）
（1）求 的分布列，并写出 与 的关系；
（2）求 ．
答案
第一部分
1. A 【解析】因为一次同时抛掷 枚质地均匀的硬币，恰好出现 枚硬币均正面向上的概率为 ．
所以 ，
所以 ．
2. A 【解析】从 到 电路不能正常工作的概率为 ，
所以从 到 电路能正常工作的概率为 ．
3. A 【解析】由题意，设事件 在每次试验中发生的概率为 ，
因为事件 至少发生一次的概率为 ，
所以 ，解得 ，
则 ，
所以 ，
．
故选A．
4. B 【解析】设“第一次投进”为事件 ，“第二次投进”为事件 ，则得 分的概率为
5. D
【解析】记“第一次抽到红球”为事件 ，记“第二次抽到红球”为事件 ，
因为 ，
，
所以 ．
6. B 【解析】设事件 ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，
则其对立事件 ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，
由题可知，儿童体型不合格的概率为 ，身体关节构造不合格的概率为 ，
所以 ，
故 ．
7. A 【解析】由二项分布的概率公式可得，，故选A．
8. B 【解析】由题意 说明共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果之间没有影响，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是 ，故只有两次摸到红球的概率是 ．
9. C 【解析】从 个小球中摸出两个小球，共有 种情况．
两个球的号码之和是 的倍数，共有 ，，，， 种情况，
所以获奖的概率是 ，
因此 人参与摸球，相当于 重伯努利试验，
且每次获奖的概率均为 ，
所以所求概率 ．
10. B
【解析】设“从甲盒中任取一螺杆为 型螺杆”为事件 ，
“从乙盒中任取一螺母为 型螺母”为事件 ，
则 与 相互独立，
，，
则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成 型螺栓的概率为
第二部分
11. ，
【解析】由已知 ，，，
所以 ，．
12.
【解析】由题意得 ．
13.
【解析】设事件 为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件 为“从乙袋中任取一个球，取得白球”．
由题意得 ，，，，
因为事件 与 相互独立，
所以事件 与 相互独立，
所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为
14.
【解析】由题意可知 ，
所以
即
解得 ．
15.
【解析】记 为 取 时的概率，
则 ，
由题意，得 ，，，．
则根据全概率公式得到
第三部分
16. （1） 甲恰好通过两个项目测试的概率为 ．
（2） 因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为 ，
所以可看作 重伯努利试验，
甲、乙、丙三人中被录用的人数 服从二项分布，即 ，
所以 ，
，
，
．
故 的分布列为
17. （1） 敌机被击中则至少有 门高射炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有 门高射炮击中敌机的概率．
设敌机被第 门高射炮击中的事件为 ，
则 门高射炮都未击中敌机的事件为 ，
因为事件 ，，，， 相互独立，
所以敌机未被击中的概率为
所以敌机未被击中的概率为 ．
（2） 设至少需要布置 门高射炮，由（）可得，敌机被击中的概率为 ，
令 ，得 ，两边取常用对数，
得 ．
因为 ，
所以 ．
所以至少需要布置 门高射炮才能有 以上的概率击中敌机．
18. （1） 由于每个投保人能活过 岁的概率都为 ，因此 服从二项分布，即 ，则 ，故随机变量 的分布列为
因为 个投保人中，活过 岁的人数为 ，则没活过 岁的人数为 ，
因此 ，即 ．
（2） 由 得 ，即 ，
所以 ．
所以 ．
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