人教A版选修2-3第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布(Word版，含解析)
文档属性
| 名称 | 人教A版选修2-3第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布(Word版，含解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 53.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-11 21:11:47 | ||
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文档简介
2.4 正态分布
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知随机变量 ，若 ，则
A. B. C. D.
2. 若随机变量 的密度函数为 ， 在 和 内取值的概率分别为 ，，则 ， 的关系为
A. B. C. D. 不确定
3. 某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差 （单位：微米）服从正态分布 ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间 内的概率为
（若随机变量 服从正态分布 ，则 ，）
A. B. C. D.
4. 设随机变量 ，若 ，，则
A. B. C. D.
5. 对于标准正态分布 的概率密度函数 ，，下列说法不正确的是
A. 为偶函数
B. 的最大值是
C. 在 时是单调减函数，在 时是单调增函数
D. 图象关于 对称的
6. 已知服从正态分布 的随机变量，在区间 ， 和 内取值的概率分别约为 ， 和 ．某大型国有企业为 名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布 ，则适合身高在 范围内员工穿的工作服大约要定制
A. 套 B. 套 C. 套 D. 套
7. 已知随机变量 服从正态分布 且 ，则
A. B. C. D.
8. 某单位有 名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．根据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为 ．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在 千步至 千步（含 千步和 千步）的人数约为
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，，．同一组的数据用该组区间的中点值代表．
A. B. C. D.
9. 给出下列函数，① ；② ；③ ；④ ，其中可以作为正态分布密度函数的个数有
A. B. C. D.
10. 以Φ表示标准正态总体在区间∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布μ，σ，则概率ξμσ等于
A. ΦμσΦμσ B. ΦΦ
C. D. 2Φμσ
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在某项测量中，测量结果 （），若 在 内取值的概率为 ，则 在 内取值的概率为 ．
12. 下列随机变量中是离散型随机变量的有 ，是连续型随机变量的有 ．（填序号）
①某宾馆每天入住的旅客数量 ；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位 ；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量 ；
④虎门大桥一天经过的车辆数是 ．
13. 若随机变量 的概率分布密度函数是 ，，则 的值等于 ．
14. 在某市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩 ，已知 ，则从全市理科生中任选一名学生，该学生的数学成绩小于 分的概率为 ．
15. 为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．高三全体考生的数学成绩 近似服从正态分布 ．已知成绩在 分以上的学生有 人，则此次参加考试的学生成绩在 分以下的概率为 ，如果成绩在 分以上的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有 人．
（若 ，则 ，）
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知某种零件的尺寸 （单位：）服从正态分布，其正态曲线在 上是增函数，在 上是减函数，且 ．
（1）求概率密度函数；
（2）估计尺寸在 之间的零件大约占总数的百分之几
17. 随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 名高中男生的身高 （单位：）服从正态分布 ，且 ，试估计该市身高高于 的高中男生人数．
18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ．
附：若随机变量 服从正态分布 则 ．
（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检査，试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性．
答案
第一部分
1. B 【解析】因为随机变量 ，且 ．
所以 ．
故选B．
2. C
3. C 【解析】．
故选C．
4. C 【解析】由于随机变量 ，满足 ，，
因此 ，
根据正态曲线的对称性可知 ．
5. D
6. B 【解析】设身高为 ，则 ，
所以 ，
工作服大约要定制 套．
7. D 【解析】因为随机变量 服从正态分布 ，
所以正态曲线关于直线 对称，
又 ，
所以 ，
所以 ，故选D．
8. D 【解析】由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值
设日均健步走步数为 （单位：千步），则 ，
所以 ，则 ，，
所以 ，
因为 ，
所以日均健步走步数在 千步至 千步（含 千步和 千步）的人数约为 ．
9. C
10. B
【解析】【分析】根据ξ服从正态分布μ，σ，先将其转化成标准正态分布，最后利用标准正态分布计算公式即表示出概率ξμσ．
【解析】解：考查μ，σ与，的关系：
若ξ～μ，σ，
则
ξμσ
μσξμσ
ΦΦ
故选：．
【点评】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
第二部分
11.
12. ①③④，②
【解析】①③④中的随机变量 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故是连续型随机变量．
13.
14.
【解析】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
所以该学生的数学成绩小于 分的概率为 ．
15. ，
【解析】，
，
因为成绩在 分以上的学生有 人，
所以高三考生总人数约为 ，
，
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有 人．
第三部分
16. （1） 因为正态曲线是关于 对称，
由于该正态密度函数为 上是增函数，在 上是减函数，，
所以 ，．
由 ，即 ，得 ．
故该正态分布的概率密度函数的解析式是 ，．
（2） 因为 ，
所以尺寸在 之间的零件大约占总数的 ．
17. 全市 名高中男生的身高 （单位：）服从正态分布 ，且 ，
则 ，
所以该市身高高于 的高中男生人数大约为 ．
18. （1） 由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，则落在 之外的概率为 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
（2） 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有 ，一天内抽取的 个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有 ，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
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一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知随机变量 ，若 ，则
A. B. C. D.
2. 若随机变量 的密度函数为 ， 在 和 内取值的概率分别为 ，，则 ， 的关系为
A. B. C. D. 不确定
3. 某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差 （单位：微米）服从正态分布 ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间 内的概率为
（若随机变量 服从正态分布 ，则 ，）
A. B. C. D.
4. 设随机变量 ，若 ，，则
A. B. C. D.
5. 对于标准正态分布 的概率密度函数 ，，下列说法不正确的是
A. 为偶函数
B. 的最大值是
C. 在 时是单调减函数，在 时是单调增函数
D. 图象关于 对称的
6. 已知服从正态分布 的随机变量，在区间 ， 和 内取值的概率分别约为 ， 和 ．某大型国有企业为 名员工定制工作服，设员工的身高（单位：）服从正态分布 ，则适合身高在 范围内员工穿的工作服大约要定制
A. 套 B. 套 C. 套 D. 套
7. 已知随机变量 服从正态分布 且 ，则
A. B. C. D.
8. 某单位有 名员工，工作之余，工会积极组织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统计，得到全体员工近段时间日均健步走步数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示．根据直方图可以认为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分布，计算得其方差为 ．由此估计，在这段时间内，该单位员工中日均健步走步数在 千步至 千步（含 千步和 千步）的人数约为
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，，．同一组的数据用该组区间的中点值代表．
A. B. C. D.
9. 给出下列函数，① ；② ；③ ；④ ，其中可以作为正态分布密度函数的个数有
A. B. C. D.
10. 以Φ表示标准正态总体在区间∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布μ，σ，则概率ξμσ等于
A. ΦμσΦμσ B. ΦΦ
C. D. 2Φμσ
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 在某项测量中，测量结果 （），若 在 内取值的概率为 ，则 在 内取值的概率为 ．
12. 下列随机变量中是离散型随机变量的有 ，是连续型随机变量的有 ．（填序号）
①某宾馆每天入住的旅客数量 ；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位 ；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量 ；
④虎门大桥一天经过的车辆数是 ．
13. 若随机变量 的概率分布密度函数是 ，，则 的值等于 ．
14. 在某市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩 ，已知 ，则从全市理科生中任选一名学生，该学生的数学成绩小于 分的概率为 ．
15. 为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．高三全体考生的数学成绩 近似服从正态分布 ．已知成绩在 分以上的学生有 人，则此次参加考试的学生成绩在 分以下的概率为 ，如果成绩在 分以上的为特别优秀，那么本次考试数学成绩特别优秀的大约有 人．
（若 ，则 ，）
三、解答题（共3小题；共39分）
16. 已知某种零件的尺寸 （单位：）服从正态分布，其正态曲线在 上是增函数，在 上是减函数，且 ．
（1）求概率密度函数；
（2）估计尺寸在 之间的零件大约占总数的百分之几
17. 随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高．为了掌握学生的体质与健康现状，合理制订学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市 名高中男生的身高 （单位：）服从正态分布 ，且 ，试估计该市身高高于 的高中男生人数．
18. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 ．
附：若随机变量 服从正态分布 则 ．
（1）假设生产状态正常，记 表示一天内抽取的 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 及 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检査，试用所学知识说明上述监控生产过程方法的合理性．
答案
第一部分
1. B 【解析】因为随机变量 ，且 ．
所以 ．
故选B．
2. C
3. C 【解析】．
故选C．
4. C 【解析】由于随机变量 ，满足 ，，
因此 ，
根据正态曲线的对称性可知 ．
5. D
6. B 【解析】设身高为 ，则 ，
所以 ，
工作服大约要定制 套．
7. D 【解析】因为随机变量 服从正态分布 ，
所以正态曲线关于直线 对称，
又 ，
所以 ，
所以 ，故选D．
8. D 【解析】由频率分布直方图估计该单位员工日均健步走步数的均值
设日均健步走步数为 （单位：千步），则 ，
所以 ，则 ，，
所以 ，
因为 ，
所以日均健步走步数在 千步至 千步（含 千步和 千步）的人数约为 ．
9. C
10. B
【解析】【分析】根据ξ服从正态分布μ，σ，先将其转化成标准正态分布，最后利用标准正态分布计算公式即表示出概率ξμσ．
【解析】解：考查μ，σ与，的关系：
若ξ～μ，σ，
则
ξμσ
μσξμσ
ΦΦ
故选：．
【点评】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
第二部分
11.
12. ①③④，②
【解析】①③④中的随机变量 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故是连续型随机变量．
13.
14.
【解析】因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
所以该学生的数学成绩小于 分的概率为 ．
15. ，
【解析】，
，
因为成绩在 分以上的学生有 人，
所以高三考生总人数约为 ，
，
所以本次考试数学成绩特别优秀的大约有 人．
第三部分
16. （1） 因为正态曲线是关于 对称，
由于该正态密度函数为 上是增函数，在 上是减函数，，
所以 ，．
由 ，即 ，得 ．
故该正态分布的概率密度函数的解析式是 ，．
（2） 因为 ，
所以尺寸在 之间的零件大约占总数的 ．
17. 全市 名高中男生的身高 （单位：）服从正态分布 ，且 ，
则 ，
所以该市身高高于 的高中男生人数大约为 ．
18. （1） 由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，则落在 之外的概率为 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
（2） 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 之外的概率只有 ，一天内抽取的 个零件中，出现尺寸在 之外的零件的概率只有 ，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．
第1页（共1 页）