安徽省蚌埠第二高中2022届高三上学期12月月考数学（文）试题（Word版含答案）

蚌埠第二高中2022届高三上学期12月月考
文科数学试卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M＝{y|y＝1-x2}，N＝{x||2x-1|≥1-2x}，则M∩N＝
A．(0，1] B． C． D．(-∞，1]
2．复数的共轭复数对应的点在复平面内的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖（大小忽略不计），则飞镖落到阴影部分内的概率为
A． B． C． D．
4．已知命题p： x∈R，使得e-x+1＝sin x；命题q：若x，y∈R，且x＞|y|，则x2＞y2．下列命题为真命题的是
A．p∧q B．( p)∧q C．p∧( q) D．p∨( q)
5．已知非零向量，的夹角为θ，且满足，，则
A．-4 B．-6 C．-7 D．-8
6．已知，且3cos 2α+8sin α+5＝0，则cos α＝
A． B． C． D．
7．若函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在上的单调递增区间是
A． B． C． D．
8．一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示，E，F是所在边的中点，则该多面体的表面积为
A． B． C． D．
9．已知双曲线的右焦点为F，直线l过F点与一条渐近线垂直，原点到l的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
10．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系．其具体内容如下：若f(x)在[a，b]上满足以下条件：①在[a，b]上图象连续，②在(a，b)内导数存在，则在(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)＝f′(c)(b-a)（f′(x)为f(x)的导函数）．则函数f(x)＝xex-1在[0，1]上这样的c点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，c＝2，B＝2C，则△ABC的面积为
A． B． C． D．
12．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M，N为抛物线上的两点（与坐标原点不重合），MA⊥l于A，NB⊥l于B，已知MN的中点D的坐标为(2，1)，△ABF与△MNF的面积比为2:1，则p的值为
A．4 B．3 C．1 D．1或
二、填空题
13．已知函数则f(x)的最大值为_________．
14．执行如图所示的程序框图，输出的S＝_________．
15．若x，y满足约束条件则z＝3x-y的取值范围为_________．
16．在平面四边形PACB中，已知∠APB＝120°，，AC＝10，BC＝8．沿对角线AB折起得到四面体P-ABC，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为_________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a2，a4成等比数列，2a3，10，a4成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，令，设数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．
18．为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行．交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号．现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A，B方案的认可度，并按年龄段统计，22～40岁为青年人，41～60岁为中年人，人数分布表如下：
年龄段 [22，30] [31，40] [41，50] [51，60]
人数 180 180 160 80
现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查．
（Ⅰ）若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案，其余人同意执行A方案，完成下列2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；
同意执行A方案 同意执行B方案 总计
青年 12
中年 5
总计 30
（Ⅱ）若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，AB＝1，AA1＝AC＝2，E为棱AA1的中点，O为BE上一点．
（Ⅰ）证明：CO⊥B1E；
（Ⅱ）求C到平面BEC1的距离．
20．已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知直线y＝k(x-1)与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，问：是否存在k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知函数．
（Ⅰ）若函数f(x)在[1，2)上存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）当-2＜a＜0时，证明：对任意x∈(0，+∞)，恒成立．
（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数，σ为常数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ+2sin θ，射线l0的极坐标方程为，射线l0与曲线C交于O，M两点．
（Ⅰ）写出当σ＝π时l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若射线l0与直线l交于点N，求的取值范围．
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数．
（Ⅰ）求不等式f(x)≤4x+7的最小整数解m；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意a，b∈(-m，+∞)，若a+b＝4，求的最小值．
文科数学·答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．C
二、填空题
13．-1 14．17 15．[-6，8) 16．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题主要考查等差数列的通项、求和公式，等差中项、等比中项、裂项求和法．
解析 （Ⅰ）设数列{an}的公差为d(d≠0)． 由题意得，即(a1+d)2＝a1(a1+3d)①．∵2a3，10，a4成等差数列，∴20＝2a3+a4，即20＝2(a1+2d)+(a1+3d)②． 解①②组成的方程组得a1＝d＝2．∴数列{an}的通项公式为an＝2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Sn＝n(n+1)． 所以，
．
18．命题意图 本题主要考查分层抽样、独立性检验、古典概型．
解析 （Ⅰ）由题可知，抽出的30人中青年人有18人，中年人有12人． 2×2列联表如下：
同意执行A方案 同意执行B方案 总计
青年 6 12 18
中年 7 5 12
总计 13 17 30
，∴没有90%的把握认为年龄层与是否同意执行A方案有关．
（Ⅱ）记4个青年人为A1，A2，A3，A4，2个中年人为B1，B2，则从中选3人，一共有如下20种情况：(A1，A2，A3)，(A1，A2，A4)，(A1，A3，A4)，(A2，A3，A4)，(A1，A2，B1)，(A1，A3，B1)，(A1，A4，B1)，(A2，A3，B1)，(A2，A4，B1)，(A3，A4，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A3，B2)，(A1，A4，B2)，(A2，A3，B2)，(A2，A4，B2)，(A3，A4，B2)，(B1，B2，A1)，(B1，B2，A2)，(B1，B2，A3)，(B1，B2，A4)， 其中青、中年都有的情况有16种． 所求的概率．
19．命题意图 本题主要考查三棱柱的性质，线线、线面垂直的判定与证明，点到面的距离计算．
解析 （Ⅰ）由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱易知BB1⊥CB．∵，AB＝1，AC＝2，∴BC2+AB2＝AC2，∴BC⊥AB， 又BA∩BB1＝B，BA，BB1 平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．∵B1E 平面ABB1A1，∴BC⊥B1E．∵E为AA1的中点，∴AE＝A1E＝1，∴BE2＝B1E2＝2，∴BE2+B1E2＝B1B2，∴BE⊥B1E． 又BE∩BC＝B，BE，BC 平面BCE，∴B1E⊥平面BCE．∵CO 平面BCE，∴CO⊥B1E．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC⊥AB， 又AB⊥BB1，B1B∩BC＝B，B1B，BC 平面B1C1CB，∴AB⊥平面B1C1CB． 又A1A∥B1B，B1B 平面B1C1CB，A1A 平面B1C1CB，∴A1A∥平面B1C1CB，点E到平面B1C1CB的距离为线段AB的长．∴
．∵CB⊥平面ABB1A1，CB∥C1B1，∴C1B1⊥平面ABB1A1，C1B1⊥BE． 又BE⊥B1E，B1E∩B1C1＝B1，∴BE⊥平面B1EC1，∴BE⊥EC1．∴△BEC1为直角三角形，其面积． 设C到平面BEC1的距离为h，∵，∴．
20．命题意图 本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系．
解析 （Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c． 由题意可知，即a2＝2c2，代入a2＝b2+c2，得b2＝c2． 所以，b＝c． 又， 将，b＝c代入解得． 所以a2＝4，b2＝2， 所以椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）直线y＝k(x-1)与椭圆方程联立方程组得 消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4＝0，（*） 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程（*）的两根， ，， 所以
． 故不存在k，使得．
21．命题意图 本题主要考查利用导数研究函数的性质，证明不等式，对数运算．
解析 （Ⅰ）由题意得． 令f′(x)≤0，可得． f(x)在[1，2)上存在单调递减区间，等价于不等式在[1，2)上有解， 所以，解得a＞-4．
（Ⅱ）， 令f′(x)＞0，可得，令f′(x)＜0，可得， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． 因为-2＜a＜0， 所以
， 所以，即， 即
， 即．
22．命题意图 本题主要考查直线与圆的参数方程与极坐标方程的互化．
解析 （Ⅰ）当σ＝π时l的参数方程为 它的普通方程为y＝4，化为极坐标方程为ρsin θ＝4． 曲线C：ρ2＝2ρcos θ+2ρsin θ，故x2+y2-2x-2y＝0， 故(x-1)2+(y-1)2＝2， 故曲线C的参数方程为（φ为参数，且0≤φ≤2π）．
（Ⅱ）设M(ρ1，α)，N(ρ2，α)，则ρ1＝2cos α+2sin α，． 所以
． 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为．
23．命题意图 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数与基本不等式的综合应用．
解析 （Ⅰ）当时，原不等式化为，解得，所以； 当时，原不等式化为，解得，所以； 当时，原不等式化为，解得，所以． 综上，原不等式的解集为． 所以m＝-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a，b∈(1，+∞)，又因为a+b＝4， 所以
． 因为a＞1，b＞1，所以(a-1)(b-1)＝ab-3＞0， 又，当且仅当a＝b时等号成立， 所以0＜ab-3≤1． 所以W的最小值为8．