2021-2022学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册1.5.2余弦函数相关函数的值域求法课件（25张ppt）

(共29张PPT)
§ 1.5.2　余弦函数相关函数的值域求法
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.能用余弦函数的图象求值域．
2.能用换元法求复杂余弦函数相关函数的值域
数学素养
1.通过画余弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过余弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
环节一
y=acosx+b
y=acosx+b
例1.函数 的最小值、最大值分别为()

A.0.1 B.-1.1
解析由 的图象（如图）可知，当 时 有最大值；当x=π时y=cosx有最小值-1.故选D
y=acosx+b
例2.设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m=　　　　.
提示
主体是余弦，结合不等运算得整体函数值域
y=acosx+b
例2.设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m=　　　　.
解析(1)因为cos x∈[-1,1],
y=acosx+b
}
练习：函数y=2+cos x取最大值时,x的取值的集合为
答案:{x|x=2kπ,k∈Z}
y=acosx+b
}
练习：使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为(　　)
A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}
B.{x|x=2kπ,k∈Z}
C.{x|x=2kπ+ ,k∈Z}
D.{x|x=2kπ- ,k∈Z}
【解析】选B.使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合,就是使函数y=cos x取得最大值时的x的集合{x|x=2kπ,k∈Z}.
y=acosx+b
}
例3.y=acos x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.
提示
a的符号不定，分类讨论
y=acosx+b
}
例3.y=acos x+b的最大值是3,最小值是-1,求a和b.
【解析】①a>0时 a=2,b=1;
②a<0时 a=-2,b=1.
综合①②得a=2,b=1或a=-2,b=1.
y=acosx+b
}
例4.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-2cos x+3 1 3 5 3 1
y=acosx+b
}
例4.求作函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取得最大值时x的值.
描点、连线得出函数y=-2cos x+3在一个周期内的图象:
由图可得,当x=2kπ+π,k∈Z时函数取得最大值,ymax=5.
环节二
y=ax+bcosx+c
y=ax+bcosx+c
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为　　　　.
提示
换元法，化为二次函数
y=ax+bcosx+c
例1.函数y=cos2x-4cos x+5的值域为　　　　.
令t=cos x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
y=ax+bcosx+c
例2.求函数y=1-cos2x+4cos x的值域.
y=1-cos 2x+4cos x=-(cos x-2)2+5,当cos x=-1,x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-4,
当cos x=1,x=2kπ(k∈Z)时,ymax=4.所以函数的值域为[-4,4].
y=ax+bcosx+c
例3.设 求函数y=4x-12cosx-1的最大值与最小值.
有角限制
【解析】设t=cosx，由于所以t=1， 因为t∈[-]，函数单调递减，所以当 即 时y有最大值6；当t=1即x=0时y有最小值-9.
y=ax+bcosx+c
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
逆向求参
提示
换元为二次型
分类讨论
y=ax+bcosx+c
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
逆向求参
解］

由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
0
1
y=ax+bcosx+c
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
逆向求参
解］

由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
0
1
y=ax+bcosx+c
例4.已知函数 而且函数f(x)的最大值为1，最小值为-5，求a，b.
逆向求参
解］

由 知，cosx∈[0，1].t=cosx∈[0，1]
0
1
解后心得
反思感悟 求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
环节二
y=
y=
例1..求函数y= 的值域;
提示
换元
分离常数
数形结合
y=
例1..求函数y= 的值域;
y=
t=cosx∈[-1,1)
x
0
y
1
1
-1
y=
例2. 求函数 的值域.
y=
t=cosx∈[-1,1]
x
0
y
1
-1
-2
1
[
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
y=
解后心得
对于 的形式,采用分离常数法(配合换元法）或反解出cos x,再利用余弦函数的有界性求解.本课件重点推荐第一方案。
y=
解后心得