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2.5.2二次函数与一元二次方程教学设计
课题 2.5.2二次函数与一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
重点 理解一元二次方程的根就是二次函数与交点的横坐标。
难点 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标就是y＝0时的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根. 我们还可以根据二次函数与x轴的交点情况，判断一元二次方程根的情况，即Δ＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2－4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2－4ac＝0没有交点没有实数根b2－4ac<0
学生思考回顾知识，并回答问题。 学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
讲授新课 上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根．于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算． 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根吗？(精确到0.1) x－4.1－4.2－4.3－4.4y－1.39－0.76－0.110.56
x2.12.22.32.4y－1.39－0.76－0.110.56
引导学生回顾画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的步骤方法，观察估计二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴的交点的横坐标，由图象可知，图象与x轴有两个交点，其横坐标一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在－5与－4之间，另一个在2与3之间．既然一个根在－5与－4之间，那这个根一定是负4点几，所以个位数就确定下来了，接着确定十分位上的数，这时可以用试一试的方法，即分别把x＝－4.1，－4.2，…，－4.9代入方程进行计算，哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立)，则这个值就是方程的根(或近似根)．从上表可知，当x取－4.4或－4.3时，对应y的值由正变负，可见在－4.4和－4.3之间一定有一个x值使得y＝0，即有方程x2＋2x－10＝0的一个根．由于当x＝－4.3时，y＝－0.11比y＝0.56(x＝－4.4)更接近0，所以选x＝－4.3.因此，方程x2＋2x－10＝0在－5和－4之间精确到0.1的根为x＝－4.3. 做一做 (1)利用二次函数的图象(如图2－5－29)求一元二次方程x2＋2x－13＝0的近似根. 图2－5－29 x－4.5－4.6－4.7－4.8－4.9y－1.75－1.04－0.310.441.21
x2.52.62.72.82.9y－1.75－1.04－0.310.441.21
(2)你还能利用图2－5－30求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根吗？ 让学生以小组为单位进行讨论，充分发表自己的见解,寻求最合理的答案. 教师进行巡视，参与到学生的讨论之中，解答学生的疑难问题，获取信息，为讲解做准备. 对本节课知识进行巩固练习，同时也提升题目的难度，使学生能够综合应用.提升其解决问题的能力和应用能力. 本环节是本节新课的重点内容，题目的设计意图：一、让学生巩固对二次函数图象——抛物线的形成的认识，二、主要是让学生运用二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根的原理，经历一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系. 培养学生熟练画函数图象的能力，提高运算的准确性和熟练使用计算器的能力．由于要列表、取值计算、描点，工作量较大，教学中可以组织学生在学习小组内合作、分工来完成，借此培养学生的合作意识.
课堂练习 1.根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23< x < 3.24 C. 3.24 0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？ 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
2.5.2二次函数与一元二次方程的关系
北师大版 九年级下册
复习旧知
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
两个相异的实根
b2-4ac > 0
有一个交点
两个相等的实根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
新知讲解
例1、求一元二次方程的近似根（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x +2x-10=0 的根就是抛物线 y=x +2x-10 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
新知讲解
(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：
因此，x=-4.3是方程的一个近似根.
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
议一议
（2）另一个根可以类似地求出：
因此，x=2.3是方程的另一个近似根.
用一元二次方程的求根公式验证一下，
看是否有相同的结果.
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
归纳总结
(1)画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
(2)确定二次函数的图象与x轴交点的个数，看交点的横坐标在哪两个整数之间；
(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y值，当x由x1变到x2，对应的y值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
练一练
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为( )
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
B
方法点拨
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
做一做
（1）请利用图2-17求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根．
（2）你还能利用图2-18求一元二次方程 x2+2x-10=3的近似根吗？
图2-18
图2-17
解：(1)原方程可变形为x2+2x-13=0;
用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象;
观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴交点的横坐标;
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在-5与-4之间，另一个在2与3之间.
先求 -5 和 -4 之间的根． 利用计算器进行探索：
因此，x = -4.7 是方程的一个近似根.
-0.31
0. 44
-1.75
-1.04
再求 2和 3之间的根． 利用计算器进行探索：
因此，x = 2.7 是方程的另一个近似根.
-1.75
-1.04
-0.31
0. 44
解：（2）利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象;
(2)作直线y=3;
(3)观察估计抛物线y=x2+2x-10直线y=3的交点的横坐标;
图2-18
y=3
由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.
方法同上,由此，方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7 x2≈2.7
归纳总结
(1)用描点法作二次函数 y=ax2+bx+c的图象；
(2)观察估计二次函数的图象与x轴的交点的横坐标；
(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值）
(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;
利用图象法求一元二次方程的近似根
变式训练
解：先把方程化成x2＝－2x＋3.如图，
在同一直角坐标系中分别画出函数
y＝x2和y＝－2x＋3的图象，
则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根．
归纳总结
(1)将ax2＋bx＋c＝0化为ax2＝－bx－c的形式；
(2)在同一坐标系中画出y＝ax2与y＝－bx－c的图象；
(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax2＋bx＋c＝0的根．
利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：
课堂练习
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1.根据下列表格的对应值:
课堂练习
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3，x2＝________．
D
－3.3
课堂练习
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
(3)由图象可知k<2
解 (1)由图象可知x1=1,x2=3.
(2)由图象可知x>2.
课堂练习
5.已知二次函数的图象，利用图象回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？
x
y
O
2
4
8
解：（1）x1=2,x2=4;
（2）x<2或x>4;
（3）2作业布置
课本习题2.11第1、2、3题
课堂小结
二次函数图象
由图象与x轴的交点位置，
判断方程根的近似值
一元二次方程的根
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