2021年人教版八年级数学上册15.1.2 分式的基本性质教学课件（35张）

(共35张PPT)
第十五章 分式
15.1.2 分式的基本性质
人教版 数学 八年级 上册
学习目标
理解并掌握分式的基本性质．（重点）
会运用分式的基本性质进行分式的约分和通分．（难点）
4 相等吗
分数的 基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数， 分数的值不变.
2.这些分数相等的依据是什么？
导入新课
情境引入
1.把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？
3
6
2 与
5 10
解：
讲授新课
分式的基本性质
一
思考：下列两式成立吗？为什么？
（c 0）
（c 0）
3 3c
4 4c
5c 5
6c 6
分数的基本性质：
a
即对于任意一个分数 有： b
（ｃ ０）
a a c b b c
a a c b b c
mn
n
m
n
2
”相等吗？
”与“
a ”与“ 1 ”；分式
2 a 2
你认为分式“
a，m，n 均不为 0）
想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质 吗？
思考：
分式的基本性质：
分式的分子与分母乘以（或除以）同一个不等于0的整式， 分式的值不变.
上述性质可以用式表示为：
（C 0）.
A A C , A A C B B C B B C
其中A,B,C是整式.
知识要点
x3
xy
y
6 x 2
，
3 x 2 3 xy x y
1）
（ x 0）
（x 2 ）
（ 2 x）
a
ab
a 2b
a 2
a 2b
1 （
） 2a b （
2ab b2 ）
2）
，
（ b 0）.
例1
典例精析
想一想：（1）
填空： 看分母如何变化，想分子如何变中化为.什么不给
出x ≠0,而（2） 看分子如何变化，想分母如何变中化却.给出了b ≠0
想一想: 运用分式的基本性质应注意什么
(1)“都”
(2) “同一个”
(3) “不为0”
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化 为整数.
⑴ ⑵

(0.01x 5) 100 x 500 (0.3x 0.04) 100 30x 4
解：
5
(0.6a 5 b) 30
3 18a 50b
21a 12b
(0.7a 2 b) 30
⑴
⑵
⑶
7b
3a 10m
解：（1）原式=
2x
5 y

3n
3a
（2）原式= 7b
（3）原式= 10m
3n
练一练
不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号
2 x 5 y
分式的约分
二
xy x y
x2
x2
2x x 2
x2
x
x x
x 2
( x 2 xy ) x x y
x x 1
( x 2 2 x ) x x 2
（ ）
（ ）
想一想：
联想分数的约分，由例1你能想出如何对分式进行约分？
与分数约分类似，关键是要找出分式的分子与分母的最简公分母.
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的 公因式约去，叫做分式的约分．
知识要点
约分的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得 的结果成为最简分式或整式.
经过约分后的分式x
y，其分子与分母没有公因．像这样
2 x

5 x y
5 x
2 0 x 2 y
2 0 x 2

1
5 xy
5 xy

20 x 2 y 4 x 5 xy 4 x
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式.
议一议
5 x y
2 0 x 2 y
2 5 a 2 b c 3
典例精析
例3 约分: 1）
1 5 a b 2 c
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式. 找公因式方法:
约去系数的最大公约数.
约去分子分母相同因式的最低次幂.
解：
5ac2
3b
1）
25a2bc3 5abc 5ac2

15ab2c 5abc 3b
(公因式是5ac2)
2
x2
2）
9
x 6x 9
x 2
x 2
解： 2）
.
9


x 3
6 x 9
（ x 3）（ x 3) x 3
（ x 3）2
分析：约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因 式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分.
知识要点
约分的基本步骤
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去 相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去 分子﹑分母所有的公因式．
注意事项：
约分前后分式的值要相等.
约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的 整体都除以同一个因式.
分式的通分
三
通分：
问题1：
7
1
8
与
1 2
最小公倍数：24
12
解： 7
24
14
12 2
7 2
1
1 3
8 8 3 24
3

分数的通分：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分 数的值，叫做分数的通分.
通分的关键是确定几 个分母的最小公倍数
想一想：
联想分数的通分，由例1你能想出如何对分式进行通分？
a b
a 2 b
=
2
)
2 a - b
a a
2 b
=
（b≠0）
a + b ( a2 + ab )
( 2a b - b2
问题2：填空
知识要点
分式的通分的定义
与分数的通分类似，根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的 整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，
这种变形叫分式的通分.如分式
b
. a b
分后分母都变成了a2b a +
与 分母分别是ab,a2,通
2 a - b
a 2
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高 次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
注意：确定最简公母是通分的关键.
3
a b 2 c
a b
(1 ) 与
2 a 2 b
b2
2 a2 c
例4 通分：
,
3bc
3 3 ·bc
= =
2a2b 2a2b ·bc 2a2b2c
2
2
2 2
.
2a b c
a - b (a - b) ·2a 2a2 - 2ab
=
=
ab c ab c ·2a
解：（1）最简公分母是2a2b2c
（2）最简公分母是(x+5)(x-5)
2 x 2 x( x + 5)
2 x2 + 5x
= =
x - 5 ( x - 5)( x + 5)
,
x2 - 25
3x2 - 5x
3x = 3x(x - 5) =
x + 5 (x + 5)(x - 5)
.
x2 - 25
( 2 )
3 x
x 5 x 5
2 x
与
最 简 公 分 母
1·(x-5)
1·(x+5)
1 (x-5) (x+5)
不同的因式
b
a
xy
x 2
y 2
x 2
与
例5 通分：
方法归纳：先将分母因式分解，再将每一个因式看成一个 整体，最后确定最简公分母．
(x+y)(x-y)
解：最简公分母是x(x+y)(x-y)
x(x+y)
,
a a
ax
ax
= =
=
( x - y)( x + y)
x( x - y)( x + y)
x3 - xy 2
x2 - y 2 b
b
b( x - y) bx - by ,
=
= =
x( x + y) x( x - y)( x + y)
x2 + xy x3 - xy 2
确定几个分式的最简公分母的方法：
因式分解
系数：各分式分母系数的最小公倍数；
字母：各分母的所有字母的最高次幂
多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
积
方法归纳
想一想：
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这 些做法的根据是什么？
约分 通分
分数 找分子与分母的 最大公约数 找所有分母的 最小公倍数
分式 找分子与分母的公 因式 找所有分母的 最简公分母
依据 分数或分式的基本性质
当堂练习
D .
x 2
x 2
x 2
a b y 2
4
x y
A . B .
b a
x y
C .
x 2
y 2
2.下列各式中是最简分式的（ B ）
A.
c c

b a a b
B.
c
c

C.
c c b a a b
D.
a b a b
c
c

b a a b
1.下列各式成立的是（ D ）
B．不变 D．缩小四倍
y
3.若把分式 x

y 的 x 和y 都扩大两倍,则分式
的值( B ) A．扩大两倍 C．缩小两倍
x y
y中的X和Y都扩大3倍,那么分式

4.若把分式 x
的值( ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
B．扩大9倍 D．不变
解：
ac
a
）
x y
x y

2 （ x
y） y
）
2 bc
x 2
m 2
y 2
1）
ac
； （ 2）
； （ 3 ）
x 2
（ x y） y
xy 2
1 2bc 2b
m
xy
2 xy
； （ 4 ） m 2 1
5.约分
x y 2
x 2
x
x 2
y 2
3）
x y


x y
（x x y）
（ x y）2
m 2
m
4）
.
2 x y
m
m（ m 1）


m 1
m 2 1
（1 m ）（1 m ）
1
3
,
3 a b 3 4 a 2 b
1）
6.通分：
解：最简公分母是12a2b3
1 4 a
=
2
3 a b 3
3
1 2 a 2 b 3
9 b 2
4 a b
1 2 a 2 b 3
=
解：最简公分母是(2x+1)(2x-1)
4 4 ( 2 x + 1 )
8 x + 4
- ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 )
- 4 x 2 + 1
= =
4
1 2 x
( 2 ) ，
4 x 2 1
2 x
1 - 2 x
2 x
4 x 2 -1
小贴士：在分式的约分与通分中，通常碰到如下因式符号变形：
(b-a)2=(a-b)2;b-a=-(a-b).
( 3 )
x
x 2
2 x y
( x y ) 2
y 2
，
解：最简公分母是(x+y)2(x-y)
2 2
2
2 x y 2
2 x y 2 x y ( x - y )
2 x 2 y -
=
=
( x + y ) ( x + y ) ( x -
y ) ( x + y )
( x - y )
2
2
2
2
y 2
x x ( x + y )
x 2 +
=
=
x - y
( x + y ) ( x -
y ) ( x + y ) ( x - y )
课堂小结
分 式 的 基 本 性 质
内
容
作
用
分式进行约分 和通分的依据
B B C B B C
A A C , A A C
（C 0）.
注
意
分子分母同时进行；
分子分母只能同乘或同除，不能进 行同加或同减；
分子分母只能同乘或同除同一个整 式；
除式是不等于零的整式
进行分式运算的基 础
谢谢观看
Thank You