2021年人教版八年级数学上册15.2.3 整数指数幂教学课件（29张）

(共29张PPT)
第十五章 分式
15.2.3 整数指数幂
人教版 数学 八年级 上册
学习目标
1.理解并掌握整数指数幂的运算性质
会用科学记数法表示绝对值小于1的数.（重点）
3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题．（难点）
导入新课
问题引入
算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．
(x4 )3
=
同底数幂的乘法：
a n
（m，n是正整数）
a m a m n
x 1 2
( a m ) n
a m n
（m，n是正整数）
=
；
（3） (xy)3
积的乘方：
x 3 y 3
( a b ) n
a n b n
（n是正整数）
(2)
幂的乘方：
算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．
同底数幂的除法： a m
a n
a m n
（a≠0，m，n是正整数且m>n ）
（4）a 4 a=3 a ；
；
a3
b3
n
a
a n
商的乘方：( )
b

b n
（b≠0，n是正整数）
（5） (
)3 =
a b
a 0
（6）x 4
x 4= 1 ；
1 （
a ）0
想一想：
am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表 示什么？
讲授新课
负整数指数幂
一
问题：计算：a3 ÷a5= (a ≠0)
解法1
3
5
1
a 3 a 3
.
a 2
a a
a 5 a 2 a 3
解法2 再假设正整数指数幂的运算性质 am÷an=amn(a≠0,m,n是正整数，m>n)中的m>n这个条件去 掉，那么a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到：
1
.
a 2
a 2

知识要点
负整数指数幂的意义
一般地，我们规定：当n是正整数时，
an
a n 1
(a 0)
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数. 也就说前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
想一想：对于am，当m=7，0，-7时，你能分别说出它们的意义吗？
（2）
2 3
( 3 ) 2
32
. 1
9
3 2
1
3 2
2 3
8
1
1
,
32
1
9
. 1
1
,
( 3)2
1
9
牛刀小试
填空：（1）
例1
A．a＞b＝c C．c＞a＞b
B．a＞c＞b D．b＞c＞a
典例精析
B
方法总结：关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出 结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数 就可变为正指数．
计算：
(1)(x3y－2)2； (2)x2y－2·(x－2y)3；
例2
解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指 数幂化成正整数指数幂．
解：(1)原式＝x6y－4
(2)原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y
提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式.
例2 计 算 ： (3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
解：(3)原式＝9x4y－4÷x－6y3
＝9x4y－4·x6y－3
＝9x10y－7
(4)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)
＝3×10－3
计算：
(3) (a 1b2 )3 ; (4)
b3 2
(1) a 2 a5 ;
(2) ;

a2
a 2b2 (a2b 2 ) 3.
解：
(1)
a7
a 2 a5 a 2 5 a 7 1 ;
4
3
2
6
;
b
b
a
a
a
b
6
2
4
)

2 ） (
做一做
解：
;
b 6
a 3
1 2 3
3 6
( 3 ) ( a b ) a b
2
8
8
)
.
b
a
2 b 2
( a 2 b 2 3
6 b 6
8
8

( 4 ) a
a 2 b a
a b
(3) (a 1b2 )3 ; (4)
a 2b2 (a2b 2 ) 3.
(1) 根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时，
am ÷an=am-n
又am ·a-n=am-n，因此am ÷an=am ·a-n.
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
(2) 特别地，
a
n 1 n n n
所以 ( ) ( a b ) a b ,
b
即商的乘方可以转化为积的乘方.
总结归纳
a b
=a÷b=
axb 1
整数指数幂的运算性质归结为
am·an=am+n ( m、n是整数) ； (2)(am)n=amn ( m、n是整数) ； (3)(ab)n=anbn ( n是整数).
例3
解析：分别根据有理数的乘方、0指数幂、负整数指数幂及绝 对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．
科学记数法
二
忆一忆：
科学记数法：绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10，n是 正整数.
例如，864000可以写成 8.64×105 .
想一想：
怎样把0.0000864用科学记数法表示？
探一探： 因为
;
0 .0 1

所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10-5.
类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些 绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n是正整 数 ，1≤∣ a∣ ＜10.
1
1 0 0
10-2
1
10-3
0.001
0.1 1 10 1;
10
1 0 0 0

算一算：
10－2=
;
0_.0_1 ; 10－4= 0.0001
10－8= 0_._0_0_0_0_0_0_0_1 .
议一议：
指数与运算结果的0的个数有什么关系？ 通过上面的探索，你发现了什么？:
一般地，10的-n次幂，在1前面有 n 个0.
想一想：10－21的小数点后的位数是几位？1前面有几个零？
用科学记数法表示一些绝对值小于1的数的方法：
即利用10的负整数次幂，把一个绝对值小于1的数表示成a×10-n的形 式，其中n是正整数，1 ≤ ︴a ︴<10. n等于原数第一个非零数字前所 有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零）.
知识要点
例4 用小数表示下列各数： (1)2×10－7；(2)3.14×10－5； (3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可． 解：(1)2×10－7＝0.0000002；
(2)3.14×10－5＝0.0000314；
(3)7.08×10－3＝0.00708； (4)2.17×10－1＝0.217.
1.用科学记数法表示：
（2）-0.000 006 4；
（1）0.000 03；
（3）0.000 0314；
2.用科学记数法填空：
（1）1 s是1 μs的1 000 000倍，则1 μs＝ s；
（2）1 mg＝ kg；（3）1 μm ＝ m；
（4）1 nm＝ μm ；（5）1 cm2＝ m2 ；
（6）1 ml ＝ m3.
练一练
例5 纳米是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物体放到乒乓球 上，就如同把乒乓球放到地球上，1mm3的空间可以放多少个1nm3的物 体（物体之间隙忽略不计）？
1mm 10 3 m,1nm 10 9 m.
典例精析
(10 3 )3 (10 9 )3 10 9 10 27 1018
答：1mm3的空间可以放1018个1nm3的物体.
解：
1018是一个非常大的数，它是1 亿（即108）的100亿（即1010） 倍.
当堂练习
1.填空：(-3)2·(-3)-2=( 1 )；103×10-2=( 10 );
2
1
0.1
0.11 3 0.1 2
100
25
(2)(-5)2 008÷(-5)2 010 ( 5)2 008 2 010 ( 5) 2
1 1
( 5)2
10 102 10
(3)100×10-1÷10-2 1 1 1 1 100 10
a-2÷a3=( 1 );a3÷a-4=( a7 ).
a5
2.计算：(1)0.1÷0.13
计算：
（1）（2×10－6）× （3.2×103）= 6.4×10-3；
（2）（2×10－6）2 ÷ （10－4）3. = 4
下列是用科学记数法表示的数，写出原来的数.
（1）2×10－8 （2）7.001×10－6
答案:（1）0.000 000 02 （2）0.000 007 001
5.比较大小：
（1）3.01×10－4 < 9.5×10－3
（2）3.01×10－4 < 3.10×10－4
6.用科学记数法把0.000 009 405表示成
9.405×10n，那么n= -6 .
课堂小结
整数指数幂运 算
整 指
数
数 幂
零指数幂：当a≠0时，a0=1.
负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=
an
1 (a≠0)
整数指数幂的运算性质：
（1）am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）（ab）m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）（am）n=amn（m，n为整数，a≠0）
用科学记数法表 示绝对值小于1的 数
绝对值小于1的数用科学记数法表示为a×10-n的形式，
1≤│a│ <10，n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数
（包括小数点前面那个0）.
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