2021年人教版八年级数学上册第十五章 分式小结与复习教学课件（34张）

(共34张PPT)
第十五章 分式 小结与复习
人教版 数学 八年级 上册
要点梳理
一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式 ： 当 时分式有意义；
B_≠_0
当 B=_0 时无意义.
3.分式值为零的条件：
时，分式
的值为零.
当_A_=_0_且 B_≠_0
4.分式的基本性质：
0）.
A A C , A
A C

（ C
B B C B
B C
5.分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去， 叫做分式的约分．
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所 得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相 同字母的最低次幂；
若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分 子﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分 母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式 的通分.
最简公分母
为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂 的积作公分母，叫做最简公分母.
b c b d bd a d a c ac
二、分式的运算
1.分式的乘除法则：
.
n
a
an
b
bn
( )
b c bc a d ad
2.分式的乘方法则：
3.分式的加减法则：
同分母分式的加减法则：
a b a b .
c c c
异分母分式的加减法则：
a c ad bc ad bc .
b d bd bd bd
4.分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面
的.
计算结果要化为最简分式或整式．
三、分式方程
分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
分式方程的解法
在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. (2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去.
分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
审:清题意，并设未知数；
找:相等关系； (3)列:出方程；
解:这个分式方程；
验:根（包括两方面 : 是否是分式方程的根； 是否符合题 意）；
写:答案.
考点一 分式的有关概念
例1 如果分式
的值为0，那么x的值为 .
2
x 1
x 1
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方 程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题 意可得：x2-1=0, 解得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案】1
考点讲练
分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0； 分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.
归纳总结
针对训练
2.如果分式
的值为零，则a的值为
.
a 2
a 2
2
1.若分式
无意义，则a的值
.
1
x 3
-3
考点二 分式的性质及有关计算
例2 如果把分式
的3倍，则分式的值（ B
中的x和y的值都扩大为原来
）
x
x y
1
3
1
6
A.扩大为原来的3倍
B.不变
C.缩小为原来的
D.缩小为原来的
针对训练
3.下列变形正确的是( C )
a
a 2
b 2
A .
b
a 2
B .
a
a 2
a b
b


C . 2 x x 2
x 1 1 x
9 xy
D .
2

9 y
6 x 2 y 2 x
例3 已知x=
,y=
，求
的值.
1 2
1 2
1 1
(
2x
)
x y x y
x2 2xy y2
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
代入得
2
把x= 1 2 ,y= 1
解：原式=
2x (x y)2 x y
(x y)(x y) 2x x y ,
原式=
2
2 2 .
1 2 (1 2 ) 2
1 2 1 2
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化 简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值 问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这 样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.
归纳总结
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显 然现在解不出a的值，如果将 的分子、 分母颠倒过来，即求 的值， 再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式 的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程 简洁．
x4
5.已知x2-5x+1=0,求出x4 1 的值.
1 1
解：因为x2-5x+1=0, 得 x 5 x 0, 即 x x 5.
所以
1 1
) 2
x 4
x 4 x 2

( x 2
2
[ ( x 1 ) 2
2 ] 2 2
2
x
( 2 5 2 ) 2
5 2 7 .
针对训练
考点三 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检 验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x+1+x﹣1=0，解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x﹣4=2x+2﹣3，解得x=﹣3， 经检验x=﹣3是分式方程的解．
1 1
3
(1)
0 ; ( 2 ) x 4 2 .
x 1 x 1 x 1 x 1
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
归纳总结
1 6
.
x 2
x 2
1
x 2 4
6 . 解 方 程 ：
解：最简公分母为（x+2）（x﹣2）， 去分母得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16，
整理得﹣4x+8=16，解得x=﹣2，
经检验x=﹣2是增根，故原分式方程无解．
针对训练
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路 程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是 高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5 倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高 铁的平均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比 乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即 可．
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度 是2.5x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解，则高铁的平均速 度是120×2.5＝300(千米/时)．
答：高铁的平均速度是300千米/时．
针对训练
7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米， 结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天
90
3
x x 1
3
90 90
90
3
x x 1
90
x 1 x
90
3
x 1 x
A. 90
B.
C. 90
D.
挖x米，则依题意列出正确的方程为（ D ）
8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该
款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 5 倍，购进数量比第一次
4
少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
6 0 0
4
x
5 x
6 0 0 3 0 .
解得 x=4.
经检验，故x=4原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：
的值.
2a b 3

a 2b 14
a2 b2
，求 a2 b2
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可 得 a 4 b ，代入约分即可求值.
5
解：∵
， ∴
.
2a b 3
a 2b 14
a 4 b
5
9
5
∴ ( 4 b ) 2 b 2
5 4 1 .
( 4 b ) 2 b 2
已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数 式来表示另一个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的
值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元， 其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了 减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，
剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主 元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.
归纳总结
解：由
，
3
x 2 ，得 x 2 y
y
y 3
x2 y2 xy y2
x2 2xy y2 2x2 2xy
(x y)(x y) 2x(x y) (x y)2 y(x y)
2x .
3
4 y
y 3
把x 2 y 代入可得原式= 3 4 .
9.已知
，求
的值.
x 2

y 3
x2 y2 xy y2

x2 2xy y2 2x2 2xy
本题还可以由已知条 件设x=2m,y=3m.
针对训练
分
式
分
式
分式的定义及有意义的条件等
分 式 方 程
分式方程的 应 用
步 骤
一审二设三列四解五检六写， 尤其不要忘了验根
类 型
行程问题、工程问题、销售 问题等
分式的运算及化简求值
分式方程的定义
分式方程的解法
课堂小结
谢谢观看
Thank You