2021年人教版八年级数学上册第十一章 三角形小结与复习教学课件（28张）
文档属性
| 名称 | 2021年人教版八年级数学上册第十一章 三角形小结与复习教学课件（28张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1000.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-11 21:04:20 | ||
图片预览
文档简介
(共28张PPT)
第十一章 三角形 小结与复习
人教版 数学 八年级 上册
腰和底不等的等腰三角形
要点梳理
按边分
按角分
三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
三角形的分类
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
3. 三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图 .
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图 .
角平分线：三条角平分线相交于一点，如图 .
4. 三角形的内角和与外角
三角形的内角和等于180°；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
5. 多边形及其内角和
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
(n 2) 180 ,
n
n
3 6 0 .
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正 多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.
n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.
n边形的外角和等于360°.
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三 条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8- 3又∵第三边长为奇数,
∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
考点讲练
三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否
组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于 第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形 的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
归纳
针对训练
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围 是 6例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另 两边长.
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，
∴分两种情况讨论： 当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另 两边长分别为5,5；
当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
A.16 B.20或16 C.20 D.12
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个 等腰三角形的周长为 ( C )
归纳
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意
三边是否构成三角形.
.
5
针对训练
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长 大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，
∴AC=5．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD 将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，
设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7， 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
无图时，注 意分类讨论
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段
AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
△ABE △ABD
△ACE= S△ADC
，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，
∴S△BCE= S△ABC=
×24=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=
△BCE
S = ×12=6．
∴S = 1 S ，S
2
1
1
12
2
1
2 1
2 2
1 1
2
2
归纳
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ C ）
1
2
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_B_A_D =∠CA_D_= 2 ∠_C_A_B ，
②AE是△ABC的中线，则 CE = BE = 1 BC ，
③AF是△ABC的高线，则∠_A_F_B =∠_A_F_C =90°．
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件， 求 ∠A，∠B，∠C 中 未 知 角 的 度 数 . (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思
想设未知数列方程求解.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x． 因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°， 所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
归纳
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
针对训练
∠B，则∠B= 60°.
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高， 若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数 是 20°，∠FBC的度数是 40°.
7.如图，在△ABC中，两条角平分线 BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°， 那么∠A的度数是 84° .
考点四 多边形的内角和与外角和
例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 1 ，
4
求这个多边形的边数.
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则
x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
归纳
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，
∠3=∠4．求∠CAD的度数．
解：∵五边形的内角和是540°，
∴每个内角为540°÷5=108°，
∴∠E=∠B=∠BAE=108°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知
∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，
∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，
∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样 的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，
∴∠EDC=∠FAB=120°.
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，
∴AD∥BC.
针对训练
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°， 求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，
（n-2）=6-1， 解得n=7．
∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
A
B
E C
D
方程思想
例9 如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,
因为△BDE是等边三角形，
所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.
在△BCE中，根据三角形内角和定理， 得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75,所以∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系
进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1
的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠ 1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2， 所以∠3=2x, ∠4=x，
又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，
得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
归纳
分类讨论思想
例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
三角形的周长是 ．
26或22
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时 周长为22.
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
B
C
D
O
化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字
“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形 也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
A
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度 数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和 问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五
边形的内角和问题.
A
B
C
F
G
D
E
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所 以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540
°.
三角形
与三角形有关的 线段
与三角形有关的 角
三角形的边：三边关系定理 高线
中线：把三角形面积平分 角平分线
三角形内角和：180°
三角形外角和：360° 内角与外角关系
三角形的分类
多边形
定义
多边形的内外角和
对角线
多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
正多边形
内角=
;
外角=
n
（ n 2 ) 1 8 0
n
内角和：（n-2) ×180 ° 外角和：360 °
3 6 0
课堂小结
谢谢观看
Thank You
第十一章 三角形 小结与复习
人教版 数学 八年级 上册
腰和底不等的等腰三角形
要点梳理
按边分
按角分
三角形的三边关系：
三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
三角形的分类
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
3. 三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线 相交于一点，如图 .
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于 一点（重心），如图 .
角平分线：三条角平分线相交于一点，如图 .
4. 三角形的内角和与外角
三角形的内角和等于180°；
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.
5. 多边形及其内角和
正多边形的每个内角的度数是
正多边形的每个外角的度数是
(n 2) 180 ,
n
n
3 6 0 .
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.正 多边形的各个角都相等，各条边都相等的多边形.
n边形内角和等于(n-2)×180 °(n ≥3的整数）.
n边形的外角和等于360°.
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三 条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得 8- 3
∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
考点讲练
三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否
组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于 第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形 的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有 着重要的作用.
归纳
针对训练
1.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围 是 6
解：由于题中没有指明边长为6的边是底还是腰，
∴分两种情况讨论： 当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另 两边长分别为5,5；
当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6,4.
综上所述，另两边长为5,5或6,4.
A.16 B.20或16 C.20 D.12
【变式题】 已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个 等腰三角形的周长为 ( C )
归纳
等腰三角形的底边长不确定时，要分两种情况讨论，还要注意
三边是否构成三角形.
.
5
针对训练
2.若(a-1)2+|b-2|=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为
考点二 三角形中的重要线段
例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长 大3cm，BC=8cm，求边AC的长．
解：∵CD为△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD，
∵△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，
∴AC=5．
【变式题】 在△ABC中，AB=AC，DB为△ABC的中线，且BD 将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
解：如图，∵DB为△ABC的中线，
∴AD=CD，
设AD=CD=x，则AB=2x， 当x+2x=12，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7， 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7．
无图时，注 意分类讨论
例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段
AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积．
解：∵点E是AD的中点，
△ABE △ABD
△ACE= S△ADC
，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，
∴S△BCE= S△ABC=
×24=12，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=
△BCE
S = ×12=6．
∴S = 1 S ，S
2
1
1
12
2
1
2 1
2 2
1 1
2
2
归纳
三角形的中线分该三角形为面积相等的两部分.
针对训练
3.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ C ）
1
2
4.如图，①AD是△ABC的角平分线，则∠_B_A_D =∠CA_D_= 2 ∠_C_A_B ，
②AE是△ABC的中线，则 CE = BE = 1 BC ，
③AF是△ABC的高线，则∠_A_F_B =∠_A_F_C =90°．
考点三 有关三角形内、外角的计算
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件， 求 ∠A，∠B，∠C 中 未 知 角 的 度 数 . (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
则2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
若题中没有给出任意角的度数，仅给出数量关系，常用方程思
想设未知数列方程求解.
例6 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，
∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x． 因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°， 所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
归纳
5.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B-∠A=∠C-
针对训练
∠B，则∠B= 60°.
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
6.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高， 若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数 是 20°，∠FBC的度数是 40°.
7.如图，在△ABC中，两条角平分线 BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°， 那么∠A的度数是 84° .
考点四 多边形的内角和与外角和
例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 1 ，
4
求这个多边形的边数.
解：设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为4x,则
x+4x=180°,解得 x=36°.
∴边数n=360°÷36°=10.
归纳
在求边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1=∠2，
∠3=∠4．求∠CAD的度数．
解：∵五边形的内角和是540°，
∴每个内角为540°÷5=108°，
∴∠E=∠B=∠BAE=108°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠4， 由三角形内角和定理可知
∠1=∠2=∠3=∠4=（180°-108°）÷2=36°，
∴∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36°．
【变式题】如图，六边形ABCDEF的内角都相等，
∠1=∠2=60°，AB与DE有怎样的位置关系？AD与BC有怎样 的位置关系？为什么？
解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下：
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，
∴∠EDC=∠FAB=120°.
∵∠1=∠2=60°，
∴∠EDA=∠DAB=60°，∴AB∥DE，
∵∠C=120°，∠2=60°，
∴∠2+∠C=180°，
∴AD∥BC.
针对训练
8.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°， 求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数是n，
依题意得（n-2）×180°=3×360°-180°，
（n-2）=6-1， 解得n=7．
∴这个多边形的边数是7．
考点五 本章中的思想方法
A
B
E C
D
方程思想
例9 如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 解：设∠C=x °,则∠ABC=x°,
因为△BDE是等边三角形，
所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-60°.
在△BCE中，根据三角形内角和定理， 得90°+x°+x°-60°=180°,
解得x=75,所以∠C=75 °.
在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外角之间的关系
进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
【变式题】 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1
的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠ 1=x,根据题意得∠2=x.因为∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2， 所以∠3=2x, ∠4=x，
又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，
得x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.
归纳
分类讨论思想
例10 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则
三角形的周长是 ．
26或22
【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论： 第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时 周长为22.
【易错提示】别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
B
C
D
O
化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字
“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形 也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
A
例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度 数.
解析：所求问题不是常见的求多边形的内角和 问题，我们发现，只要连接CD便转化为求五
边形的内角和问题.
A
B
C
F
G
D
E
解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所 以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540
°.
三角形
与三角形有关的 线段
与三角形有关的 角
三角形的边：三边关系定理 高线
中线：把三角形面积平分 角平分线
三角形内角和：180°
三角形外角和：360° 内角与外角关系
三角形的分类
多边形
定义
多边形的内外角和
对角线
多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
正多边形
内角=
;
外角=
n
（ n 2 ) 1 8 0
n
内角和：（n-2) ×180 ° 外角和：360 °
3 6 0
课堂小结
谢谢观看
Thank You