(共26张PPT)
3.3垂径定理
北师大版 九年级下册
情景导入
1 等腰三角形是轴对称图形吗？
2 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3 如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
新知讲解
小贴士
1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）.
新知讲解
问题：如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AP=BP
弧: AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
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⌒
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
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O
A
B
D
P
C
·
想一想
·
O
A
B
D
C
P
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP，
AC =BC,
⌒
⌒
⌒
⌒
AD =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD，
⌒
⌒
∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD.
能不能用所学过的知识证明你的结论？
结论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
题设
C
D
A
B
M
O
结论
AM = BM
=
=
新知讲解
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
·
O
A
B
C
D
P
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.(结论)
推导格式：
练一练
下列图形，符合垂径定理的条件吗？
E
O
A
B
D
C
O
B
A
E
D
E
O
C
D
A
B
E
A
B
C
D
O
E
A
B
D
C
O
E
O
A
B
C
×
×
×
√
√
√
想一想
如图，AB是⊙O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M
（1）图是轴对称图形吗 如果是其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
C
D
A
B
M
O
动手探究
连接OA、OB，
易证OM⊥AB，∠AOC=∠BOC
∴AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
即直径CD⊥AB，直径CD平分AB所对的劣弧AB和优弧ADB
⌒
⌒
C
D
A
B
M
O
总结
M
C
D
垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
符号语言：在⊙O中，
∵CD是直径，AM=BM，且AB不是直径，∴CD⊥AB，
AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
归纳总结
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
探究新知
解：延长CD到O，使得OC=OA，则O为圆心，
∵拱桥的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，
∴AD=AB=18.7m，
∴AD2=OA2-（OC-CD）2，即18.72=AO2-（AO-7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：石拱桥拱的半径为27.9m．
我们现在解答本课开始的问题
典例精析
例、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
● O
C
D
E
F
┗
典例精析
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
● O
C
D
E
F
┗
典例精析
如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为 .
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
方法点拨
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
课堂练习
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结
论不一定成立的是（ ）
CM = DM B.
C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD
D
2.如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2，BD=，则AB 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
=
课堂练习
3. 已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范
围 .
14cm或2cm
3cm≤OP≤5cm
课堂练习
5.如图所示，在⊙O中，AB为直径，点B为CD的中点，直径AB交弦CD于点E， CD=2,AE=5.
(1)求⊙O的半径r的值；
(2)点F在直径AB上，连结CF，当∠FCE=∠DOB时，求：AF的长.
课堂练习
解：(1)∵AB为直径，点B为CD的中点，CD= 2,
∴AB ⊥CD,DE=CD=.
∵OA=r,AE=5，∴OE=AE-OA=5-r.
在Rt△ODE中，根据勾股定理，得
OD2=OE2+DE2,
即 r2=(5 r)2+()2, 解得r=3.
F
课堂练习
(2)由(1)知，OE=5-r=2.
∵在Rt△ODE中，tan ∠DOE==,
∴在Rt△FCE中，tan ∠FCE=, 即 =,
解得 EF=.
(1)如图1，当点F在弦CD的上方时，
此时 AF=AE EF=5 =;
(2)如图2，当点F在弦CD的下方时，
此时 AF=AE+EF=5+=>AB=6,
不合题意，舍去.
∴AF=.
作业布置
1.课本第76页习题3.3第1、2题
2.若⊙O中弦AB∥CD.那么 吗？为什么？
=
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径;作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
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3.3垂径定理教学设计
课题 3.3垂径定理 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1. 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；运用垂径定理及其逆定理解决问题。 2. 经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
重点 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
难点 垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.等腰三角形是轴对称图形吗？ 2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？ 3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？ 学生自由讨论回答 通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。
讲授新课 1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到0.1m）. 1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由． 条件：① CD是直径；② CD⊥AB 结论（等量关系）：③AM=BM； ④=；⑤=。 证明：连接OA,OB,则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合, 和重合, 和重合. ∴ =，=. 练一练： 下列图形，符合垂径定理的条件吗？ 注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。 通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。 垂径定理推论的探索 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。 （1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 条件：① CD是直径；② AM=BM 结论（等量关系）：③CD⊥AB； ④=；⑤=. 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容 ——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 例题： 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。 解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m． ∵OE⊥CD 根据勾股定理，得 OC =CF +OF 即 R =300 +(R-90) . 解这个方程，得R=545. 所以，这段弯路的半径为545m. 证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 同伴交流 让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容。 学生认真读题、审题，思考解题方法。 让学生自己根据轴对称图形的定义动手操作，培养学生独立探究问题和解决问题的能力. 在旋转中领会 定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力. 通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识。 让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识； 让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；
课堂练习 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ） A. CM = DM B. C. ∠ACD =∠ADC D. OM = MD 2.如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，且CD=2，BD=，则AB 的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知☉O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 . 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 . 5.如图所示，在⊙O中，AB为直径，点B为CD的中点，直径AB交弦CD于点E， CD=2,AE=5. (1)求⊙O的半径r的值； (2)点F在直径AB上，连结CF，当∠FCE=∠DOB时，求：AF的长. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §3.3 垂径定理 垂径定理 垂径定理的逆定理 三、列题讲解
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