(共28张PPT)
1.1.2 等边三角形的性质
北师版 八年级下册
新知导入
等腰三角形有哪些性质？
2.等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
1.等腰三角形的性质：等边对等角.
新知导入
画一画：在纸上画一个等腰三角形。
它们在数量上有何关系？你能证明吗？
在等腰三角形中作出两底角的平分线。
新知讲解
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ ∠1＝∠2.
新知讲解
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.
求证：BD=CE.
在△BDC和△CEB中，
∠ACB＝∠ABC,
BC=CB,
∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.
【总结归纳】
等腰三角形两底角的平分线相等.
新知讲解
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.
A
B
C
D
E
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB
∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，
∴CD= AC，BE= AB，∴CD= BE.
在△BDC和△CEB 中，
BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，
∴ △BDC≌△CEB（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.
∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，
∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，
∴ △BDC≌△CEB（AAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
A
B
C
D
E
新知讲解
【总结归纳】
1.等腰三角形两底角的平分线相等；
2.等腰三角形两腰上的中线相等；
3.等腰三角形两腰上的高相等．
新知讲解
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
（1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠CBD= ∠ABC，∠ECB = ∠ACB，∴∠CBD=∠ ECB .
在△BDC 和△CEB 中，
∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
总结：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
新知讲解
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
（2）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
证明： ∵ AB=AC，AD= AC，AE= AB，
∴AD=AE.
在△ABD 和△ACE中，
AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE，
∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.
∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
新知讲解
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.
如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
总结：在△ABC中，如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE.
新知讲解
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
新知讲解
证明：∵ AB=AC， ∴∠ B=∠C （等边对等角）.
又∵ AC=BC，∴∠ A=∠B （等边对等角）.
∴∠A=∠B=∠C .
在△ABC 中，
∵∠A+∠B+∠C =180°，
∴∠A=∠B=∠C =60°.
证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证： ∠A=∠B=∠C=60°.
新知讲解
解：∵ △ADE是等边三角形，
∴ AD=DE=AE， ∠ADE=∠DEA=∠DAE =60°.
∵ D，E是BC的三等分点，
∴ BD=DE=EC，∴BD=AD，
∴ ∠ABD= ∠BAD= 30°（三角形的外角性质）.
同理， ∠ ACE= ∠CAE= 30°.
∴ ∠BAC= ∠BAD+ ∠DAE+ ∠CAE= 30°+ 60°+ 30°= 120°.
A
B
D
C
E
【例】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
课堂练习
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D分别是AC，AB的中点，F是BE，CD的交点，则图中全等的三角形共有( )
A．3对
B．4对
C．5对
D．6对
A
课堂练习
2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是( )
A. BC边上的高和中线互相重合
B. AB，AC边上的中线相等
C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
D. AB，BC边上的高相等
D
课堂练习
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A. 105°
B. 100°
C. 95°
D. 85°
C
课堂练习
4.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于( )
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 15°
C
拓展提高
5. 如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC=120°,
AE=CE，AF平分∠BAC.
(1)∠BAE的度数为 ;
(2)判断AF与CE的位置关系，并说明理由.
90°
(2)AF∥CE.
理由如下: ∵△ABC是等边三角形，AF平分∠BAC,
∴ AF⊥BC，∠ACB=60°. 由(1)知∠ACE=30°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴EC⊥BC，∴AF∥CE.
中考链接
6.【中考·晋江】△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( )
A．△ABC的周长
B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长
D．四边形ADEC的周长
A
中考链接
7.【中考·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
1.底角的两条平分线相等；
2.两条腰上的中线相等；
3.两条腰上的高线相等.
板书设计
课题：1.1.2 等边三角形的性质
教师板演区
学生展示区
一、等腰三角形的特殊性质
二、等边三角形的性质
作业布置
课本 P7 练习题
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北师版八年级下册数学1.1.2等边三角形的性质教学设计
课题 1.1.2 等边三角形的性质 单元 第一单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1、了解等边三角形的概念，探索并掌握等边三角形的性质、判定方法。2、（1）经过运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。（2）经过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力。3、激发学生积极参与数学学习活动的兴趣，培养学生良好的创新意识。
重点 等边三角形判定定理的发现与证明。
难点 引导学生全面、周到地思考问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 等腰三角形有哪些性质？1.等腰三角形的性质：等边对等角.2.等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.画一画：在纸上画一个等腰三角形。在等腰三角形中作出两底角的平分线。它们在数量上有何关系？你能证明吗？ 学生思考回答教师提出的问题。 通过回顾等腰三角形的性质,为其特殊性质及等边三角形性质的探究做好铺垫。
讲授新课 证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.∵BD，CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，∴ ∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中， ∠ACB＝∠ABC, BC=CB, ∠1＝∠2, ∴△BDC≌△CEB (ASA).∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】等腰三角形两底角的平分线相等.等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的中线. 求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB∵ BD和CE是△ABC两腰上的中线，∴CD= AC，BE=AB，∴CD= BE.在△BDC和△CEB 中， BC=CB，∠ACB=∠ABC，CD= BE ，∴ △BDC≌△CEB（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，BD和CE是△ABC的两腰上的高. 求证：BD=CE.证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC= ∠ACB.∵ BD和CE是△ABC两腰上的高，∴ ∠BDC= 90°，∠BEC= 90° .在△BDC 和△CEB 中，∠ACB= ∠ABC， BC=CB， ∠BDC=∠BEC，∴ △BDC≌△CEB（AAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.【总结归纳】1.等腰三角形两底角的平分线相等；2.等腰三角形两腰上的中线相等；3.等腰三角形两腰上的高相等． 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 分别在边AC和AB上.（1）如果∠ABD=∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？证明： ∵ AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB.∵ ∠CBD=∠ABC，∠ECB =∠ACB，∴∠CBD=∠ ECB .在△BDC 和△CEB 中，∠ACB= ∠ABC， BC=CB，∠CBD = ∠ECB，∴ △BDC≌△CEB（ASA）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE吗？总结：在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，那么BD=CE. 简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.（2）如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？证明： ∵ AB=AC，AD=AC，AE=AB，∴AD=AE.在△ABD 和△ACE中，AB=AC，∠BAD= ∠CAE，AD=AE，∴ △ABD ≌△ACE（SAS）.∴ BD=CE（全等三角形的对应边相等）.如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗？总结：在△ABC中，如果AD= AC，AE=AB，那么BD=CE.想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知： 如图，在△ABC中，AB=AC=BC.求证： ∠A=∠B=∠C=60°.证明：∵ AB=AC， ∴∠ B=∠C （等边对等角）.又AC=BC，∴∠ A=∠B （等边对等角）.∴∠ A=∠B=∠C . 在△ABC 中，∵∠A+∠B+∠C =180°，∴∠A=∠B=∠C =60°.【例】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.解：∵ △ADE是等边三角形，∴ AD=DE=AE， ∠ADE=∠DEA=∠DAE =60°.∵ D，E是BC的三等分点，∴ BD=DE=EC，∴BD=AD，∴ ∠ABD= ∠BAD= 30°（三角形的外角性质）.同理， ∠ ACE= ∠CAE= 30°.∴ ∠BAC= ∠BAD+ ∠DAE+ ∠CAE= 30°+ 60°+ 30°= 120°. 学生根据画的三角形探究等腰三角形两底角的平分线的性质。学生在老师的引导下对猜想所得出的结论进行证明.证明完成后班内交流.并认真听老师讲评.学生探究等腰三角形两腰上的中线的性质。学生探究等腰三角形两腰上的高线的性质。学生总结归纳，小组讨论。教师引导学生思考：把底角二等份的线段相等．如果是三等份、四等份……结果如何呢 从而引出“议一议”。学生在上面了解三角形性质定理的基础上，思考等边三角形的特殊性质：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.学生根据所学知识做例题。 探究等腰三角形的特殊性质。培养学生的探究精神，引导学生将等腰三角形的角平分线性质与中线、高线的性质进行类比，感悟这种类比方法在学习中的作用.进一步提升学生的想象力空间，培养学生的探究发现能力。让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。学生一般都能得到这些定理的证明，能规范地写出对于“等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°”的证明过程。学生通过例题巩固本节课的所学知识。
课堂练习 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D分别是AC，AB的中点，F是BE，CD的交点，则图中全等的三角形共有( A )A．3对 B．4对C．5对 D．6对2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，下列说法错误的是( D )A. BC边上的高和中线互相重合B. AB，AC边上的中线相等C. 在△ABC中，顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等D. AB，BC边上的高相等3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( C )A. 105° B. 100° C. 95° D. 85°4.如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于( C )A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°5. 如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC=120°,AE=CE，AF平分∠BAC.(1)∠BAE的度数为 90°; (2)判断AF与CE的位置关系，并说明理由.(2)AF∥CE. 理由如下: ∵△ABC是等边三角形，AF平分∠BAC,∴ AF⊥BC，∠ACB=60°. 由(1)知∠ACE=30°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴EC⊥BC，∴AF∥CE.6.【中考·晋江】△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道( A )A．△ABC的周长 B．△AFH的周长 C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长7.【中考·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( A )A．15° B．30°C．45° D．60° 学生独立完成练习，巩固所学知识。 在巩固新知识的同时，进一步掌握综合证明法的基本要求和步骤，规范证明的书写格式。
课堂小结 本节课你学到了什么？等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：1.底角的两条平分线相等；2.两条腰上的中线相等；3.两条腰上的高线相等.定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
板书 课题：1.1.2 等边三角形的性质一、等腰三角形的特殊性质二、等边三角形的性质
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