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19.2.1正比例函数（1） 教案
课题 19.2.1正比例函数（1） 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级（下）
学习目标 1.熟记正比例函数的概念.2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
重点 正比例函数的概念及其简单应用.
难点 根据已知条件写出正比例函数的解析式
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？（1）1318÷300≈4.4（小时）（2）y=300t（0≤t≤4.4）（3）y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发站1 100千米的南京站.以上我们用函数y=300t（0≤t≤4.4）对京沪高铁列车的行程问题进行了讨论，尽管实际情况可能会与此有一些小的不同，但这个函数基本反映了列车的行程与运行时间之间的对应规律。问题2下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：(1)圆的周长 随半径r的变化而变化．(2)铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的变化而变化．(3)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的本数n的变化而变化．(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：min)的变化而变化． 思考自议熟记正比例函数的概念. 能利用正比例函数解决简单的实际问题.
讲授新课 提炼概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．温馨提示: 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征 ①k≠0 ②x的次数是1三、典例精讲试一试1.判断下列函数解析式是否是正比例函数 如果是，指出其比例系数是多少 是，-0.1 不是 是， 不是是，π 不是，2、列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. y=4x 是正比例函数 （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元． y=12x 是正比例函数 （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3. y=3x 是正比例函数 正比例函数的概念及其简单应用. 会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
课堂检测 四、巩固训练 1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是( )A.圆的面积S与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量(看作“1” )一定，工作效率w与工作时间t解：A、∵S＝πr2，r的指数不是一次，故不是正比例函数；B、∵s＝vt，其中速度v是不为0的常数，故路程s是时间t的正比例函数；C、正方体的面积S＝a2，a的指数不是一次，故不是正比例函数；D、∵wt=1，∴工作效率w与工作时间t成反比例，故本选项错误．故选答案：B．回答下列问题：(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ；(2)当n 时，y=2xn是正比例函数；(3)当k 时，y=3x+k是正比例函数.解：（1）由题意知m-1≠0，解得m≠1；由题意知n=1；由题意知k=0.故答案分别填（1）m≠1；（2）n=1；（3）k=0. 3.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？解：（1）符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为3；不符合正比例函数的形式，不是正比例函数；符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为；不符合正比例函数的形式，不是正比例函数；符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为π；符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为.4.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？5.1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为 25600÷128=200（千米）
答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米。假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y =200x (0≤x≤128)这只燕鸥飞行一个半月的行程，即 x=45， 所以 y=200×45=9000 （千米）
答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米。
课堂小结 定义求解析式要点提示正比例函数形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．只需一个已知条件求出比例系数k即可①自变量x的指数是1,且比例系数k≠0；②函数是正比例函数→其解析式可化为y=kx(k是常数，k≠0)的形式.
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人教版 八年级下
19.2.1正比例函数（1）
新知导入
情境引入
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？
1318÷300≈4.4（小时）
合作学习
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？ y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1 100 千米的南京站？
y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发站1 100千米的南京站.
合作探究---正比例函数
思考1：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
合作探究---正比例函数
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，
一些练习本摞在一起的总厚度h
（单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每
分钟下降2℃，物体温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）的变化而变化．
(3)h=0.5n
(4)T=-2t
思考2： 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
函数解析式 函数 常量 自变量
l =2πr
m =7.8V
h = 0.5n
T = -2t
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
2、π
r
l
7.8
V
m
h
T
t
0.5
-2
n
函数=常数×自变量
y
k
x
＝
提炼概念
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
试一试
1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
是，-0.1
不是
是，π
不是
是，
不是，
2、列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数．
（1）正方形的边长为xcm，周长为ycm.
y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元．
y=12x 是正比例函数
（3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
y=3x 是正比例函数
课堂练习
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ）
A.圆的面积S与它的半径r
B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t
C.正方形的面积S与边长a
D.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工作时间t
B
2.回答下列问题：
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ；(2)当n 时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k 时，y=3x+k是正比例函数.
m≠1
=1
=0
3.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
是，3
不是
是，π
不是
是，
是，
4.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．
所使用的汽油为5元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程
x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？
即 .
解：
（1）y=5×15x÷100，
（2）当x=220
时，
答：该汽车行驶220 km所需油费是165元．
.
y是x的正比例函数.
5.1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为 25600÷128=200（千米） 答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米。
(2) 假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y =200x (0≤x≤128)
(3) 这只燕鸥飞行一个半月的行程，即 x=45， 所以y=200×45=9000 （千米）答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米。
课堂总结
你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？
1.从语言描述看：
函数关系式是常量与自变量的乘积．
2.从外形特征看：
（1）一般情况下y=kx(常数k≠0)；
（2）在特定条件下自变量可能不单独是x了，要注意问题中自变量的变化.
3.从结果形式看：
函数表达式要化简后才能确认为正比例函数
4.从函数关系看：
比例系数k一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x、y的一对对应值即可确定k．
5.从方程角度看：
如果三个量x、y、k中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．
作业布置
教材课后配套作业题。
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19.2.1正比例函数（1）学案
课题 19.2.1正比例函数（1） 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级下册
学习目标 1.熟记正比例函数的概念.2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.
重点 正比例函数的概念及其简单应用.
难点 根据已知条件写出正比例函数的解析式
教学过程
导入新课 【引入思考】问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？问题2下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：(1)圆的周长 随半径r的变化而变化．(2)铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的变化而变化．(3)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的本数n的变化而变化．(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T(单位：℃)随冷冻时间t(单位：min)的变化而变化．观察以上的四个函数解析式,分别说出哪些是函数、常数和自变量函数解析式函数常数自变量观察发现，以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量 的形式.2.自主归纳：一般地，形如 (k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
新知讲解 提炼概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．温馨提示: 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征 ①k≠0 ②x的次数是1典例精讲 试一试1.判断下列函数解析式是否是正比例函数 如果是，指出其比例系数是多少 2、列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. （2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月）的总收入为y元． （3）一个长方体的长为2cm，宽为1.5cm，高为xcm ，体积为ycm3.
课堂练习 巩固训练 1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是( )A.圆的面积S与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s与时间tC.正方形的面积S与边长aD.工作总量(看作“1” )一定，工作效率w与工作时间t回答下列问题：(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是 ；(2)当n 时，y=2xn是正比例函数；(3)当k 时，y=3x+k是正比例函数.3.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？4.已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/ L ．（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少？5.1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？引入思考问题1（1）1318÷300≈4.4（小时）（2）y=300t（0≤t≤4.4）（3）y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发站1 100千米的南京站.问题2提炼概念典例精讲 是，-0.1 不是 是， 不是是，π 不是， 2.（1） y=4x 是正比例函数 （2） y=12x 是正比例函数 （3） y=3x 是正比例函数巩固训练1.B．2.故答案分别填（1）m≠1；（2）n=1；（3）k=0.3.解：（1）符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为3；不符合正比例函数的形式，不是正比例函数；符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为；不符合正比例函数的形式，不是正比例函数；符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为π；符合正比例函数的形式，是正比例函数，比例系数为.4.5.解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为 25600÷128=200（千米）
答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米。假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y =200x (0≤x≤128)这只燕鸥飞行一个半月的行程，即 x=45， 所以 y=200×45=9000 （千米）
答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米。
课堂小结 小 定义求解析式要点提示正比例函数形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．只需一个已知条件求出比例系数k即可①自变量x的指数是1,且比例系数k≠0；②函数是正比例函数→其解析式可化为y=kx(k是常数，k≠0)的形式.
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