2021-2022学年高一下学期数学 北师大版（2019）必修第二册2.3.1 向量的数乘运算 课件（34张ppt）

(共34张PPT)
§ 2.3.1 向量的数乘运算
北师大（2019）必修2
聚焦知识目标
1.掌握向量数乘的运算及其运算律．
2．理解数乘向量的几何意义．
数学素养
1.通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；
2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养.
环节一
情境引入
情境引入
在疾风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.8×倍.
情境引入
一重物由高空自由落下，根据自由落体运动的速度公式v=gt可知，它在1s末和2s末的速度大小分别为v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v1=2 v2，并且方向都是竖直向下.
情境引入
以上实例说明在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间具有倍数关系，因此，有必要定义实数与向量的乘积运算.
环节二
向量数乘的概念
向量数乘概念
实数λ与向量的乘积是一个向量，记作λ，满足以下条件：
(1)当λ>0时，向量λ与向量的方向相同；
当x<0时，向量λ与向量的方向相反；
当x=0时，0=.
(2)=
这种运算称为向量的数乘.
向量数乘概念
当λ>0时，表示向量的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的λ倍；
当λ<0时，表示向量的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍。
这种运算称为向量的数乘几何意义
几何意义
向量数乘概念
由向量的数乘定义容易推出，在非零向量方向上的单位向量是
它表明一个非零向量除以它的模（乘它的模的倒数）的结果是一个与原向量同方向的单

拓展：在其反方向上的单位向量： -
单位向量
向量数乘概念
典例
向量数乘概念
典例
解后心得
解后心得
1．已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有(　　)
①当λ＞0时，λa与a的方向一定相同；
②当λ＜0时，λa与a的方向一定相反；
③当λa与a的方向相同时，λ＞0；
④当λa与a的方向相反时，λ＜0.
A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个
练习
环节二
数乘运算的运算律
数乘运算的运算律
作图题
设λ，μ为实数，，为向量，那么根据向量的数乘定义，可以得到以下运算律：
(1)(λ+μ)=λ+μ;
(2)λ(μ)=(λμ) ;
(3)λ(+)=λ+λ.
利用相似三角形的性质,可以推出运算律(3)，其他运算律可以由向量的数乘定义直接得到.
数乘运算的运算律
作图验证
(1)(λ+μ)=λ+μ;
(2)λ(μ)=(λμ) ;
(3)λ(+)=λ+λ.
λ>0
线性运算
向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．
线性运算
向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．
解后心得
1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．
2．对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．
解后心得
练习
环节三
向量线性运算的应用
向量线性运算的应用
例3如图，已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为边BC的中点，且 说明向量与的关系.
因为点D为BC边的中点、所以
因为 ， +2 =
2 =-
=
= + =
向量与向共线，前者长度是后者的二分之三倍
课本例题
向量线性运算的应用
补充例题
向量线性运算的应用
补充例题
解后心得
1.直接法：结合图形，把待求向量放到三角形或平行四边形中，用法则和数乘几何意义，用已知向量表示未知向量
2. 方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量
环节四
学以致用
数乘概念
线性运算应用
线性表示
线性运算应用