(共53张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握椭圆的定义、标准方程. 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 1.数学抽象——能够从具体情境中抽象出椭圆.
2.数学运算——能够通过运算求椭圆的标准方程.
1. 椭圆的定义：
平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的①_________，两焦点间的距离叫做椭圆的②_________，焦距的一半称为半焦距.
焦点
焦距
2. 椭圆的标准方程：
（1） 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是③______________________，其中；
（2） 当焦点在轴上时，椭圆的标准方程是④______________________，其中.
1.（1）已知，，则平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆吗？
（2）已知，，则平面内到，两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆吗？
2. 方程表示的椭圆的焦点是在轴上吗？
提示（1）不是，因为，所以动点的轨迹是线段.
（2）不是，当距离之和小于时，动点的轨迹不存在.
提示 不一定，因为没有注明，所以焦点不一定在轴上.
1.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，，当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.
2.在两种标准方程中，，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
3.是椭圆上的任意一点（不在坐标轴上），，为椭圆的两焦点，则的周长为.
4.焦点三角形：椭圆上的点（异于长轴的端点）与两焦点构成的
叫做焦点三角形.若，，，的面积为，则在椭圆中：
（1）当，即点的位置为椭圆与轴交点时，最大；
（2），当，即点的位置为椭圆与轴交点时，取最大值，最大值为.
探究点一 椭圆的标准方程
类型1 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 焦点在轴上，且经过两个点(0,4)和(2,0)；
[答案] 因为椭圆的焦点在轴上，且椭圆经过(0,4)和(2,0)，所以，，所以椭圆的标准方程为.
（2） 两个焦点的坐标分别是(0,-2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
[答案] 由题意知椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为.
由椭圆的定义知，
，即.又，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（3） 经过点，.
[答案] 设椭圆的方程为且，
因为点，在椭圆上，
所以代入椭圆的方程得
解得，，
所以椭圆的标准方程为.
解题感悟
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：（1）定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能.（2）设方程：根据上述判断设标准方程或整式形式且.（3）找关系：根据已知条件建立关于，，（或，）的方程组.（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，写成标准形式即为所求.
类型2 根据椭圆的标准方程求参数的取值范围
例2 [2021安徽淮南一中高二期中] 方程表示椭圆的充要条件是( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 思路分析 根据，均为正数且不相等，列不等式组求解即可.
方程表示椭圆，则即，所以方程表示椭圆的充要条件是.
变式. 若本例改为“若方程表示焦点在轴上的椭圆”，如何求的取值范围？
[答案] 由已知得解得，即的取值范围为.
解题感悟
方程表示椭圆的条件是表示焦点在轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是
1. [2021浙江诸暨中学高二期中] 是方程表示椭圆的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
[解析] 若方程表示椭圆，则解得或，
因为是的真子集，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件.
2. [2021江苏苏州高新第一中学高二期中] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 椭圆的焦点为，，且经过点；
[答案] 椭圆过点，且焦点为，，
，
则，椭圆的标准方程为.
（2） 经过，两点.
[答案] 设椭圆的方程为.
把，两点代入，
得解得，
椭圆的标准方程为.
探究点二 椭圆定义的应用
例1
[解析] 思路分析 （1）根据椭圆的定义求出，然后利用余弦定理求.
（2）根据椭圆的定义和余弦定理，建立方程组求.
（1） 椭圆的焦点为，，点在椭圆上，若，则 ____________.
[解析] 由知，，则.
，
，
.
（2） 已知点是椭圆上一点，，是椭圆的焦点，且，则 __________.
[解析] 由可知，，从而.
在中，由余弦定理得，即，①
由椭圆定义得，②
联立①②可得.
变式本例（2）的条件不变，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长是 ______.
8
[解析] 由例（2）知，所以的周长是.
解题感悟
（1）椭圆的定义具有双向作用，即若，则点的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和必为.（2）在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等）来求解.
已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则的面积为_______.
64
[解析] 由得，，所以，，所以.
设，
所以，
所以，①
因为，所以，②
由①②得，解得，
所以的面积.
探究点三 利用代入法求轨迹方程
例1 [2021江西南昌江西师大附中高二期中] 已知是圆上一动点，点在轴上的射影是点，点满足.
（1） 求动点的轨迹的方程；
[答案] 设，，则，由得，即，，因为点在圆上，所以，故动点的轨迹的方程为.
（2） 若点在曲线上，，分别是的左、右焦点，求的面积.
[答案] 由（1）得曲线的方程为，
所以，
由点在曲线上得，所以，所以的面积为.
解题感悟
当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法（相关点法）求轨迹方程.
[2021浙江宁波效实中学高二期中] 已知椭圆的左焦点为，椭圆与轴正半轴的交点为，点的坐标是.
（1） 求该椭圆的标准方程；
[答案] 设椭圆的标准方程为，
由题意可得解得
因此椭圆的标准方程为.
（2） 若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
[答案] 设点，，则，
[解析] 由中点坐标公式可得
解得代入得，即，
因此线段的中点的轨迹方程为.
1. 若椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
B
[解析] 根据椭圆的定义知，，因为，所以.
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. 或 D. 或
D
[解析] 由得
所以所以或.
3. 已知两定点，，，则动点的轨迹方程是___________________.
[解析] 由题意得，所以动点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，且，，所以，故动点的轨迹方程为.
4. 求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 椭圆的焦点坐标为，，且经过点；
[答案] 由椭圆的定义知，，所以，所以.
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.
[答案] 由题意知，，即，又，所以，所以，
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以椭圆的标准方程为或.
（2） ，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
1. [2020北京交大附中东校区高二期末] 已知椭圆的一个焦点是，那么实数( )
A. B. C. 3 D. 5
D
2. 若方程表示椭圆，则实数满足的条件是( )
A.
B.
C.
D.
A
3. [2021北京丰台高二期末] 已知点是椭圆上一点，，分别是圆和圆上的点，那么的最小值为( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
C
4. [2021陕西西安长安第一中学高二期末] 设，若，则点的轨迹方程为
( )
A. B.
C. D.
B
5. [2021辽宁沈阳郊联体高二期中] 在平面直角坐标系中，已知的顶点为，，顶点在椭圆上，则
( )
A. B. C. D.
C
6. [2021河南郑州高二期末] 设分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上且满足，则的面积为( )
A. 3 B. C. 6 D. 9
D
7. [2021山东济南高二月考] 设定点、，动点满足，则点的轨迹是( )
A. 圆 B. 射线 C. 椭圆或线段 D. 不存在
C
8. 已知是过椭圆中心的弦，为椭圆的右焦点，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
B
[解析] 已知，当为短轴的两个端点时，最大，最大值为，
面积的最大值为.
9. [2021辽宁抚顺高二期中] 已知，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，轴，则椭圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
A
[解析] 由题意可得，，，又轴，，点的坐标为，设，
由得，
，
，
代入椭圆方程得，，，，.
10. [2021吉林长春外国语学校高二月考] 已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，是该椭圆的两个焦点，若，求：
（1） 椭圆的标准方程；
[答案] 设椭圆的标准方程为，
由已知得解得，，，故椭圆的标准方程为.
（2） 的面积.
[答案] 由椭圆的定义可得，由余弦定理可得，整理得，又，所以，故.
11. 设，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点.
[解析] 命题分析 本题考查了椭圆的标准方程、定义的应用以及转化化归思想.
答题要领 （1）根据椭圆定义、标准方程、基本不等式求解；
（2）根据已知向量等式求出点的坐标，然后代入椭圆方程求解；
（3）根据椭圆定义求解.
（1） 若是该椭圆上的一个动点，求的最大值；
[答案] 因为椭圆的方程为，所以，，，即，
又因为，
所以，当且仅当时取“=”，所以的最大值为4.
（2） 若为椭圆上异于的一点，且，求的值；
[答案] 设，已知，
由得，.
又，所以，
解得或，因为异于点，所以舍去，所以.
[答案] 因为，所以的周长的最大值为，当且仅当点为直线与椭圆的另一个交点时，取等号，此时的周长最大，最大值为8.
（3） 设是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.
解题感悟
椭圆的定义是题目的隐含条件，解决椭圆问题时要注意挖掘此条件.(共64张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
课标解读 课标要求 素养要求
1.数学抽象——能抽象出椭圆的简单几何性质.
2.数学建模——会利用椭圆的知识解决应用问题.
1. 椭圆的简单几何性质：
焦点的位置
图形
标准方程
焦点的位置
范围 ①________________________ ②________________________
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心（中心）为原点
顶点 ③_____________________ ④____________________
轴长
且
且
续表
焦点
焦距
焦点的位置
续表
2. 离心率
（1） 定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用表示，即.
（2） 性质：离心率的范围是⑧__________. 当越接近于1时，椭圆越扁平；当越接近于0时，椭圆就越接近于⑨_______.
(0,1)
圆
1.观察下图中的椭圆，它与坐标轴有交点吗？若有，请写出交点及交点坐标.
提示 有，交点分别为，，，.
提示 有，，所以 .不一定，离心率相同的椭圆只是焦距与长轴长的比值相同，并不一定是同一个椭圆.
2.除了外，还有其他表示方法吗？离心率相同的椭圆是同一个椭圆
吗？
1.通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长，其长度为.
2.椭圆与椭圆有相同的离心率.
3.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为.
4.椭圆中线段的几何特征（如图，，为焦点）：
（1）；
（2），，.
4.椭圆中线段的几何特征（如图，，为焦点）：
探究点一 椭圆的简单几何性质
类型1 求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标
例1 已知椭圆方程为，且焦距与长轴长的比为，试求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标.
[答案] 椭圆方程可化为.
当，即焦点在轴上时，，，，，
，，
椭圆的长轴长和短轴长分别为4，，顶点坐标为(-2,0)，(2,0)，，；
当，即焦点在轴上时，，，，，解得，
，，
椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，顶点坐标为，，(-2,0)，(2,0)
解题感悟
用椭圆的标准方程研究几何性质的步骤：（1）将椭圆方程化为标准形式;（2）确定焦点位置（焦点位置不确定的要分类讨论）;（3）求出，，;（4）写出椭圆的几何性质.
类型2 求椭圆的离心率
例2 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，且，所以，
因为，所以在中，，
设，，则，
由余弦定理得，
即所以，
由椭圆的定义得，故椭圆的离心率为.
解题感悟
求椭圆离心率的两种方法：（1）直接法：若，的值可求，则直接利用求解;（2）方程法：若，的值不可求，则先根据条件建立关于，，的关系式，再将方程或不等式两边同时除以的最高次幂，得到关于的方程或不等式，即可求得的值或取值范围.
1. [2021湖南岳阳平江一中高二段考] 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若为直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
C
[解析] 如图所示，易知均为锐角，所以是以为直角的直角三角形，
由题意可知，、、，则，，
所以，且，所以，即，
两边同时除以可得，且，解得.
2. 试写出椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标.
[答案] 椭圆方程可转化为，
因为，所以，
所以椭圆的焦点在轴上，且长半轴长，短半轴长，故
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，，
顶点坐标为，，，.
探究点二 利用几何性质求椭圆的标准方程
例 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 短轴长为，离心率；
[答案] 由，，得，.
当焦点在轴上时，
所求椭圆的标准方程为；
当焦点在轴上时，
所求椭圆的标准方程为.
综上，所求椭圆的标准方程为或.
（2） 在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[答案] 依题意可设椭圆方程为.如图所示，
为等腰直角三角形，为斜边的中线（高），且
，
所以，所以，
故所求椭圆的标准方程为.
解题感悟
根据椭圆的几何性质求标准方程：此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求得参数，进而可得椭圆的标准方程.
[2021云南永富云天化中学高二期中] 求下列椭圆的标准方程.
（1） 焦点在轴上，离心率，且经过点；
[答案] 焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
椭圆经过点，
，①
又，，，即，②
把②代入①得，解得，
，椭圆的标准方程为.
（2） 短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点与长轴上同侧顶点间的距离为.
[答案] 由已知得
，
所求椭圆的标准方程为或.
探究点三 椭圆性质的应用问题
例 [2021山东潍坊高二期中] 人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律.如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地心的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，设该椭圆的长轴长、焦距分别为，.某同学根据所学知识，得到下列结论：
①卫星向径的取值范围是；
②卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁；
③卫星在左半椭圆的运行时间大于其在右半椭圆的运行时间；
④卫星的运行速度在近地点时最小，在远地点时最大.
其中正确的结论是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①③④
B
[解析] 思路分析 ①根据椭圆的简单几何性质可求得卫星向径的最小值和最大值；②根据向径的最小值与最大值的比值，结合椭圆的性质即可得出结论；③根据在相同的时间内扫过的面积相等，即可判断；④根据题意及椭圆的性质知卫星的运行速度在近地点时最大，在远地点时最小.
如图所示，
卫星向径的最小值为，最大值为，①中结论正确；卫星向径的最小值与最大值的比值为，越小，就越大，就越小，椭圆轨道越扁，②中结论错误；
根据在相同的时间内扫过的面积相等，知卫星在左半椭圆的运行时间大于其在右半椭圆的运行时间，③中结论正确；卫星的运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，④中结论错误.综上，正确结论的序号是①③.
解题感悟
这类问题需要读懂题意，合理建立平面直角坐标系，写出椭圆的基本量，然后逐一判断.注意椭圆的基本量对椭圆形状的影响.
已知某卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨，进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①；②；③；④.其中正确式子的序号是( )
C
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
[解析] 由题图可知，，则，所以①错误；由椭圆的几何性质可知，，即，所以②正确；
由②可知，两边同时平方可得，展开得，移项变形可得，根据椭圆的性质可知，所以.因为，所以，两边同时除以，可得所以③正确；由③可知，所以④错误.综上可知，正确的为②③.
1. [2021福建华安一中高二期中] 椭圆的焦点坐标为
( )
A. B. C. D.
B
[解析] 由，得，椭圆的焦点坐标是，.
2. 已知椭圆的离心率为，则( )
A. B. C. D.
D
[解析] 因为，所以，所以.
3. 已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率等于__________.
[解析] 根据题意得，或（舍去）.
因为，所以，，故.
4. 求符合下列条件的椭圆的标准方程.
（1） 与椭圆有相同离心率且经过点；
[答案] 若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，
将点代入得，故所求方程为；
若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，
将点代入得，故所求方程为.
综上，椭圆的标准方程为或.
（2） 离心率为，短轴长为8.
[答案] 因为椭圆的离心率为，短轴长为8，
所以解得
若椭圆的焦点在 轴上，则方程为 ；若椭圆的焦点在 轴上，
则方程为 .
综上，椭圆的标准方程为 或 .
1. 椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
B
2. 已知椭圆的两个顶点在直线上，则该椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
C
3. [2021吉林第一中学高二期中] 设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是( )
A. B. 1 C. 3 D. 9
D
4. [2021天津耀华中学高二段考] 已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是( )
A. B.
C. D.
D
5. [2021辽宁大连高二期中] 人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于( )
A. B.
C. D.
A
6. [2021湖南怀化高二联考] （多选题）若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是( )
A. B. 的长轴长为
C. 的短轴长为 D. 的离心率为
ACD
7. 已知，是椭圆的两个焦点，若点为椭圆上一点，且，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. ） B.
C. ） D. ）
C
8. 已知为椭圆上一点，它关于原点对称的点为，点为椭圆的右焦点，且以为直径的圆过点，当时，该椭圆的离心率是_______________.
9. [2021湖南三校高二期中] （多选题）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段AB的中点，则下列结论正确的有( )
A. 椭圆的焦点坐标为
B. 椭圆的长轴长为
C. 直线的方程为
D.
CD
[解析] 由椭圆方程可得焦点在轴上，且，，，
椭圆的焦点坐标为，，故A中结论错误；
椭圆的长轴长为，故B中结论错误；
易知直线的斜率存在，设其斜率为，，，
则两式相减得，
，解得，
则直线的方程为，即，故C中结论正确；
联立直线与椭圆的方程得
整理得，
，，
，故D中结论正确.
10. [2021北京平谷五中高二期中] 已知焦点在轴上的椭圆的方程为，随着的增大，该椭圆的形状( )
A. 越扁 B. 越接近于圆
C. 先接近于圆后越扁 D. 先越扁后接近于圆
B
[解析] 依题意有解得，椭圆的离心率，令，容易判断在上单调递减，则，于是，当越来越大时，越来越趋近于0，椭圆越来越接近于圆.
11. [2021福建厦门外国语学校高二期中] 椭圆与椭圆有共同的焦点，且经过点.
（1） 求椭圆的标准方程和离心率；
[答案] 由可得，
设椭圆的标准方程为，因为椭圆经过点，
所以解得
所以椭圆的标准方程为，.
（2） 设为的左焦点，为椭圆上任意一点，求的最大值.
[答案] 由（1）可知椭圆，所以，
设，则，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，为，即的最大值为6.
12. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且轴，连接并延长交椭圆于另一点，设.
[解析] 命题分析 本题考查了椭圆方程及性质等知识，考查了转化思想、运算求解能力.
答题要领 （1）根据已知条件，建立方程组求解；
（2）设，的坐标，由轴，且在椭圆上，得点的坐标，根据，求出点的坐标，代入椭圆方程，结合的取值范围求离心率的取值范围.
（1） 若点的坐标为，求椭圆的方程；
[答案] 轴，且点的坐标为，
，，解得，，
椭圆的方程为.
[答案] 轴，不妨设在轴的上方，则，.
设，在椭圆上，，解得，即.
由得，，
解得，，
，
（2） 若，求椭圆的离心率的取值范围.
点在椭圆上，，即，
，从而，，，解得，椭圆的离心率的取值范围是.
解题感悟
解决圆锥曲线的问题时，“在上必代入”，即已知某点在椭圆上，要考虑将该点的坐标代入，这样能使待求的问题转化为已知或熟悉的问题.
