(共55张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.了解双曲线的定义和标准方程. 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题. 3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 1.数学抽象——能够抽象出双曲线的定义.
2.逻辑推理——能运用定义推导出双曲线的标准方程.
3.数学运算——能够掌握双曲线标准方程的求法.
4.数学建模——能运用双曲线解决实际问题.
1.双曲线的定义：
一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的①_________.
焦距
2.双曲线的标准方程：
标准方程 ②____________________________ ③____________________________
焦点
④________________
1.已知，动点满足，则点的轨迹是什么？
2.已知，，动点满足，则动点的轨迹是什么？
提示 因为，所以点的轨迹是双曲线的一支.
提示 此时动点的轨迹是线段的垂直平分线.
3.焦点在轴上的双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有什么不同？
提示 ①形式不同，双曲线等号的右边是“-”，而椭圆是 “+”；②标注不同，双曲线标注，椭圆标注的是；③的关系不同，在双曲线中，而椭圆中.
1.双曲线定义中的限制条件
若将“小于”改为“等于”，其余条件不变，则此时动点的轨迹是以为端点的两条射线（包括端点）.若将“小于”改为“大于”，其余条件不变，则此时动点的轨迹不存在.
2.双曲线中一些常用的结论
（1）若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，.
（2）设，，是双曲线上的三个不同的点，其中，关于原点对称，直线斜率存在且不为0，则直线与的斜率之积为.
（3）双曲线上的点（异于顶点）与其两个焦点连接而成的三角形称为焦点三角形.令，，，因为，所以有：①定义：；②余弦定理：；③面积公式：.
探究点一 双曲线的标准方程
例 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
（1） ，，焦点在轴上；
[答案] 由题设知，，，由得.因为双曲线的焦点在轴上，所以所求双曲线的标准方程为.
[答案] 由已知得，且焦点在轴上.
因为点在双曲线上，
所以，
则，故，
所以所求双曲线的标准方程是.
（2） 焦点为(0,-6)，，经过点；
（3） 以椭圆长轴的端点为焦点，且经过点.
[答案] 由题意得，双曲线的焦点在x轴上，
且，
设双曲线的标准方程为，则有，
解得，，
故所求双曲线的标准方程为.
解题感悟
求双曲线标准方程的步骤：①定位：是指确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式.②定量：是指确定的数值，常由条件列方程组求解.
提醒:若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线的方程为.
根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1） 与椭圆有共同的焦点，且过点；
[答案] 椭圆的焦点为，，故可设双曲线的方程为.
由题意知解得
故双曲线的标准方程为.
（2） 经过点，.
[答案] 设双曲线的方程为，
因为双曲线经过点，，所以解得所以所求双曲线的标准方程为.
探究点二 双曲线标准方程的应用
例 [2021江苏无锡锡山高级中学高二段考] 已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
A
[解析] 思路分析 根据双曲线的标准方程的形式建立不等式求解.
因为方程表示双曲线，
所以满足，解得，即实数的取值范围是.
解题感悟
方程为则当时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点在轴上的双曲线；若则方程表示焦点在轴上的双曲线.
已知方程表示双曲线，那么的取值范围是________________________________.
{m|-3＜m＜2或 m＞3}
[解析] 依题意有或
解得或，所以的取值范围是{m|-3＜m＜2或 m＞3} .
探究点三 双曲线的定义及应用
例 如图，若是双曲线的两个焦点.
[解析] 思路分析 （1）直接利用定义求解.（2）先利用双曲线的定义和余弦定理求，再利用三角形面积公式求解.
双曲线的标准方程为，故，，.
（1） 若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于16，求点到另一个焦点的距离；
[答案] 由双曲线的定义得，又双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于16，假设点到另一个焦点的距离等于，则，解得或.又，，，所以点到另一个焦点的距离为10或22.
[答案] 将两边平方得，，
.
在中，由余弦定理得
，，
.
（2） 若是双曲线左支上的点，且，求的面积.
解题感悟
双曲线定义的应用：（1）求双曲线上一点到某一焦点的距离时，根据求解，注意验证（负数应该舍去，且所求距离不小于）；（2）解焦点三角形.
[2021江西南昌南铁一中高二期中] 已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线：与共焦点，点在双曲线上.
[答案] 由椭圆方程可知，，
，，，故双曲线的方程为.
（1） 求双曲线的方程；
[答案] 设点在双曲线的右支上，，
整理得，
.
（2） 已知点在双曲线上，且，求的面积.
1. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是( )
A. （-1，3） B.
C. D.
B
[解析] 依题意得，即.
2. 已知双曲线的方程为，点，在双曲线的右支上，线段经过双曲线的右焦点，，为另一焦点，则的周长为( )
A. B. C. D.
B
[解析] ，在双曲线的右支上，
，，
.
.
的周长为.
3. 焦点在轴上，，的双曲线的方程为___________________.
[解析] ，又焦点在轴上，双曲线的方程为.
4. 如图所示，已知定圆，定圆，动圆与定圆都外切，求动圆圆心的轨迹方程.
[答案] 圆，圆心为，半径. 圆，圆心为，半径.
设动圆的半径为，则，，
，
点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，且，，
故，
动圆圆心的轨迹方程为.
直观想象、逻辑推理、数学建模——双曲线在实际问题中的应用
已知三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图，，，且，假想敌舰艇在某处发出信号，处接收到信号的时间比处接收到信号的时间早（注：信号传播速度为），处舰艇保持静默.建立适当的平面直角坐标系，求假想敌舰所有可能出现的位置的轨迹方程.
[答案] 以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设假想敌舰的位置为，由题意可知，该曲线是以，为焦点，4为实轴长的双曲线的左支，即，，，
点的轨迹方程为.
素养探究：建立平面直角坐标系，设假想敌舰的位置为，渗透了直观想象的素养；根据的定值与的关系，判断点在双曲线上，比较与的大小，确定点在双曲线的左支上，渗透了数学建模、逻辑推理的素养.
如图是双曲线形拱桥，该拱桥的实轴长与虚轴长相等，现拱顶离水面，水面宽.若水面下降，求水面的宽度.（结果精确到）（参考数值，，）
[答案] 建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可设双曲线的方程为，则，
因为，，所以，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
解得，即，
当水面下降时，纵坐标，代入双曲线的方程可得，
.
故此时水面宽度为.
1. [2021北京房山高二期末] 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则( )
A. B. C. 2 D. 4
C
2. [2021北京海淀首都师大附中高二期中] 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于
( )
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
B
3. [2021山东德州高二期中] 已知双曲线的实轴长为2，焦点为(-4,0)，(4,0)则该双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
C
4. 已知点，为双曲线的左、右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的标准方程为( )
A. B.
C. D.
D
5. 在平面直角坐标系中，已知的顶点为，点在双曲线的右支上，则( )
A. B. C. D.
D
6. 已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则( )
A. B. C. D.
C
7. [2021天津南开附中高二月考] 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值范围是( )
A. (-1,3) B.
C. D.
A
8. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
D
9. [2021江苏淮安高中校协作体高二期中] 已知点为双曲线上的动点，点，点.若，则__________.
28或4
10. [2021辽宁锦州联合校高二期中] 已知双曲线的焦点为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，，则的标准方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 如图，设，则，，
由双曲线的定义可得，，
在和中，由余弦定理得
又与互补，
，
两式消去，，
可得，所以，，
所以双曲线的标准方程为.
11. [2021辽宁盘锦第二高级中学高二期中] 已知是双曲线上的点，是其左、右焦点，且，若的面积为9，则等于( )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 4
B
[解析] 由得，
由勾股定理得
，
由双曲线的定义得，
，，则的面积为，，.
12. 已知双曲线，直线过其左焦点，交双曲线的左支于，两点，且，为双曲线的右焦点，的周长为20，则的值为( )
A. 8 B. 9 C. 16 D. 20
B
[解析] 的周长，
，.
根据双曲线的定义知，，
，
，.
13. 已知两地相距，在地听到炮弹的爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹方程为_______________________________________.
[解析] 建立平面直角坐标系，使两点在轴上，且坐标原点与线段的中点重合，如图，
设爆炸点的坐标为，则，即，，又，，，即，
炮弹爆炸点的轨迹（双曲线的一支）方程为.
14. 已知椭圆与双曲线 有公共焦点，设是它们的一个交点.
[解析] 命题分析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、三角形面积的计算、基本不等式的运用以及运算求解能力.
答题要领 （1）找出的三边，利用余弦定理求角的余弦值，进而得正弦值，然后代入三角形面积公式求解.（2）根据（1）中的结论，利用基本不等式求解.
[答案] 如图所示，设.
因为，则，即.
由椭圆、双曲线的定义，得，（令），
所以，，
（1） 试用表示的面积；
所以
所以.
所以
.
（2） 当是常数时，求面积的最大值.
[答案] 当为常数时，
，
当且仅当时，取等号，
所以面积的最大值为.
解题感悟 双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时要注意整体代换思想的应用.(共47张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握双曲线的简单几何性质. 2.了解双曲线方程的简单应用. 1.直观想象——能够借助图形掌握双曲线的几何性质.
2.数学运算——会求双曲线的离心率和渐近线方程.
1.双曲线的简单几何性质：
标准方程
图形
标准方程
性质 范围 ①______________________
对称性 对称轴：②__________，对称中心（中心）：③__________
顶点 ④_______________________ ⑤________________________
轴长 实轴长=⑥____________，虚轴长=⑦__________
离心率
渐近线
续表
或
坐标轴
原点
2.等轴双曲线：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为⑨_______，离心率.
1.双曲线的焦点在哪个坐标轴上？
2.已知的离心率，则双曲线的渐近线方程是什么？
提示 在轴上.
提示 渐近线方程为.
双曲线中一些常用的结论
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于轴，轴对称.
3.与双曲线具有相同渐近线的方程可设为.
4.渐近线为的双曲线的方程可设为.
5.渐近线为的双曲线的方程可设为.
探究点一 双曲线的简单几何性质
例 求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标.
[答案] 把已知方程化成标准方程，所以，，，所以双曲线的实轴长，虚轴长，两个焦点的坐标分别为，，两个顶点的坐标分别为(-5,0)，(5,0).
解题感悟
根据双曲线的方程研究其性质的基本思路：（1）将双曲线的方程转化为标准形式；（2）确定双曲线的焦点位置，先弄清方程中的，所对应的值，再利用得到的值；（3）根据确定的，，的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标等.
求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长.
[答案] 将化为标准方程，即，所以，，，
因此顶点坐标分别为(-3,0)，，
焦点坐标分别为，，
实轴长，虚轴长.
探究点二 双曲线的离心率
例（1） 过双曲线的左焦点作轴的垂线，交双曲线于点为右焦点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 依题意可得，是直角三角形，，
所以，，
根据双曲线的定义可得，，
所以，则，故选D.
（2） 如果双曲线的右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异的点，那么双曲线离心率的取值范围是_____________.
[解析] 如图，
因为，，所以，因为点在双曲线的右支上且不在双曲线的顶点处，所以，所以.
故离心率的取值范围是.
解题感悟
（1）求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出，，再计算；二是依据条件建立，，的关系式，消去转化成离心率的方程求解或消去转化成含的方程，求出后利用求离心率.
（2）若求离心率e的取值范围，则应由题意寻求a,b,c的不等关系，由此得出关于的不等式，再进行求解.
已知分别是双曲线的左、右焦点，为上的一点.若是以为直角顶点且有一个内角为的三角形，则的离心率为( )
A. B. C. D. 2
B
[解析] 不妨设，在直角中，，，
由双曲线的定义得，.
探究点三 双曲线的渐近线
例（1） 已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 由题意可得，即，解得，即双曲线的渐近线方程为，故选B.
（2） 焦点为(0,6)，且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为___________________.
[解析] 由题意可设双曲线的方程为，焦距为，则，渐近线方程为，
的渐近线方程为，
，
又，
，
解得，，
双曲线的标准方程为.
解题感悟
求渐近线方程的两种方法：（1）当已知标准方程的焦点所在的坐标轴时，用公式法（焦点在轴上）或（焦点在轴上）求解；（2）把双曲线的标准方程右端的“1”换为“0”，即可得渐近线方程.
1.已知双曲线的方程为，则下列叙述正确的是( )
A. 焦点为 B. 渐近线方程为
C. 离心率为 D. 实轴长为
B
[解析] 由已知得，所以，，，所以该双曲线的焦点为，故A错误；渐近线方程为，故B正确；离心率，故C错误；实轴长，故D错误.
2. 一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程是___________________.
[解析] 由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为，
双曲线的渐近线方程为，
，又焦点为，
，
解得，
双曲线的标准方程为.
1. [2021辽宁大连高二期末] 已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，则炮弹爆炸点的轨迹是
( )
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 双曲线的一支 D. 抛物线
C
[解析] 设炮弹的爆炸点为点，由题意可得，所以炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支.
2. 在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为( )
A. B. C. D. 2
A
[解析] 由题意知，这条渐近线的斜率为，即，故.
3. 与双曲线有相同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程是___________________.
[解析] 依题意，设双曲线的方程为，将点(2,2)代入得，所以所求双曲线的标准方程为.
4. 已知双曲线的离心率为，且过点.
（1） 求双曲线的方程；
[答案] 由可得，又，所以，故双曲线C的方程可化为，将点代入双曲线的方程，解得，所以双曲线的方程为.
（2） 若直线与双曲线恒有两个不同的交点，，求的取值范围.
[答案] 联立直线与双曲线的方程得
，
由题意得，
解得且，
所以的取值范围为.
1. [2020江苏盐城东台中学高二段测] （多选题）下列关于双曲线的判断正确的是( )
A. 渐近线方程为 B. 焦点坐标为
C. 实轴长为 D. 顶点坐标为
BD
2. [2021山东新泰第一中学高二第二次质检] 经过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是( )
A. B.
C. D.
B
3. [2021北京平谷高二期末] 已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为，那么( )
A. 10 B. 15 C. 24 D. 225
B
4. [2021天津第二十中学高二期中] 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. 或 D.
A
5. （多选题）若双曲线C的一个焦点为，是双曲线上一点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 的离心率为
C. 焦点到渐近线的距离为3
D. 的最小值为2
AD
6. [2021北京平谷第五中学高二期中] 已知双曲线的左焦点为，右焦点为，点为双曲线右支上的一点，且，的周长为10，则双曲线的渐近线方程为
( )
A. B.
C. D.
A
7. [2021辽宁六校协作体高二期中] 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A. 或2 B. C. D. 2或
A
8. [2021北京第五十五中学高二月考] 已知双曲线的一条渐近线方程为，则______；离心率___________.
2
9. [2021北京房山高二期末] 已知曲线，给出下列四个命题：①曲线过坐标原点；
②若，则是圆，其半径为；
③若，则是椭圆，其焦点在轴上；
④若，则是双曲线，其渐近线方程为.
其中所有真命题的序号是_________.
③④
[解析] 将原点坐标(0,0)代入曲线的方程，显然不成立，故曲线C不过坐标原点，故①是假命题；
若，曲线的方程为，对应曲线是以原点为圆心，半径为的圆，故②是假命题；
若，则曲线表示长半轴长，短半轴长，焦点在x轴上的椭圆，故③是真命题；
若，曲线表示双曲线，渐近线方程为，即，故④是真命题.
10. [2021辽宁沈阳郊联体高二期中] （多选题）已知方程表示双曲线，则此时( )
A. 双曲线的离心率为
B. 双曲线的渐近线方程为
C. 双曲线的一个焦点坐标为
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为1
ABD
[解析] 因为方程表示双曲线，所以，解得且，所以，
所以双曲线的方程为，可得，，，所以双曲线的离心率，所以A正确；
双曲线的渐近线方程为，即，所以B正确；
因为双曲线的焦点在轴上，所以焦点坐标为和，所以C不正确；由点到直线的距离公式可得焦点到一条渐近线的距离为，所以D正确.
11. [2020山东聊城高二期末] 已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为双曲线的右焦点，其中，，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. C. D.
D
[解析] 取左焦点为，连接，如图所示，
由，
易知，由双曲线的定义知，
两式联立可得，则，，由双曲线的对称性知，
在中，，，
，即，即，
.
12. [2021山东日照五莲高二期中] 已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点若（为坐标原点），，则双曲线的渐近线方程为_________________.
[解析] 设，，
由，与相似得，即，
因为，所以，，由勾股定理得，
所以，即，，
所以双曲线的渐近线方程为.
13. [2021辽宁本溪重点高中高二月考] 已知分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线与圆的一个交点为，且双曲线的渐近线为，则__________.
[解析] 因为，所以圆，所以为圆的直径，
故，
又双曲线的渐近线为，则，且所以，
设，则，代入得，解得（负值舍去），所以.
