(共51张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
课标解读 课标要求 素养要求
1.逻辑推理—能够推导出抛物线的标准方程.
2.数学运算—会根据条件求抛物线的标准方程.
1.抛物线的定义：
把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离①_________________的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的②_________________.
相等
准线
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
③___________ ④___________
⑤______________
2.抛物线的标准方程：
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
⑥____________ ⑦_______________
⑧_____________
续表
1.平面内与一个定点和定直线的距离相等的点的轨迹是什么？
2.已知抛物线，则焦点到准线的距离是多少？
3.在左侧四个抛物线中，哪些可以看作是二次函数的图象？
提示 由已知经过点F，所以轨迹是过点F，且垂直于l的直线.
提示 由已知得，所以，根据的几何意义，焦点到准线的距离是4.
提示 第三个和第四个.
1.求抛物线的标准方程时需注意的两个问题
（1）把握开口方向与方程间的对应关系.根据抛物线的方程中一次式，来确定焦点位置，“，”表示焦点在轴或轴上，系数“”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上.
（2）当抛物线的类型没有确定时，可设方程为或，这样可以减少讨论情况的种数.
（1）抛物线上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
（2）的焦点坐标为，准线方程为.
2.与抛物线定义有关的常用结论
探究点一 抛物线的标准方程
例 求适合下列条件的抛物线的标准方程.
（1） 过点；
[答案] 设抛物线的标准方程为或，将点代入方程得或，所求抛物线的标准方程为或.
（2） 焦点在直线上
[答案] 当焦点在轴上时，令，由方程得，抛物线的焦点为，设抛物线方程为，则由得，所求抛物线方程为；当焦点在轴上时，同理可得.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
解题感悟
求抛物线标准方程的两种方法：（1）当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于的方程，求出的值，进而写出抛物线的标准方程.（2）当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为或，利用已知条件求出，的值，进而写出抛物线的标准方程.
根据下列条件，求抛物线的标准方程.
（1） 焦点到准线的距离是6；
[答案] 由已知得，因为焦点位置不确定，所以抛物线的标准方程为，，，.
（2） 准线方程为.
[答案] 因为抛物线的准线交轴于负半轴，且，所以，所以所求抛物线的标准方程为.
探究点二 抛物线的定义及应用
类型1 求抛物线上的点与焦点的距离
例1 已知是抛物线的焦点.
（1） 若，是该抛物线上的两点，，求线段的中点到轴的距离；
[答案] 由题意知抛物线的准线方程为.
，分别为，到准线的距离，（如图所示）.则线段 的中点到准线的距离 ， 线段 的中点到 轴的距离为 .
（2） 若是抛物线上一点，，求的值.
[答案] 因为，所以根据抛物线的定义可得，解得.
解题感悟
根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题.
类型2 求最值
例2 [2021四川江油一中高二期中] 已知直线为抛物线的准线，抛物线上的点到的距离为，点的坐标为，则的最小值是( )
A. B. 4 C. 2 D.
A
[解析] 思路分析 设抛物线的焦点为，则，利用抛物线的定义可得，当，，共线时，取得最小值，由此求得答案.
设抛物线的焦点为，则，准线方程为，连接，，由抛物线的定义知 ， ，当且仅当 ， ， 三点共线时，取“=”号， 的最小值为 .
解题感悟
在抛物线中求解与焦点有关的两点间的距离和的最小值问题时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
1. [2021北京房山高二期末] 设抛物线的焦点为，点在抛物线上，则抛物线的准线方程为 _______________； ______.
5
[解析] 因为抛物线的方程为，所以准线方程为，.
2. 已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点，
则的最小值为__________，此时点的坐标为__________.
(2,2)
[解析] 如图，作于（为准线），作于，则 ，
当且仅当 为 与抛物线的交点时，取等号，
.
此时 ，代入抛物线方程得 ，
点的坐标为(2,2).
探究点三 抛物线的实际应用
例 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米.
（1） 以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线的标准方程；
[答案] 根据题意可设该抛物线的标准方程为，
结合图象，可得点的坐标为，
又点在抛物线上，所以，解得，
所以该抛物线的标准方程为.
（2） 若行车道总宽度为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米.
[答案] 设车辆高为米，则，
故，将点的坐标代入方程，得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米.
解题感悟
求抛物线实际应用的五个步骤：（1）建立适当的坐标系;（2）设出合适的抛物线的标准方程;（3）通过计算求出抛物线的标准方程;（4）求出需要的量;（5）还原到实际问题中，从而解决实际问题.
1. [2020广东深圳高二期末] 如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水面下降了( )
A. B. C. D.
D
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，由点(2,-2)在抛物线上，得，所以抛物线方程为，当水面宽为时，设拱顶高于水面，
由点在抛物线上，得，故水面下降了.
2. 如图为一个抛物线形拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面的宽度为，则此时欲经过桥洞的一艘宽的货船，其船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过( )
D
A. B. C. D.
[解析] 根据题意，画出抛物线如图所示：
设宽度为时，与抛物线的交点分别为，，当宽度为时，与抛物线的交点为，，抛物线的标准方程为，由题意可知 ，则抛物线的方程为 ，故 .当宽度为 时，设 ，代入抛物线的方程可得 ，解得 ，
所以直线 与直线 的距离 ，即船体两侧的货物距离水面的最大高度应不超过 .
1. 抛物线的焦点坐标是( )
A. (0,2) B. (0,-2) C. (4,0) D. (-4,0)
A
[解析] 由抛物线的方程知，抛物线的焦点在轴的正半轴上，所以，，所以焦点坐标为(0,2).故选A.
2. 已知抛物线，若点在抛物线上，则点到焦点的距离为______.
4
[解析] 把点(2,-4)代入，得，即，从而抛物线的焦点坐标为(2,0)，故点A到焦点的距离为4.
3. 若抛物线上有一点，其横坐标为-9，它到焦点的距离为10，求点的坐标.
[答案] 由抛物线的方程，得其焦点坐标为，准线方程为.设点到准线的距离为，则，即，得，
故抛物线的方程为.由点在抛物线上，得，
故点的坐标为(-9,6)或(-9,-6).
1. [2021江苏连云港高二期中] 焦点为的抛物线的标准方程是
( )
A. B. C. D.
A
2. [2021北京延庆高二期中] 设抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为( )
A. B. 2 C. D.
C
3. [2021江西南昌十中高二期中] 若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于()
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
D
4. （多选题）已知抛物线，则下列说法中正确的是( )
A. 焦点在轴上
B. 焦点在轴上
C. 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D. 由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)
BD
5. [2021北京人大附中高二期中] 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则( )
A. B. C. 5 D.
C
6. [2021山东泰安高二期中] 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，为菱形的一条对角线，另一条对角线的长为2，且点，在抛物线上，则( )
A. 1 B. C. 2 D.
B
7. [2021北京丰台高二期末] 已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，点在准线上，且.若，，则的值为( )
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
B
8. [2021安徽淮南一中高二期中] 已知抛物线的焦点为，准线为，且过点(-3,2)，在抛物线上，若点，则的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
D
9. 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
（1） 抛物线的焦点是双曲线的左顶点；
[答案] 将双曲线的方程化为标准形式，可得其左顶点为(-3,0)，故可知抛物线的焦点为(-3,0)，由此设抛物线的标准方程为，则，得，故抛物线的标准方程为.
[答案] 由题意设抛物线的标准方程为，因为在抛物线上，所以，由，得，解得或9，所以抛物线的标准方程为或.
（2） 抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，.
10. [2021湖南长沙长郡中学高二期中] 苏州市的“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是“东方之门”的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线的顶端到连桥的距离为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的标准方程为 ，
由题意设 ， ，
解得 ， ，所以此拋物线的顶端 到连桥 的距离为 .
11. （多选题）已知抛物线的焦点为，圆与抛物线交于，两点，点为劣弧上不同于，的一个动点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则下列四个命题中正确的是( )
A. 点的纵坐标的取值范围是
B. 等于点到抛物线准线的距离
C. 圆的圆心到抛物线准线的距离为2
D. 周长的取值范围是(8,10)
BCD
[解析] 圆的圆心为，半径，与轴正半轴的交点为(0,5).
抛物线的焦点为，准线方程为，
联立圆的方程和抛物线的方程可得，两点的纵坐标均为3，所以点的纵坐标，故A中命题错误；
由抛物线的定义可得等于点到抛物线准线的距离，故B中命题正确；
圆的圆心到抛物线准线的距离为2，故C中命题正确；
的周长为，故D中命题正确.
12. [2021江西南昌江西师大附中高二期中] 设为抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若是三角形的重心，则_______.
36
[解析] 抛物线的焦点为，准线方程为，
设，，，
由是三角形的重心得，
所以，
由抛物线的定义可知，.
13. 某抛物线型拱桥水面的宽度，拱顶离水面，现有一船宽，船在水面上高.
命题分析本题考查了抛物线方程的求法，抛物线中在实际问题的应用.
答题要领 （1）设抛物线为 ，将(10,-4)代入即可求得 ；（2） 将 代入，求得对应的纵坐标，再结合船高与限高即可判断.
（1） 建立适当的平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线的标准方程；
[答案] 以拱顶为原点，拱高所在直线为轴（向上）建立如图所示的平面直角坐标系.设拱桥所在抛物线的方程为 ，因为点(10,-4)在抛物线上，所以 ，解得 ，所以拱桥所在抛物线的标准方程为 .
（2） 试问：这条船能否从桥下通过？请说明理由.
[答案] 当时，，所以此时限高为，所以能通过.
解题感悟 本题解题关键在于合理建立模型，根据待定系数法求解.(共51张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握抛物线的简单几何性质及其应用. 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题. 1.数学抽象—能够抽象出抛物线的几何性质.
2.数学建模—能够对抛物线的几何性质进行简单应用.
抛物线的简单几何性质（）：
标准方程
图形
续表
标准方程
范围 ①_________________ ②_____________
对称轴 ③___________
顶点 ④__________
离心率 ⑤____________
轴
(0,0)
1.在方程中，，，说明抛物线有什么特征？
2.若抛物线的对称轴是轴，顶点是坐标原点，如何设抛物线的方程？如果对称轴是坐标轴，顶点是坐标原点呢？
提示 当时，随值增大而增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延展。
提示 可以设抛物线的方程为.由题意可设抛物线的方程为或.
1.把握三个要点确定抛物线的简单几何性质
（1）开口：由标准方程看图象开口，关键是看二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.
（2）定值：焦点到准线的距离为；过焦点且垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为；离心率恒等于1.
2.若是抛物线的任意一条焦点弦，且，，则：（1），；（2）；（3），.
探究点一 抛物线几何性质的应用
例 已知抛物线的对称轴是轴，直线过且垂直于轴，与抛物线交于，两点，为坐标原点，若的面积等于6.
[答案] 由题意，设抛物线方程为，则焦点为，直线，所以，两点坐标分别为，，所以，因为的面积为8，所以，所以，所以抛物线的标准方程为.
（2） 求抛物线的准线方程及离心率.
[答案] 由（1）知，当抛物线的方程为时，准线方程为；当抛物线的方程为时，准线方程为.离心率.
（1） 求抛物线的标准方程；
解题感悟
求抛物线的几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能求出抛物线的标准方程，则其几何性质问题就会迎刃而解.
如图，已知边长为2的等边三角形，为坐标原点，轴.
[答案] 如图，
设轴于，则由题意得，.设抛物线的方程为，则，
.抛物线的方程为.
（1） 求以为顶点且过，的抛物线的方程；
（2） 求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率.
[答案] 由（1）知，，
抛物线的准线方程为，
焦点坐标为，离心率.
探究点二 与抛物线焦点有关的线段的长度问题
例 已知点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹是曲线.
（1） 求曲线的方程；
[答案] 由题意可知点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，设方程为，则，
曲线的方程为.
（2） 过点，且斜率为1的直线与曲线交于，两点，求线段的长.
[答案] 由题意得直线的方程为，
联立得消去得
设，，则，
则由抛物线的定义可得，，
.
解题感悟
过焦点的弦长的求解方法：设过抛物线的焦点弦的端点为，，然后利用弦所在直线的方程与抛物线的方程联立、消元，由根与系数的关系求出，则.
[2021黑龙江哈尔滨第六中学高二月考] 已知点是抛物线上的点，为抛物线的焦点，且，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，.
（1） 求抛物线的方程；
[答案] 由题意得，抛物线的方程为.
（2） 若，求直线的斜率.
[答案] 由（1）知抛物线的焦点为，若直线的斜率不存在，则，不符合题意；若直线l的斜率存在，则设直线的方程为，得，
设，，则， ，解得 或 .
综上，直线 的斜率为1或-1.
探究点三 抛物线性质的综合应用
例 已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且，当点的横坐标为3时，为正三角形.
[答案] 由题意知，设，则线段的中点为.
因为，所以由抛物线的定义知，解得或（舍去）.
由题意得，解得，所以抛物线的方程为.
（1） 求的方程；
[答案] 证明：由（1）知，
设，
由得，所以则.
设直线和抛物线相切，将代入得，此方程只有1个根，
（2） 延长交抛物线于点，过点作抛物线的切线，求证：.
所以.
因为，，三点共线，所以，
化简得，解得或.
因为时，点与点重合，所以舍去，所以，所以.
解题感悟
在抛物线的综合问题中，经常遇到证明平行、垂直等问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、参数法等，其关键是代换和转化.
设抛物线的焦点为；直线经过且与交于、两点.
[答案] 设，.由题意得，将代入得，所以直线的方程为.
将直线的方程代入得，，
所以，
故
，解得.
（1） 若，求的值；
（2） 设为坐标原点，直线与Γ的准线交于点，求证：直线平行于轴.
[答案] 证明：抛物线的准线方程为，
设，由直线的方程，
，
由（1）知，即，所以，故直线BC平行于轴.
1. [2021北京丰台高二期中] 抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
B
2. 抛物线的通径为线段，则线段的长是( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 1
C
[解析] 抛物线的通径长为.故选C.
3. 已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.若，求线段的中点到准线的距离.
[解析] 设，由抛物线的定义知，所以，故线段AB的中点的横坐标是3，
又准线方程是，
所以到准线的距离为.
直观想象、数学运算——解决与抛物线有关的距离最值问题
求抛物线上的点到直线的最小距离.
[答案] 解法一：如图，
设与直线平行的抛物线的切线方程为，由消去得，
由，得，
所以最小距离为.
解法二：设为抛物线上的点，则点到直线的距离
，
所以当时，有最小值.
素养探究：解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，到焦点的距离与到准线的距离进行转化，数形结合，利用几何意义求解，渗透了直观想象的素养；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，再进行求解，渗透了数学运算的素养.
已知抛物线的焦点为，为该抛物线在第一象限内的一个动点.
（1） 当时，求点的坐标；
[答案] 由题意可设，
因为，所以结合抛物线的定义得，所以（负值舍去），所以点的坐标为(2,1).
（2） 求点到直线的距离的最小值.
[答案] 设点的坐标为，则点到直线的距离为.
因为，
所以当时，取得最小值9，
故点到直线的距离的最小值为.
1. [2021北京朝阳高二期中] 直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同的两点，.若，则弦的长是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
A
2. [2021北京丰台高二期中] 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则( )
A. B. 2 C. D. 4
D
3. [2021北京第五十五中学高二月考] 已知抛物线经过点，若点到该抛物线焦点的距离为3，则( )
A. 2 B. C. 4 D.
D
4. 已知抛物线为抛物线的焦点，为坐标原点，，为抛物线上的两点，线段的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
5. 已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于，两点，，点为的准线上一点，则的面积为( )
A. 18 B. 24 C. 36 D. 48
C
6. 如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点.若，且，则该抛物线的方程为
( )
A. B. C. D.
C
7. 已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，的平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则______.
4
8. （多选题）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则( )
A. 的准线方程为
B. 点的坐标为
C.
D. 三角形的面积为（为坐标原点）
ACD
[解析] 如图，不妨设点位于第一象限，
设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.
由题意可得抛物线的准线方程为，
点的坐标为，则，故A正确，B错误；
在直角梯形中，中位线的长为，
由抛物线的定义得，结合题意，有，故，，，故C、D正确.
9. [2021山东济宁高二期末] 已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若，则当取最大值时( )
A. B. 1 C. D. 2
B
[解析] 因为点为该抛物线上的动点，所以设点的坐标为，由题意知，抛物线的准线方程为，因此，令，则 ，当 ，即 时， 有最大值，最大值为2，此时 .
10. （多选题）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的有( )
A. 点的坐标为
B. 若直线过点，则
C. 若，则的最小值为
D. 若，则线段的中点到轴的距离为
BCD
[解析] 易知点的坐标为，故A中结论错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，故B中结论正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通径的长，为，故C中结论正确；
，，，垂足分别为，，，所以，，
所以，所以，
所以线段的中点到轴的距离为，故D中结论正确.
11. 已知直线与抛物线相交于、两点，为的焦点.若，则( )
A. B. C. D.
D
[解析] 设的坐标分别为、，
由消去得，，.
由抛物线的定义得，，
，，代入得 ， 或 （舍去）， ，
， ，
， .
12. 过点的抛物线的对称轴是轴，顶点在坐标原点，直线交抛物线于，（在的上方）两点.
（1） 求抛物线的标准方程；
[答案] 由已知可设抛物线方程为，把点代入，
得，
解得，所以抛物线的方程为.
（2） 试问：在抛物线这段曲线上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出的最大面积；若不存在，请说明理由.
[答案] 如图，由 得 ，设 ， ，则 ， ， ，所以 ， ，所以 .
设为抛物线这段曲线上一点，为点到直线的距离，
则 ，因为，所以当时，，
所以，
当时，，即，所以存在点满足题意，此时的面积最大，为.
