(共56张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
课标解读 课标要求 素养要求
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律. 1.直观想象——能够直观想象出空间图形.
2.数学运算——能够对空间向量进行运算.
要点一 空间向量的有关概念
1.空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的①_____________________.
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
长度或模
2.零向量：长度为0或者起点和终点重合的向量，记为.
3.单位向量：模为②______的向量叫做单位向量.
1
4.相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，叫做的相反向量，记为
5.平行（共线）向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做③_______________________________.
6.相等向量：方向相同且模相等的向量
共线向量或平行向量
要点二 空间向量的加法、减法、数乘运算及运算律
1.空间向量的加法、减法运算：
类似于平面向量，定义空间向量的加法、减法运算：
（1）④______________________;
（2） ⑤______________________.
2.空间向量的数乘运算：
与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作，其长度和方向规定如下：
（1） .
（2）当时，与向量方向相同；当时，与向量方向相反；当=0时，.
3.空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）:
交换律：;
结合律：;
分配律：.
要点三 共线向量定理、方向向量、共面向量定理
1.共线向量定理：
对任意两个空间向量的充要条件是存在实数,使⑥_______________________.
2.方向向量：
在直线上取非零向量，我们把与向量平行的非零向为直线的方向向量，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
3. 共面向量定理：
（1）共面向量的定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.
（2）三个空间向量共面的充要件：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使⑦____________________________.
1. 在如图所示的正方体中：
（1）的相反向量有哪些？
（2）的相等向量有哪些？
提示（1）.
（2）.
2.平行向量所在的直线一定平行吗？
提示.
提示 不一定，也可能重合.
3.空间向量的加法、减法运算可类比平面向量的加法、减法运算，指出等于什么？
4.实数与向量可以相乘，是否也可以相加、减？
提示 实数与向量不能相加、减，如均没有意义.
5. 空间中任意两个向量都是共面向量这个结论是否正确？
提示 正确，根据向量相等的定义可以把向量进行平移，空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内成为共面向量.
1.空间向量的加法运算的小技巧
（1）首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即.
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即
2.空间中任意两个向量是共面的,但空间中任意三个向量就不一定共面了.
3.有限个向量求和,交换相加向量的顺序,其和不变.
探究点一 空间向量的概念
1. 在下列命题中：①若向量共线,则向量所在的直线一定平行;②若向量所在的直线是异面直线,则向量一定不共面;③若向量两两共面,则向量一定也共面.其中真命题的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A
[解析] 根据两个向量共线的定义知,两个向量共线有可能两个向量所在的直线重合,所以①是假命题;
两个向量可以平移到一个平面内,所以②是假命题;
若向量两两共面,则这三个向量有可能不共面,如墙角,所以③是假命题.故选A.
2. 给出下列命题：①零向量没有确定的方向;②在正方体中,;③若向量与向量的模相等,则向量,的方向相同或相反;④在四边形中,必有.其中真命题的序号是_________.
①②
[解析] 易知①是真命题;
因为与的大小相等,方向相反,所以所以②是真命题;
,不能确定与的方向,所以③是假命题;
只有当四边形是平行四边形时,才有,所以④是假命题.综上可知,真命题为①②.
解题感悟
空间中,零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由向量的模和方向确定的,因此解决空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点.
探究点二 空间向量的线性运算
类型1 空间向量的线性运算
例1 在四面体中,点在上,且为的中点,则( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 在四面体中,点在上,且为的中点,
所以,故选B.
类型2 利用空间向量的线性运算求参数
例2 [2021天津武清天和城实验中学月考] 如图,在正四面体中,分别为的中点,是线段上一点,且,若,则的值为__________.
[解析]
所以,
所以.
解题感悟
向量的加法、减法和数乘运算是表示向量的前提,表示向量时要注意选定的向量,明确转化的目标.
1. [2021山东淄博高二期末] 如图所示,在正方体中,点是侧面的中心,若则
( )
A. 1 B. C. 2 D.
C
[解析] ,故,则.
2. 在矩形中,为平面外一点,分别为上的点,且,则_________________________.
[解析] 因为,所以
所以
.
探究点三 空间向量的共面问题
例 如图所示,已知矩形和矩形所在的平面互相垂直,点分别在对角线上,且.求证：向量共面.
[答案] 证明 因为点在上,且,所以.同理可得.又向量与不共线,所以根据向量共面的充要条件可知向量共面.
解题感悟
（1）证明或判断向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可以直接利用定义,通过线面平行或直线在平面内进行证明.（2）向量共面,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时,向量所在的直线才共面.
1. 已知,,三点不共线,点是平面外的任意一点,若点分别满足下列关系：
（1）;
（2）.
试判断点是否与点,,共面.
[答案] （1）由题意知,
即.根据共面向量定理的推论可知,点与点,,共面.
（2）设,则,
,
由题意可知均为非零向量,
满足显然此方程组无解,故点与点,,不共面.
1. [2021山东肥城高二期中] 如图,在平行六面体,点是的中点,则下列结论中错误的是( )
B
A. B.
C. D.
2. 在下列条件中,使点与点,,一定共面的是( )
A.
B.
C.
D.
C
3. 已知是正六边形外一点,为该正六边形的中心,则_____________.
[解析]
.
4. 如图,在正方体中,点是上底面对角线的中点,若则______.
2
[解析] .
直观想象、数学运算——向量在空间几何体中的应用
1. 如图,在平面四边形中,,则有.
图
（1） 如图,由平面拓展到空间,写出关于空间四边形类似的结论,并加以证明;
图
[答案] 在空间四边形中,,则有.
证明：
.
（2） 如图,在长方体中,分别为的中点,利用（1）中的结论表示.
图
[答案] 由（1）中的结论可得.
素养探究：（1）由平面类比到空间,结合条件可得,渗透了直观想象的素养;利用向量的线性运算进行证明,渗透了数学运算的素养.（2）根据（1）中的结论代入数据计算可得结果,渗透了数学运算的素养.
1. 已知,,三点不共线,点是平面外的任意一点,若点满足.
（1） 判断向量是否共面;
[答案] ,
向量共面.
（2） 判断点是否在平面内.
[答案] 由（1）可知向量共面且过同一点,,,C四点共面,故点在平面内.
1. 设空间中四点满足（其中）,则( )
A. 点一定在直线上
B. 点一定不在直线上
C. 点不一定在直线上
D. 以上都不对
A
2. 若是空间中任意的三个向量,,则下列关系式中不成立的是
( )
A. B.
C. D.
D
3. [2021广西南宁三中高二月考] 在四面体中,空间中一点满足,若点,,,共面,则( )
A. B. C. D.
A
4. （多选题）已知平行六面体,则下列关系式中正确的有( )
A.
B.
C.
D.
AC
5. 如图,在四棱柱的上底面中,,则下列向量相等的是
( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
D
6. 在空间四边形中,连接,若是正三角形,且为其重心,则的化简结果是( )
A. B. C. D.
C
7. [2021山东济宁高二期末] 在空间四边形中,且则( )
A. B.
C. D.
C
[解析]
.
8. [2021山东滨州三中高二月考] （多选题）如图所示,是四面体的棱的中点,点在线段上,点在线段上,且,设,则下列等式成立的是( )
A. B.
C. D.
BD
9. 设是空间中两个不共线的向量,已知且,,三点共线,则_______.
-8
10. 如图,在平行六面体中,为的延长线上一点,且则( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 取的中点,连接则易知所以四边形是平行四边形,所以所以.又 ,故选B.
11. （多选题）如图,在正方体中,点在上,且,点在体对角线上,且,则下列说法正确的是
( )
AD
A. ,三点共线
B. ,,,四点共面
C. 三点共线
D. ,四点共面
[解析] 设
因为
所以
所以.因为,所以C中说法错误;
因为且所以故,三点共线,所以A中说法正确;
因为直线与直线外的一点确定一个平面,所以D中说法正确;
由题图可知B中说法错误.综上,A、D中说法正确.
12. [2021山东曲阜一中高二检测] 已知是三个不共面的非零向量,且,若向量共面,则______.
1
[解析] 因为向量共面,所以存在实数,使得,
所以
即,
则解得(共59张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解空间向量的夹角、数量积的概念. 2.掌握空间向量的数量积的性质、运算律及计算方法. 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 4.能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直,夹角、长度等问题. 1.数学运算——能够对空间向量的夹角及长度进行运算.
2.逻辑推理——能够通过推理,判断垂直等问题.
要点一 夹角与垂直的概念
1.定义:已知两个非零向量在空间任取一点,作,则叫傲向量的夹角,记作.
⒉范围:①______________________.特别地,当时,向量同向共线;当时,向量反向共线,所以若,则或;当②__________________,时,向量互相垂直,记作.
要点二 空间向量的数量积及其运算律
1.空间向量的数量积:
（1）定义:已知两个非零向量,则叫做的数量积,记作,即.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
（2）常用结论（为非零向量）:
（i）③_________________________;
（ii）.
（3）空间向量的数量积满足如下的运算律:
（ i ）；（ii）④__________________________（交换律）; （iii）（分配律）.
要点三 空间向量的投影
1.投影向量:
如图（1） ,在空间,向量向向量投影,先将它们平移到同一个平面内,利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量,,向量称为向量在向量上的⑤_____________________.如图（2） ,也可以将向量向直线投影.
投影向量
如图（3） ,向量向平面投影,就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线,垂足分别为,,得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量所在⑥_________________________________.
直线与平面所成的角
2.向量:在平面的投影向量
1.在三棱锥中,向量和的夹角是吗
提示 不是,是的补角.
2.“"是向量吗 它的最大值和最小值是什么
提示 不是向量,是数.它的最大值是,最小值是.
3.若,则,这种说法正确吗
提示 不正确,应为若,则.
4.是向量的单位向量，可以省去吗？
提示 不能,因为投影向量是向量,不是数,所以不能省去.
1.两个向量的数量积是数,而不是向量,它可以是正数、负数或零.
2.向量数量积的运算不满足作商和乘法的结合律、消去律,即都不成立.
探究点一 空间向量的数量积
例 （多选题）如图,正方体的棱长为2,体对角线和相交于点,则( )
A. B.
C. D.
AC
思路分析 利用空间向量的数量积逐项验证即可.
[解析] 在正方体中,,
且,故A正确;
故B错误;
,故C正确;
故D错误.综上,A、C正确.
解题感悟
求空间向量数量积的步骤：
（1）将各个向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;
（2）利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
（3）代入求解.
1. 已知三棱锥的棱长均为1,且是的中点,则
( )
A. B. C. D.
D
[解析] 因为三棱锥的棱长均为1,所以又是的中点,所以,故
.
2. 已知是棱长为2的正方体内切球的一条直径,则______.
2
[解析] 因为正方体的棱长为2,所以其内切球的半径.
又球心一定在该正方体的体对角线的中点处,且体对角线长为,
所以设该正方体的内切球的球心为,则,
易知
所以
=3+0-1=2.
探究点二 空间向量数量积的应用
类型1 求夹角
例1 如图,在空间四边形中,,求异面直线与所成角的余弦值.
[答案] ,
,
异面直线与所成角的余弦值为.
解题感悟
求两个空间向量,夹角的方法类同于平面内两个向量夹角的求法,利用公式在具体的几何体中求两个向量的夹角时,可把其中一个向量平移,使其起点与另一个向量的起点重合,将该问题转化为求平面内的向量夹角的问题.
类型2 求距离
例2 如图,已知平面平面平面,且,点与点在平面的同侧,若,求,两点间的距离.
[答案] 因为平面平面,
所以,又,
所以与的夹角为.
因为,
所以
所以,即,两点间的距离为.
解题感悟
利用空间向量的数量积与空间向量的模的关系,常把空间中两点之间的距离问题转化为空间向量模的大小问题.
1. 如图,在平行六面体中,与的夹角都为.求：
（1） 的长;
[答案] 设
所以
因为所以在平行四边形中
所以
=11,
所以
故的长为.
（2） 异面直线与所成角的余弦值.
[答案] 由可得,所以.
由可得
=1+1+4-1-2+2=5,
所以
所以
.
探究点三 投影向量
例 在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量树的高度,如图所示,测得.求向量在向量上的投影向量.
[答案] 根据投影向量的定义可知,向量在向量上的投影向量为.
解题感悟
根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为.
如图,已知四棱柱的底面是矩形,为棱的中点,则_________;在上的投影向量是_______.
[解析] 由题图可知所以
,
,
所以在上的投影向量是.
1. 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于,点,分别是,的中点,则的值为( )
A. B. C. D.
C
2. [2021北京中关村中学高二期中] 如图,在长方体中,设则等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
A
3. 如图,已知平面,则向量在上的投影向量等于_____________.
[解析] 因为,所以向量在上的投影向量为.
4. 如图,在三棱柱中,分别是上的点,且设
（1） 试用向量表示向量;
[答案]
.
[答案] ,
,
即.
（2） 若求的长.
1. （多选题）已知四边形ABCD为矩形,平面,连接,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
BD
2. [2021北京海淀高二期末] 已知四面体的棱长都是2,点是的中点,则( )
A. 1 B. -1 C. D.
A
3. [2020四川雅安中学高二月考] 若空间四边形的四个面均为等边三角形,则的值为( )
A. B. C. D. 0
D
4. （多选题）设为空间中的任意两个非零向量,则下列各式正确的是
( )
A. B.
C. D.
AD
5. 已知在平行六面体中,,则的长为( )
A. B. C. D.
D
6. 已知在空间四边形中,,且,则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
A
7. 已知在棱长为1的正方体中,上底面的中心为则的值为( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
C
8. 如图所示,在正方体中,为的中点,则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
D
[解析] 设正方体的棱长为则,
向量在向量上的投影向量是.
9. （多选题）在正方体中,下列结论正确的有
( )
A. 四边形的面积为
B. 与的夹角为
C.
D.
ACD
10. 已知在平行六面体中,底面是边长为1的正方形,则______;___________.
3
11. 已知是正方体的内切球的一条直径,点在正方体的表面上运动,正方体的棱长是2,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 设正方体的内切球的球心为,则,
为该正方体的内切球的一条直径,
.又在正方体的表面上运动,
当为正方体的顶点时,最大,最大值为;当为内切球与正方体的切点时,最小,最小值为1,
即的取值范围为
12. 在平行四边形中,,若分别是上的点,且满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
D
[解析] 设,
,由二次函数的性质易知.
13. 如图,四个棱长均为1的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面其余的八个点,则集合中的元素个数为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
A
[解析] 由题图可知,则
因为所以又正方体的棱长均为1,所以故集合中的元素个数为1,故选A.
14. 已知在矩形中,,将矩形沿对角线折起,使平面与平面垂直,则( )
A. B. C. D. 2
A
[解析] 过点,分别向作垂线,垂足分别为,
易得.因为
所以
所以.
15. 如图,在和中,是的中点,,若,则与夹角的余弦值等于__________.
[解析] 由题意可得.
可得
,
即,
.
16. [2021山东济宁实验中学高二期中] 如图,在平行六面体中,.
命题分析 本题考查了利用空间向量求线段的长度,考查了利用空间向量证明线线垂直,渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
答题要领 （1）先设得到再平方即可得到答案.（2）根据第一问得到,计算,从而得到.
（1） 求的长;
[答案] 设则.
因为所以
所以
=1+1+1+1-1-1=2,
故.
（2） 求证：.
[答案] 证明：由（1）可知,
所以
即.
解题感悟
长方体、四面体、平行六面体等是研究空间向量的常见几何体,要熟悉其结构特点,善于挖掘隐含的垂直或特殊角等条件.
