(共45张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
课标解读 课标要求 素养要求
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性. 2.会用空间直角坐标系刻画点的位置. 3.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式. 4.掌握空间向量的坐标表示. 1.数学运算——会求空间中点的坐标.
2.直观想象——会建立空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
要点一 空间直角坐标系
1.定义：在空间选定一点和一个单位正交基底.以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、 轴、 轴，它们都叫做①__________________这时我们就建立了一个空间直角叫做原点，都叫做坐标向量，
坐标轴
通过每两条坐标轴的平面叫做②___________，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分.
2.画法：画空间直角坐标系时，一般使（或）,
坐标平面
.
3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为③___________________________.本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
右手直角坐标系
要点二空间中点的坐标表示
在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使④______________.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组,叫做点在空间直角坐标系中的坐标，记作⑤___________，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标.
1.下图中的空间直角坐标系有什么特征？
提示轴，轴，轴两两相交,互相垂直，且有相同的单位长度.
2.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点是否与有序实数组之间存在唯一的对应关系？
提示 是,在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点,其坐标是唯一的有序实数组；反之，对任意一个有序实数组,空间中也有唯一的点与之对应.
在空间直角坐标系中,点,则：
点关于原点的对称点是;
点关于横轴（轴）的对称点是;
点关于纵轴（轴）的对称点是;
点关于竖轴（轴）的对称点是;
点关于坐标平面的对称点是
点关于坐标平面的对称点是
点关于坐标平面的对称点是
探究点一 空间中点的坐标
1. 画一个正方体以为坐标原点,棱所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,取正方体的棱长为单位长度.
[答案] 由题意可知,
（2） 求棱的中点的坐标;
[答案] 由（1）可知棱的中点的坐标为.
（3） 求四边形对角线的交点的坐标.
[答案] 由（1）可知四边形对角线的交点的坐标为.
（1） 求各顶点的坐标;
2. 如图,在棱长为1的正方体中,在线段上,且是线段的中点,求点的坐标.
[答案] 如图,过点作于点,连接,取的中点,连接.
由可知.
易知所以与轴平行,点的横坐标、
纵坐标与点相同,又点的竖坐标为所以.
由为的中点可知.易知与轴平行,所以所以.
解题感悟
求点的坐标的方法：先找到点在平面上的射影,过点向轴作垂线,确定垂足,其中,,分别为点的横坐标、纵坐标、竖坐标的绝对值,再按→→→确定相应坐标的正负,与坐标轴同向为正,反向为负,即可得到点的坐标.
探究点二 空间向量的坐标
例 如图,在直三棱柱中,分别为的中点,试建立恰当的空间直角坐标系,求：
点在轴上,且,
点的坐标为(0,1,0).
同理可得点的坐标为(0,0,2).
点在轴,轴,轴上的射影分别为点的坐标为(0,1,2).
同理可得点的坐标为,点的坐标为(1,0,1).
（1） 点的坐标;
[答案] 由题意可设以即为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图所示.
（2） 向量的坐标.
[答案]
的坐标为（1,-1,1）.
又
的坐标为(1,-1,2).
的坐标为(-1,1,-2).
变式本例条件不变,若点在平面内的投影为,则_____.
[解析] 因为,所以在平面内的投影为,
则.
解题感悟
求空间中的点及空间向量坐标的一般步骤:（1）建系：根据图形特征建立空间直角坐标系;（2）运算：找出点在轴、轴、轴上的射影的坐标,利用向量的加法、减法及数乘运算表示向量;（3）定结果：根据射影的坐标写出点的坐标,将所求向量用已知的基底表示出来,确定坐标.
已知正方体的棱长为分别为棱的中点,建立空间直角坐标系,如图所示.
[答案] 设轴,轴,轴正方向上的单位向量分别为.
因为正方体的棱长为2,所以.易得
（1） 写出各顶点的坐标;
[答案] 因为分别为棱的中点,
所以,
（2） 写出向量的坐标.
探究点三 空间中点的对称问题
例 （1） 点关于平面的对称点的坐标为____________.
(1,2,1)
（2） [2021山东临沂高二期末] 在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点的坐标是_____________.
(1,1,-1)
解题感悟
求空间中对称点的方法：空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,只有掌握对称点的变化规律,才能准确求解.对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
在空间直角坐标系中,已知点.
（1） 求点关于轴对称的点的坐标;
[答案] 因为点关于轴对称后,它的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,所以点关于轴对称的点的坐标为(-2,-1,-4).
[答案] 因为点关于平面对称后,它的横坐标和纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点关于平面对称的点的坐标为(-2,1,-4).
（2） 求点关于平面对称的点的坐标;
（3） 求点关于点对称的点的坐标.
[答案] 设点关于点对称的点为,则点为线段的中点,
由中点坐标公式可得,所以的坐标为(6,-3,-12).
1. 在空间直角坐标系中,点与点的位置关系是
( )
A. 关于轴对称 B. 关于平面对称
C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对
A
2. 空间中两点,的坐标分别为,则,两点的位置关系是( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称
C. 关于轴对称 D. 关于原点对称
B
3. 如图所示,在三棱锥中,两两垂直,分别为的中点,建立空间直角坐标系,则线段的中点的坐标为_______________.
[解析] 令轴,轴,轴正方向上的单位向量分别为,
因为
,
所以点的坐标为.
4. 已知是空间的一个基底,是空间的另外一个基底,若一个向量在基底下的坐标为(1,2,3),求向量在基底下的坐标.
[答案] 设向量在基底下的坐标为,
则,
所以解得故在基底下的坐标为.
1. 已知向量在基底下的坐标为(8,6,-4),其中,则向量在基底下的坐标为( )
A. (4,14,2) B. (10,12,14) C. (14,10,12) D. (4,2,3)
A
2. 正方体的棱长为1,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则向量的坐标为
( )
A. B.
C. D.
C
3. 在空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为
( )
A. (3,-1,5) B. (-3,-1,5) C. (3,-1,-5) D. (-3,1,-5)
A
4. 在空间直角坐标系中,点和点的位置关系是
( )
A. 关于轴对称 B. 关于平面对称
C. 关于坐标原点对称 D. 以上都不对
C
5. 如图所示,正方体的棱长为1,点在上,,则的坐标为( )
A. B.
C. D.
D
6. 若点关于平面及轴对称的点的坐标分别是,则与的和为( )
A. 7 B. -7 C. -1 D. 1
D
7. 在空间直角坐标系中,点在平面上的射影为点,则点关于原点对称的点的坐标是____________.
(2,0,3)
8. 已知为单位正交基底,且,则向量的坐标是_____________.
(-5,7,7)
9. （多选题）下列关于空间直角坐标系中的一点的说法正确的有( )
A. 线段的中点的坐标为
B. 点关于轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3)
C. 点关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3)
D. 点关于平面对称的点的坐标为(1,2,-3)
AD
[解析] 由题意可知线段的中点的坐标为,所以A中说法正确;点关于轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),所以B中说法错误;点关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),所以C中说法错误;点关于平面对称的点的坐标为(1,2,-3),所以D中说法正确.故选AD.
10. 如图,在长方体中,分别为棱的中点,以为原点,为单位正交基底,并用表示,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为_________________.
[解析] 由已知得,
,
所以,
所以的坐标为.
11. 已知在长方体中,点是的中点,点是的中点,以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
（1） 写出点的坐标;
[答案] 为坐标原点,,
由得,
点是的中点,点是的中点,
.
（2） 求线段的长.
[答案] 由(1)可知所以
即线段的长为.
命题分析本题主要考查了空间向量的坐标表示.
答题要领（1）根据基底、长方体的长,宽,高以及中点坐标公式,写出点的坐标.（2）根据勾股定理求解即可.
解题感悟
用坐标表示空间向量的步骤：（1）观察图形,找出基底;（2）用基底表示向量;（3）确定向量的坐标.(共47张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课标解读 课标要求 素养要求
1.掌握空间向量的线性运算和数量积的坐标表示. 2.借助空间向量运算的坐标表示,探索并得出空间两点间的距离公式. 3.能用空间向量的坐标运算解决平行、垂直、夹角、长度等问题. 1.逻辑推理——能够推理出空间向量垂直与平行的坐标表示.
2.数学运算——会用空间向量的坐标运算解决立体几何问题.
要点一 空间向量运算的坐标表示
设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：
运算 坐标表示
加法
减法
数乘
数量积
平行
垂直
模
夹角公式
要点二 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
1.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：
设，当时，
2.空间向量的坐标及两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，设，则
（1）;
（2）③_____________________________________________.
1.向量与表示的只是简单向量与吗？
提示 不是,可以是向量 与 的表达式,如 等.
2. ,一定能表示成
提示 不一定，当且仅当 均不为0时， 成立.
3.在空间直角坐标系中,向量的坐标与终点的坐标相同吗？
提示 不一定相同,只有当 为坐标原点时， 的坐标才与终点的坐标相同.
1.与向量坐标有关的重要结论
（1）向量的坐标实质是向量的正交分解的系数.
（2）两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即设则.
2.空间两向量平行与平面两向量平行的表达式不一样,但实质一致,即对应坐标成比例.
3.空间向量与平面向量的坐标运算之间的联系
类比平面向量的坐标运算,空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广,两者实质是一样的,只是表达形式不同而已,空间向量多了个竖坐标.
4.长度公式、两点间的距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关.
探究点一 空间向量的坐标运算
1. 已知,则等于( )
A. (2,-4,2) B. (-2,4,-2) C. (-2,0,-2) D. (2,1,-3)
A
[解析] ,
.
2. 已知,则( )
A. -1 B. 1 C. 0 D. -2
A
[解析] ,故选A.
3. 已知,则_______,_______.
14
-8
[解析] 易知,
.
解题感悟
空间向量坐标运算的解题方法：（1）直接计算,首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.（2）由条件求向量或点的坐标,首先把向量用坐标形式设出来,然后建立方程（组）,解方程（组）求出其坐标.
探究点二 空间向量平行、垂直、夹角的坐标表示
类型1 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
例1 [2021北京育英中学高二期末] 已知空间中三点,设.
[答案]易知,因为,
所以,
又,故,即,所以或.
（1）若,且,求向量;
[答案]易知,因为与互相垂直,所以,即,故,所以.
（2）已知向量与互相垂直,求的值;
[答案]因为点在平面内,所以存在使得,
又,所以解得故.
（3）若点在平面内,求的值.
类型2 利用向量的坐标运算求夹角
例2 [2021河北邢台巨鹿中学高二月考] 在正四棱锥中,底面是边长为2的正方形,点是底面的中心,,且是的中点.
[答案]建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , 所以,
所以.
（1） 求
[答案]由（1）知,若,则,解得（负值舍去）,
所以.
（2）若,求
解题感悟
（1）解决向量平行与垂直问题时要注意：①适当引入参数（比如向量,平行,可设建立关于参数的方程;②最好选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
（2）求夹角时,常利用两向量的夹角公式,将向量的坐标代入求出夹角.
1.（多选题）已知点是平行四边形所在平面外一点,若,则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
BD
[解析] 由知,所以A中结论错误;
,所以,所以,即,故B中结论正确;
易知 ,若 ,则存在实数 ,使得 即 此方程组无解,故 不平行于 ,故C中结论错误; ,所以 ,所以
,所以D中结论正确.故选BD.
2. [2020江苏盐城东台中学高二检测] 已知向量,则向量夹角的余弦值为______________.
[解析] 因为,
所以
所以 .
探究点三 空间向量坐标运算的运用
例 [2021山东师大附中高二月考] 已知在空间直角坐标系中,,,.
（1） 若点在直线上,且,求点的坐标;
[答案]由已知得,点在直线上,
设,即
,
,
,,
, .
[答案]由已知得,
,
,
以为邻边的平行四边形的面积.
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
解题感悟
利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤：
已知两两垂直,为的中点,点在上,.
[答案]以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 则 .
由为的中点,点在上,可得,
.
（1）求的长;
[答案]设,且点在线段上,,
.
,
即,
.
（2）若点在线段上,设,当时,求实数的值.
1. 已知为原点,则与的夹角是( )
A. 0 B. C. D.
B
2. 若向量,则______.
3
3. 若三点共线,则的值为_______.
-3
[解析] 由已知得.
,,三点共线,存在实数,使得,即,
解得,.
4. 已知向量.
（1）求和的值;
[答案]由已知得,
.
[答案]由已知得
,
,
.
（2）求.
1. [2020湖北武汉育才中学高二段考] 已知向量,若,则的值为( )
A. -2 B. 2 C. -6 D. 6
C
2. [2020福建福清西山学校高二上学期期中] 已知向量,则( )
A. 6 B. 7 C. 9 D. 13
C
3. [2021福建南安侨光中学高二段考] 已知点,,则点的坐标为( )
A. (7,-1,4) B. (9,3,4) C. (3,1,1) D. (1,-1,1)
B
4. [2021北京人大附中高二检测] 已知向量,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 以上都不对
C
5. [2021山东济宁实验中学高二月考] 设,向量,且,则( )
A. B. 3 C. D. 4
C
6. 已知为坐标原点,向量,点.若点在直线上,且,则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
A
7. [2021浙江绍兴诸暨中学高二段测] 已知点,则的最小值为( )
A. B. C. 2 D. 不存在
B
8. [2021山东师范大学附属中学高二月考] 若向量,且与夹角的余弦值为,则实数的值为( )
A. -3 B. 11 C. 3 D. -3或11
A
9. 已知向量,若,则与的夹角为_____________.
10. [2021河北沧州第一中学高二月考] 已知直线的方向向量分别为,若,则______.
6
11. [2021辽宁葫芦岛高二期末] 若与的夹角为,则的值为( )
A. 17 B. -17 C. -1或17 D. 1
C
[解析] 由已知得,
解得或.
12. [2021山东师大附中高二月考] （多选题）已知空间中的三点,,则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
AC
[解析] ,
,故A中说法正确;
不存在实数使得不共线,故B中说法错误;
故C中说法正确;
,故D中说法错误.
13. （多选题）已知向量,则下列结论中正确的有( )
A. 若,则
B. 若,则
C. 若,则
D. 若,则
AC
[解析] 由可得,解得,故A中结论正确;
由可得,解得,故B中结论错误;
当时,,
所以,故C中结论正确;
由 得 , 解得 ,
所以 ,故D中结论错误.
综上, 、C正确.
14. 在棱长为1的正方体中,分别是的中点,在棱上,且是的中点.
（1） 求与所成的角;
[答案]根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,
则
.
（1）易得
.
即
与所成的角为.
[答案]易得.
由（1）可知,
且
,
即 与 所成角的余弦值为 .
（2）求与所成角的余弦值.
