(共53张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的向量表示
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. 2.掌握直线的方向向量和平面的法向量 1.数学抽象——能够抽象出直线的方向向量与平面的法向量.
2.数学运算——会用空间向量的坐标运算求平面向量的法向量
要点一 空间中点、直线的向量表示
1.点的位置向量：
如图，在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点就可以用向量来表示我们把向量称为点的①___________.
位置向量
2.空间直线的向量表示式：
如图1,是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，则点在直线上的充要条件是存在实数，使得，即②_____________. 如图2，取定空间中的任意一点，可以得到点在直线上的充要条件是存在实数，使或.
上述两个式子都称为空间直线的③_____________由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
向量表示式
要点二 空间平面的向量表示
1.空间平面的向量表示式：
如图，取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数, 我们把这个式子称为空间平面的向量表示式由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量④___________.
唯一确定
2.平面的法向量：
如图，直线，取直线的方向向量，我们称向量为平面的⑤___________给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
法向量
1.基点是确定的吗？
提示 是.
2.已知,,,，如何判断这四点共面？
提示 因为不在同一直线上的三点确定一个平面，所以由三点确定一个平面，
若在平面内，则存在实数,使，即,即，解得,所以在平面内，即,,,四点共面.
3.“”的含义是什么？
提示“”是指平面的法向量与该平面内的任一直线的方向向量的数量积为零，即平面的法向量与该平面内的任一直线的方向向量垂直.
求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时,要选取不共线的两个向量.
（2）取特殊值：在求的坐标时,可令,,中的任一个为特殊值,得另外两个值,从而得到平面的一个法向量.
（3）注意0：假设法向量的某个坐标为某特殊值时,一定要注意这个坐标不为0.
探究点一 直线的方向向量
例 （1） 已知点,为线段上一点,且是直线的方向向量,则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
C
[解析] 在线段上,,又是直线的方向向量,.
设,易知,且,
,
即解得点的坐标是,故选C.
（2）若在直线上,则直线的方向向量的单位向量为__________________.
[解析] 因为,所以,所以,所以直线的方向向量的单位向量是.
解题感悟
求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量,注意直线的方向向量有无数个.
1.若在直线上.
（1） 则直线的一个方向向量是( )
A. （1,2,3） B. （1,3,2） C. （2,1,3） D. （3,2,1）
A
[解析] 易知,取,则,即是直线的一个方向向量,故选A.
（2） 若直线的一个方向向量为,则的值为______.
1
[解析] 由（1）知,又直线的一个方向向量为,所以,解得.
探究点二 平面的法向量
例 如图,已知四边形是直角梯形,平面.
（1）平面,
是平面的一个法向量.
（1）求平面的一个法向量;
[解析] 以点为原点,所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则.
[答案]易知,,且,,平面,平面,
是平面的一个法向量.
（2）求平面的一个法向量.
解题感悟
求平面法向量的步骤：（1）设出法向量;（2）选向量,在平面内选取两个不共线向量;（3）由垂直关系列出方程组;（4）解方程组;（5）赋非零值：取法向量中一个坐标为非零值（常取±1）;（6）得结论.
1.在正方体中,分别为棱的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求：
（1）平面的一个法向量;
[答案]设正方体的棱长为2,
则,,,,.
（1）连接（图略）,易知平面
所以为平面的一个法向量.
[答案]易知,.
设平面的法向量为,
令,得,,
即为平面的一个法向量.
（2）平面的一个法向量.
探究点三 平面法向量的应用
例 如图,在棱长为2的正方体中,点分别是棱,的中点.求平面的一个法向量.
[答案] 以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系, 则 ,
所以,
设平面的法向量为,
则取,得,
所以平面的一个法向量为.
解题感悟
涉及平面法向量的问题,合理建立空间直角坐标系和利用垂直关系联立方程是解题的关键.
1.在平面中,,（1,2,1）,,若,且为平面的法向量,则等于( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 无意义
C
[解析] 由题意得,又为平面的法向量,
所以即解得所以.
2.在直三棱柱中,,,平面的一个法向量为,则棱的长为______.
2
[解析] 以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 设 ,由题意可知 , ,
所以 ,因为
根据法向量的定义可得,
,解得 ,所以 .
1.[2021辽宁六校协作体高二期中联考] 已知平面上的三点,,则平面的一个法向量为( )
A. （4,-9,-16） B. （4,9,-16）
C. （-16,9,4） D. （16,9,-4）
B
[解析] 由已知得,,
设平面的法向量为,
则即
取,可得,所以平面的一个法向量为.
2. 给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的;②一个平面的所有法向量都是同向的;③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的;④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量.其中正确的说法是___________.
③④
[解析] 一个平面的法向量有无数个,故①中说法错误;
一个平面的所有法向量不一定相同,故②中说法错误;
易知③、④中说法正确.
3. 平面经过三点,,,求平面的一个法向量.
[答案] 易知,,设平面的法向量为,则
令,则,
平面的一个法向量为.
直观想象、数学运算、逻辑推理——在关于法向量的探索性问题中的应用
已知四边形是矩形,平面,点在线段上（不含端点）,且满足,其中.
因为,,,,,所以,,,,
设平面的法向量为,
则令,则,
所以,所以平面的一个法向量为.
（1）若,求平面的一个法向量;
[答案]建立空间直角坐标系, 当 时, 分别为 的中点,
[答案]假设存在,
因为,,所以,
所以 ,易知 若 是平面 的法向量,则 , ,即
此方程组无解,即假设不成立,所以不存在 ,使 是平面 的法向量.
（2）是否存在,使是平面的法向量？请说明理由.
素养探究：（1）由题意建立空间直角坐标系,渗透了直观想象的素养;设出平面的法向量,根据法向量的定义,建立方程组求解,渗透了数学运算的素养.（2）假设存在,使是平面的法向量,然后根据平面法向量的定义建立方程组求解,渗透了逻辑推理、数学运算的素养.
在三棱锥中,底面是边长为的正三角形,点在底面上的射影恰是的中点,侧棱和底面成角.
[答案]连接,由题意可知底面,且,
所以以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系.因为 是边长为 的正三角形,且 与底面所成的角为 ,所以 ,
所以 .
（1）在侧棱上是否存在一点,使是平面的法向量？请说明理由;
（1）假设存在点,设,则,
所以, 易知
若 是平面 的法向量,
则 ,
此方程组无解,所以在侧棱 上不存在一点 ,使 是平面 的法向量.
[答案]由(1)知,,设平面的法向量为,则
令,则,,所以,所以平面的一个法向量为.
（2）求平面的一个法向量.
1. 若,（1,4,10）在直线上,则直线的一个方向向量为
( )
A. （1,2,4） B. （1,4,2） C. （2,1,4） D. （4,2,1）
A
2. 设是空间中一定点,为空间内任一非零向量,则满足条件的点构成的是( )
A. 圆 B. 直线 C. 平面 D. 线段
C
3. [2020湖南张家界高二期末] 已知直线的一个方向向量为,且直线过和两点,则( )
A. 0 B. 1 C. D. 3
A
4. 在正方体中,平面的一个法向量为( )
A. B. C. D.
A
5. 平面经过三点，，,则平面的法向量可以是( )
A. （1,0,1） B. （1,0,-1） C. （0,1,1） D. （-1,1,0）
D
6. （多选题）在如图所示的空间直角坐标系中,为正方体,则下列结论正确的是( )
A.直线的一个方向向量为（0,0,1）
B.直线的一个方向向量为（0,-1,-1)
C.平面的一个法向量为（0,1,0）
D.平面的一个法向量为（1,1,1）
ABC
7. 若，，是平面内的三点,设平面的法向量为,则_____________.
2:3:(-4)
8. （多选题）已知空间中的三点，，,则下列说法不正确的是( )
A. 不是直线的一个方向向量
B. 直线的一个单位方向向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是（1,-2,5）
BC
[解析] 易知，,所以不存在实数,使得,故A中说法正确;
因为,所以与不共线,所以B中说法错误;
易知,所以,所以C中说法错误;
设平面的法向量是,则即令,则平面的一个法向量是,所以D中说法正确.
9. [2020河南平顶山高二期末] 如图,在正方体中,以为原点建立空间直角坐标系，分别在棱，上,且，,则下列向量中,能作为平面的法向量的是( )
A. （1,-1,3） B. （1,-1,-3） C. （2,-3,6） D. （-2,3,-6）
A
[解析] 设正方体的棱长为1,平面的法向量为,
则,所以，,
则即取则,故.
10. [2021福建泉州高二期中] （多选题）已知平面过点,且其法向量,则下列点中不在平面内的是( )
A. （2,3,3） B. （3,-3,4） C. （-1,2,0） D. （-2,-3,4）
BC
[解析] 对于,设,则,所以,故在平面内;
对于,设,则,所以,故不在平面内;
对于,设,则,所以,故不在平面内;
对于,设,则,所以,故在平面内.
11. [2021山东济宁鱼台一中高二月考] 四棱柱的底面是正方形,为底面的中心,平面，,则平面的一个法向量为___________________________.
(1,0,-1)（答案不唯一）
[解析] 建立空间直角坐标系如图,
四边形是正方形,且,,
平面，平面
即，，
设向量是平面的法向量,
取则故.
12. 已知点是平行四边形所在平面外一点,如果,,.
命题分析 本题考查了直线的方向向量的求解、平面法向量的证明、平行四边形面积的求法,考查了向量坐标的运算、法向量的定义等基础知识,考查了运算求解能力、逻辑推理能力.
答题要领 （1）直线的一个方向向量是与平行或共线的向量,可根据向量的线性运算求解.（2）由题意结合空间向量的数量积计算可得 ,即可得结论.（3）利用平面向量的坐标运算可得 ,进而可得 然后利用公式 求解.
[答案] ,故直线BD的一个方向向量可以是（2,3,4）.
（2）求证：是平面的法向量;
[答案] 证明：,,
,又平面,平面,是平面的法向量.
（1）写出直线的一个方向向量;
（3） 求平行四边形的面积.
[答案] ,,
,
,
故,
.
解题感悟 直线的方向向量是与该直线平行或共线的向量,可根据向量线性运算和坐标运算求解;法向量的判定或证明,要根据法向量的定义判断;面积的求解,常根据图形的形状结合三角形的面积公式求解.在求解过程中,准确运算是关键.(共54张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的向量表示
第2课时 空间中直线、平面的平行
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理. 3.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系. 1.逻辑推理——能够推理出直线、平面平行关系.
2.数学运算——会用空间向量的坐标运算，证明直线、平面的平行关系.
1.线线平行：
设分别是不重合的直线的方向向量，则，使得①____________.
2.线面平行：
设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则②_________.
3.面面平行：
设分别是不重合的平面的法向量，则③__________，使得.
1.用向量方法证明线线平行时，只需要说明“，使得”就可以吗？
提示 不可以，还要说明两直线不重合.
2.用向量法证明面面平行时，只需要说明“”就可以吗？
提示 不可以，还要说明两个平面不重合.
1.若两条不重合的直线的方向向量分别为，，则.
2.设直线的方向向量为，平面的法向量为，则.
3.若平面的法向量为，平面的法向量为，则.
探究点一 证明线线平行
例 如图所示，在正方体中，分别为的中点.求证：四边形是平行四边形.
证明 以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设该正方体的棱长为1，则，
，
四边形是平行四边形.
解题感悟
（1）两直线平行#两直线的方向向量共线.（2）两直线的方向向量共线两直线平行或重合，所以由两直线的方向向量共线证明两直线平行时，必须指出两直线不重合。
在长方体中，分别是面对角线上的点，且.求证：.
[答案] 证明 如图所示，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设，则，
.
与不共线，
.
探究点二 证明线面平行
例 在正方体中，分别是的中点.求证：平面.
[答案] 证明 如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则，
.
设平面的法向量为则即
取，则，
平面 的一个法向量为
， ， 平面 .
解题感悟
证明线面平行的方法：（1）设是直线的方向向量，是平面的法向量，只需证明，即；（2）在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；（3）只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.
在如图所示的多面体中，平面，，，
，，，，是的中点，求证：平面.
证明平面，且平面平面，
.
又，
两两垂直，
故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得，，，，，，，，，.
设平面的法向量为，
则 即
令 ，得 ， 则 ，
，即 .
平面 平面 .
探究点三 证明面面平行
例 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，、分别为、的中点，证明：平面平面.
[答案] 证明 连接是等边三角形.
为的中点，.
又.
又平面平面，平面平面平面，
平面 .
平面 ， ，
两两垂直，
故以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，
，，，，
设是平面的法向量，是平面的法向量，
由得
令则，
由得
令则，
，
平面平面.
在长方体中，，，，，，，分别为棱的中点.求证：平面平面.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，.
设平面，平面的法向量分别为，，则即
令得，则即
令得，
，
，即，
平面平面.
1. [2021江苏盐城四校高二期末联考] 平面的一个法向量是（1，2，3）,平面的一个法向量是（3，0，-1），则平面与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直
C. 相交且垂直 D. 不能确定
C
[解析] 因为，所以平面平面.
2. 已知，平面的一个法向量为，点不在平面内，则直线与平面的位置关系为( )
A. B.
C. 与相交但不垂直 D.
D
[解析] 因为，所以.又点不在平面内，为平面的一个法向量，所以，故选D.
3. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是____________________.
或
[解析] 或.
4. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点.求证：平面.
证明 因为，
所以，所以.
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以，
所以两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为则即
令，则 ，所以 ，
因为 平面 所以 平面 .
1. 已知线段的两端点为，（9，2，1），则线段与坐标平面( )
A. 平行 B. 平行
C. 平行 D. 相交
C
2. [2020广东广州海珠高二期末联考] 已知为平面的一个法向量，为一条直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
3. 若，则直线与平面的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行
C. 在平面内 D. 平行或在平面内
D
4. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是
( )
A.
B.
C.
D.
D
5. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则( )
A. B. C. 3 D.
A
6. 已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，则( )
A. 平面平面
B. 平面平面
C. 平面、平面相交但不垂直
D. 以上均有可能
A
7. [2020辽宁抚顺六校协作体高二期末] 平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，若，则_________.
0或2
8. 在空间直角坐标系中，已知，，1，-1)，若直线交平面于点，则点的坐标为_______________.
[解析] 设点的坐标为，则，易知，因为与共线，所以，解得所以点的坐标为.
9. （多选题）如图，在平行六面体中，点分别为棱的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列四个结论中正确的是( )
A. B.
C. 平面 D. 平面
ACD
[解析] 易知，，所以所以，故A中结论正确；因为与平行且不相等，所以四边形为梯形，所以与不平行，即与不平行，故B中结论错误；由线面平行的判定定理可知，平面平面故C，D中结论正确.
10. 如图，在直三棱柱中，.若在棱上存在点，使得平面，则点满足( )
A. B.
C. D.
B
[解析] 因为所以所以则在直三棱柱中，两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
设点，则
设平面的法向量为
则即
令，则，
若平面则
所以①，
由在上得，
即②，
由①②可得，即为AB的中点，故.
11. 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，，，，都是正三角形.求证：.
证明 过点作，交于点，连接，由平面平面知平面，易得两两垂直，以为坐标原点，为轴的正方向，为轴的正方向，为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
所以，
所以，又与不重合，故.
12. 如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，，二面角是直二面角.求证：平面.
证明 因为二面角是直二面角，四边形是正方形，所以平面.
又因为，
所以即，
所以两两垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 ， ， ， ， ，所以
设平面的法向量为
则即
令 ，则 ，即 ，所以 ，
所以 又 平面
所以 平面 .
13. 如图，在正方体中，求证：平面平面.
[答案] 证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
，
设平面的法向量为
则即
令则，
所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为
则
令则
所以平面的一个法向量为
所以所以故平面平面.
14. [2021山东济宁实验中学高二月考] 如图，在正方体中，分别是的中点.
命题分析 本题考查了立体几何中异面直线所成的角、存在性问题的求解，重点考查了利用空间向量求解立体几何中的角度和位置关系问题.
答题要领 以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，可得各点的坐标.（1）设异面直线与所成的角为利用可求得结果.（2）设存在点满足题意，求出平面的法向量后，根据，得到，从而求出的值，最后得到结果.
设正方体的棱长为，则 ， ， ， ， ， ， .
设异面直线 与 所成的角为 .
易得
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（1） 求异面直线与所成角的余弦值;
[答案] 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（2） 在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由.
[答案] 假设在棱上存在点，使得平面.
易得
设平面的法向量为
令则，
，，解得，
，在棱上存在点，当时，平面.
解题感悟 处理存在性问题的关键是假设成立，利用直线与平面平行等价于直线与平面的法向量垂直来构造方程求解.(共76张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的向量表示
第3课时 空间中直线、平面的垂直
课标解读 课标要求 素养要求
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理. 1.数学抽象——会表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.
2.逻辑推理——能够判定直线、平面的垂直关系.
3.数学运算——会用空间向量的坐标运算，证明直线、平面的垂直关系.
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量___________；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.
平行
1.若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直吗？
2.两个平面的法向量垂直是两个平面垂直的什么条件？
提示 不一定，非零向量数量积为零时，两向量垂直零向量与任何向量的数量积都为零，两向量不一定垂直.
提示 充要条件.
1.线线垂直
（1）设直线的方向向量分别为则.
（2）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则.
2.线面垂直
（1）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则，使得.
（2）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则.
3.面面垂直
（1）设平面的法向量分别为则.
（2）若平面的法向量为平面的法向量为则
探究点一 证明线线垂直
1. 如图，在三棱柱中，过点作平面的垂线，垂足为线段的中点，是的中点.证明：.
[答案] 证明 为的中点，
.
易知平面，
两两垂直.
故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
又
，
.
又与均为非零向量，
即.
2. 已知在正方体中，点分别是棱与体对角线的中点.求证：.
[答案] 证明 设正方体的棱长为1，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则
.
，
.
解题感悟
用向量法证明直线与垂直，取、的方向向量分别为，，若则.
探究点二 证明线面垂直
例 在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面.
[答案] 证明 以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则
设平面的法向量为，
则即
令，可得，
则平面.
解题感悟
坐标法证明线面垂直的方法是建立空间直角坐标系，求相应坐标.（1）根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.（2）判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
如图所示，正三棱柱的各棱长都为2，为的中点.求证：平面.
[答案] 证明 如图所示，取的中点，取的中点连接.因为为正三角形，所以.因为在正三棱柱中，平面平面，所以平面.
故以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
所以
因为，
，
所以即
又因为平面所以平面.
探究点三 证明面面垂直
例 如图所示，在直三棱柱中，为的中点，证明：平面平面.
[答案] 证明 由题意得两两垂直，故以B为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
.
设平面的法向量为
则
令得
设平面的法向量为
则
令得
，
平面平面.
解题感悟
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直得到面面垂直.
三棱锥被平行于底面的平面截得的几何体如图所示，截面为三角形平面，为的中点.证明：平面平面.
[答案] 证明 建立如图所示的空间直角坐标系，
则所以.
因为，
所以
所以.
又平面所以平面而平面所以平面平面.
1. 若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是( )
A.
B.
C. 直线与平面相交但不垂直
D. 无法确定
B
[解析] .
2. 若平面平面，平面的法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. B. (2,-1,0)
C. (1,2,0) D.
C
[解析] 因为，所以向量与向量(1,2,0)互相垂直，满足.
3. [2021江西新余一中、宜春一中高二联考] 如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面垂直 D. 异面不垂直
C
[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则直线的位置关系是异面垂直.
4. 在正方体中，为的中点，证明：平面平面.
[答案] 证明 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1，则，
设平面的法向量为
则
令，则，
.同理可得平面的法向量为
由知
平面平面.
直观想象、数学运算、逻辑推理——在关于垂直关系探索性问题中的应用
1. 已知四棱锥的底面是直角梯形，，，底面，且，为的中点.
（1） 求证：平面；
[答案] 证明：底面，
，易知两两垂直，故以D为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由于，
所以，
易知平面的一个法向量为，
又则.
又平面，
平面.
（2） 在平面内是否存在点，使平面？请说明理由.
[答案] 假设存在，设是平面内一点，
则
若平面，则
即
因此在平面内存在点，使平面.
[解析] 素养探究：（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，渗透了直观想象的素养;利用空间向量法可证明平面，渗透了数学运算、逻辑推理的素养.（2）假设存在，设出点的坐标，且是平面内一点，由平面列方程组，可求得的值，进而确定点的坐标，渗透了数学运算的素养.
如图，在直三棱柱中，.
（1） 求证：；
[答案] 证明：在直三棱柱中，两两垂直，故以C为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则
（2） 在线段上是否存在点，使得？请说明理由.
[答案] 假设在线段上存在点，使得，则，
，
由（1）知且
，解得，
在线段上存在点，使得，此时点与点重合.
1. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则( )
A. B.
C. D. 与相交
C
2. [2020辽宁大连瓦房店高级中学高二月考] 在四棱锥中，底面是平行四边形，，则直线与底面的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 在平面内 D. 成角
B
3. 设直线的方向向量分别为，若，则实数等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
4. [2020北京怀柔高二期末] 若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是( )
A. 直线在平面内 B. 平行
C. 相交但不垂直 D. 垂直
C
5. [2021山东济宁曲阜一中高二段测] （多选题）在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有( )
A. B. C. D.
ACD
6. （多选题）如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，则( )
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
BC
C. 该正方体被平面截得的截面的面积为
D. 直线与直线垂直
7. [2021安徽蚌埠田家炳中学高二月考] 已知，若且平面，则
( )
A. B.
C. D.
D
8. [2020陕西渭南高二期末] 设分别是平面的法向量，若，则实数的值是______.
4
9. 长方体被经过的动平面所截分别与棱交于点得到截面.如图所示，已知.求证：.
[答案] 证明 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图，
则，
依题意易得，设，则，
所以，又，所以，所以.
10. （多选题）如图，在正方体中，分别为其所在棱的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线平面 B.
C. 四点共面 D. 平面
AC
[解析] 因为分别为的中点，所以
又因为平面平面所以平面同理可得平面又因为平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故A中说法正确;
设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图.
所以
则所以所以与不垂直，故B中说法错误；
连接，因为分别是的中点，所以，
又因为分别为的中点，所以，
所以，故四点共面，所以C中说法正确;
易知
所以因为所以直线不垂直于平面，故D中说法错误.综上，A、C正确.
11. （多选题）在正方体中，分别为的中点，则下列结论中正确的是( )
A. B. 平面
C. D.
BCD
[解析] 设正方体的棱长为1，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以，
因为所以与不垂直，故A中结论错误;
易知平面的一个法向量为
因为所以平面故B中结论正确;
因为，所以，故C中结论正确;
因为所以故D中结论正确.
12. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.
（1） 证明：平面平面
[答案] 证明：易知，所以，
因为平面所以平面又平面所以.
又四边形是边长为的正方形，所以C.又平面所以平面
又平面所以平面平面
（2） 在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.由（1）得，两两垂直，故以点C为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则设，则，所以，解得所以要使，则即解得，故在线段上存在点使得且.
13. 如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点，.求证：
（1） 平面
[答案] 证明 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则
所以.
显然是平面的一个法向量，
因为，
所以.因为平面
所以平面
（2） 平面.
[答案] 设平面的法向量为则
令，则，
即，
显然所以平面.
14. 如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点.求证：平面平面.
[答案] 证明 四边形为矩形，
，
平面平面，平面平面，
平面，
又四边形为正方形，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，
.
设是平面的法向量，
则
取，得，
则.
与共线，
平面，又平面，
平面平面.
15. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点在线段上（不含端点）.
[解析] 命题分析 本题考查了利用空间向量证明线面垂直和面面垂直.
答题要领 建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标及向量坐标.
（1）利用将用坐标表示，设是平面的法向量，利用向量垂直数量积为可得方程组，再利用，即可求出的值.
（2）设是平面的法向量，是平面的法向量，若平面平面，则，可得方程.若方程无解，则说明点不存在，若方程有解，则说明点存在.
（1） 是否存在点，使平面？请说明理由；
[答案] 底面为正方形，
，又平面，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则
设，
则，
设是平面的法向量，
则
即
令，则，
是平面的一个法向量，若平面，则，
解得
即存在点，使得平面.
（2） 是否存在点，使平面平面？请说明理由.
[答案] 设是平面的法向量，
则
令则
是平面的一个法向量.
设，
则.
设是平面的法向量，
则
令则
是平面的一个法向量.
平面平面，
即，此方程无解，
不存在点，使，
即不存在点，使平面平面.
解题感悟
（1）用向量法判定线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直.
（2）用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是不是0.(共80张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
课 标 解 读 课标要求 素养要求
1.能用向量语音表述点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离. 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题 1.数学抽象——会用向量语音表述空间距离.
2.逻辑推理——运用向量运算求解空间距离的原理.
3.数学运算——能够用空间向量的坐标运算解决空间距离问题.
要点一 点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为,是直线上的定点,是直线外一点.如图,设,则向量在直线上的投影向量______________,点到直线的距离.
要点二 点到平面的距离
已知平面的法向量为,是平面内的定点,是平面外一点,则点到平面的距离.
1.若直线的方向向量为，如何求直线的单位向量
提示
2.当点在平面内,该公式还成立吗 求直线到平面的距离可以用该公式吗
提示 成立,此时,所以.可以,求直线到平面的距离可以转化为点到平面的距离,因此可以用该公式.
1.点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以空间中的点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内的点到直线的距离问题.
2.如果直线与平面平行，可在直线上任取一点，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离求解.
3.两个平行平面之间的距离，如果两个平面互相平行，可在其中一个平面内任取一点，将两个平行平面之间的距离转化为点到平面的距离求解.
探究点一 点到直线的距离
例 如图，在空间直角坐标系中有棱长为的正方体，点是线段上的动点，试求点到直线距离的最小值.
[答案] 设，直线的一个单位方向向量为，
易知
故点到直线的距离
，
当时，取得最小值，为，故d的最小值为.
解题感悟
向量法求点到直线的距离的步骤：（1）依据图形先求出直线的单位方向向量（2）在直线上任取一点（可选择特殊、便于计算的点），计算点与直线外的点的方向向量.（3）要知垂线段的长度可利用计算.
[2021天津和平汇文中学高二第一次质检] 已知直线的方向向量为，若点为直线外一点，为直线上一点，则到直线的距离为_____________.
[解析] 易知，
到直线的距离
.
探究点二 点到平面的距离
例 已知正方形的边长为1，平面，且分别为的中点.求点到平面的距离.
[解析] 思路分析 以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式，即可得到答案.
[答案] 以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则即
令，则，所以，
所以点到平面的距离.
解题感悟
求点到平面的距离的四个步骤：（1）建系，结合图形特点建立空间直角坐标系；（2）求向量，在空间直角坐标系中求出点与平面内任一定点对应的向量；（3）求平面的法向量；（4）代入点到平面的距离公式求解.
如图，在正三棱柱中，，，是的中点.
（1） 求证：平面平面；
[答案] 取的中点，的中点，连接，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，
.
证明：设平面的法向量为，
则
取，得，
易知平面的一个法向量为，
，平面平面.
（2） 求三棱锥的高.
[答案] 设平面的法向量为，
则取得，
点到平面的距离，
三棱锥的高为.
探究点三 直线到平面的距离
例 [2021山东师大附中高二月考] 如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且.
（1） 求证：平面；
[答案] 证明：以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以，
所以，因为平面所以平面.
（2） 求直线到平面的距离.
[答案] 由（1）知因为平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，易知，
设直线到平面的距离为，则，
所以直线到平面的距离为.
解题感悟
向量法求直线与平面的距离、相互平行的平面的距离通常可以转化为点与平面的距离求解.
在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，分别为的中点，求到平面的距离.
[答案] 取的中点，连接.
，.
平面平面，平面平面，平面.
又平面，.
故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，.
设为平面的法向量，
则
取，则，
，
点到平面的距离.
分别为的中点，，又平面平面，平面，
故到平面的距离为.
1. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到的距离为( )
A. 10 B. 3 C. D.
D
[解析] ，，，
，
，
点到的距离为.
2. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D. 1
B
[解析] 由题意知，所以，
所以，
所以点到直线的距离
，故选B.
3. 已知平面，平面的法向量为，平面内一点的坐标为（0，0，1），直线上点的坐标为（1，2，1），则直线到平面的距离为___________.
[解析] 因为平面，所以直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，易知，所以点到平面的距离.
4. 在长方体中，，在平面内，过作直线，求到直线的距离.
[答案] 由已知得，，到直线的距离即到直线的距离.建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
到直线的距离
即到直线的距离为.
直观想象、数学运算、逻辑推理——在关于距离的探索性问题中的应用
1. 如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，分别是的中点.
（1） 求证：平面平面；
[答案] 证明：易知).
设分别为平面和平面的法向量，
由得
令则，，
是平面的一个法向量.
由得
令则，
是平面的一个法向量，
，平面平面.
（2） 在线段上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由.
[答案] 假设在线段（含端点）上存在点，使点到平面的距离为，
设，
则，
由得（舍去）或，
故在线段上存在点，即点与点重合时，
点到平面的距离为.
素养探究：（1）建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，渗透了直观想象的素养；利用空间向量法，分别求出平面和平面的法向量，通过向量的数量积计算，渗透了数学运算的素养；证出平面平面，渗透了逻辑推理的素养.
（2）通过点到平面的距离公式，求出的值，渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，为的中点，试问：在线段上是否存在点，使点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
[答案] ，为的中点，
.
又侧面底面，平面底面，底面.连接，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得，
.
假设在线段上存在点，使点到平面的距离为，
设，
则.
设平面的法向量为，
则
取，则平面的法向量为，
点到平面的距离，
或（舍去）.
此时.
存在点满足题意，此时.
1. 已知，则点到直线的距离为( )
A. B. 1 C. D.
A
2. 已知点，平面过原点且垂直于向量，则点到平面的距离为( )
A. B. 2 C. 6 D.
B
3. 如图，在棱长为1的正方体中，是平面的中心，是的中点，则直线到直线的距离为( )
A. B. C. D.
B
4. 正方体的棱长为4，是的中点，则到的距离为( )
A. B. C. D.
D
5. 在棱长为1的正方体中，平面与平面之间的距离为( )
A. B. C. D.
B
6. （多选题）如图，在四棱锥中，侧面是边长为4的正三角形，底面为正方形，侧面底面ABCD，则下列说法正确的有
( )
BD
A.
B. 点到直线的距离为
C. 直线到平面的距离为
D. 点到平面的距离为
7. [2021江苏南京江浦中学高二检测] 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
B
8. [2021山东师大附中高二月考] 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为( )
A. B. C. D.
A
9. [2021北京科大附中高二期中] 在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为____________.
10. [2021山东济宁实验中学高二月考] 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离为__________.
11. （多选题）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，在该正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点到直线的距离是
B. 点到平面的距离为
BC
C. 平面与平面之间的距离为
D. 点到直线的距离为
[解析] 如图，建立空间直角坐标系，
则，所以
，所以到直线的距离，故A中说法错误；
易知，平面的一个法向量为，
则点到平面的距离，故B中说法正确；
易知
设平面的法向量为，
则即
令，得，所以，
所以点到平面的距离.
因为平面平面，
所以平面与平面之间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面之间的距离为，故C中说法正确；
易知，且.
所以，
所以点到的距离，故D中说法错误.
12. 已知正方体的棱长是1，是的中点，则点到的距离为___________；到平面的距离是___________.
[解析] 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则.设
为的中点，则.
因为，所以的长即为点到的距离.
易知所以点到的距离为.
易知平面，所以直线上任一点到平面的距离都相等，设平面的法向量为，易知，
所以令，则，所以，所以到平面的距离.
13. [2021山东济宁鱼台一中高二月考] 如图，在四棱锥中，，平面为菱形，边长为2，，，且，异面直线与所成的角为.
（1） 求证：平面；
[答案] 证明：四边形是菱形，，，，，平面，平面，
平面，，
，为的中点，，
又，平面，
平面.
[答案] 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，为异面直线与所成的角，
（2） 若是线段的中点，求点到直线的距离.
，
在菱形中，，，
设，则，
在中，由余弦定理得，
，
，
解得（负值舍去），
，
，，
点到直线的距离.
14. [2021山东菏泽单县五中高二月考] 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，为的中点.在侧面内找出一点，使平面，并求出到平面的距离.
[答案] 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，则，
使平面，
解得，
，
，
设到平面的距离为，
则.
15. [2021山东淄博高二期末] 已知在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，过点，，的平面记为.
（1） 证明：点不共面；
[答案] 证明：由已知可得，
假设，，三点共线，则存在，使得即，
所以
此方程组无解，所以不共线，所以，，不共线，所以过点，，的平面是唯一的，
若点共面，则存在，使得，
即，
即此方程组无解，即不存在实数，使得，
所以点不共面.
（2） 求点到平面的距离.
[答案] 设平面的法向量为，
则所以
令，则，所以，
所以点到平面的距离.
16. 如图，在多面体中，底面是边长为2的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，为线段的中点.
[解析] 命题分析 本题考查了利用空间向量法计算点到平面的距离、三棱锥的体积，考查了利用空间向量法证明线面垂直，考查了推理能力与计算能力.
答题要领 (1)设 ，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过 且与平面 垂直的直线为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出点 到平面 的距离，计算出 的面积，利用三棱锥的体积公式可计算出三棱锥 的体积.(2)利用向量法证明出，0，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得 平面 .
（1） 求到平面的距离及三棱锥的体积；
[答案] 详细解析 设，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
易知轴在平面内，且轴，则，
，
设平面的法向量为，
则
取，得，
到平面的距离，
又，
三棱锥的体积.
（2） 求证：平面.
[答案] 证明：由（1）知，则，
，
，平面，平面.
解题感悟 求点到平面的距离的主要方法：
（1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离；
（2）在三棱锥中用等体积法求解；
（3）向量法， （ 为平面的法向量， 为平面内一点， 为过点 的斜线段）.(共81张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究空间角问题
课标解读 课标要求 素养要求
1.理解两异面直线所成的角与他们的方向向量之间的关系，能用向量方法求两异面直线所成的角. 2.理解直线与平面所成的角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，能用向量方法求直线与平面所成的角. 3.理解二面角大小与两个平面法向量夹角之间的关系，能用向量方法求二面角的大小. 1.数学抽象——能用向量语言表述空间角.
2.逻辑推理——运用向量运算求解空间角的原理.
3.数学运算——能用空间向量的坐标运算解决空间角问题.
要点一 两异面直线所成的角直线与平面所成的角
1.两异面直线所成的角：
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，，则________________.
2.直线与平面所成的角：
直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角直
线与平面相交，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则___________________________________________.
要点二 平面与平面的夹角
1.定义：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.
_____________.
夹角或其补角
3.利用空间向量解决立体几何问题的三个步骤：
第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；
第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
这种利用向量方法解决立体几何问题的 ，在解决立体几何问题时具有程序性、普适性.
1.两异面直线所成的角与其方向向量的夹角一定相等吗？
提示 不一定相等，因为两异面直线所成角的范围是 ，而两个向量夹角的范围是，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系.
2.直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量的夹角有怎样
的关系？
提示 设为平面的一个法向量，为直线的方向向量，直线与平面
的夹角为，
则
3.三个步骤中的关键步骤是哪一步？
提示 第一步最关键，合理建系把立体几何问题转化为向量问题.
1.利用向量法求直线与平面所成的角的方法
（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）.（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角，取其余角就是斜线与平面所成的角.
2.利用向量法求两个平面的夹角的方法
（1）找法向量法：分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两个平面夹角的大小.（2）找与棱垂直的方向向量法：分别在两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是两个平面夹角或其补角的大小.
探究点一 两异面直线所成角的问题
例 [2021辽宁大连第103中学高二月考] 如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，.
[答案] 证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
所以，所以.
由题设易知，，且，，平面，所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（1） 证明：平面平面；
（2） 求与所成角的余弦值.
[答案] 易知，，
故，，，
所以，，
即与所成角的余弦值为.
解题感悟
由于两异面直线所成角的范围是，而两向量夹角的范围是，故，求解时要特别注意.
1. [2021安徽合肥一中高二段考] 在直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为
()
A. B. C. D.
C
[解析] 因为，，所以是等边三角形，取的中点，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，即，
所以异面直线和所成角的
余弦值.
2. 在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，） ，若使异而直线与所成角的余弦值为，则为( )
A. B. C. D.
A
[解析] 易知，，BA两两垂直，故以B为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，又，
，
，则，设，则，且，
，
易知，，
，，
，
异面直线与所成的角的余弦值为，
，解得或（舍去），.
探究点二 直线与平面做成角的问题
例 如图，三棱锥的底面和侧面都是等边三角形，且平面平面.
（1） 若点是线段的中点，求证:平面；
[答案] 证明:因为和都为等边三角形，且有公共边，所以.
因为为的中点，所以，，
又因为，，平面，所以平面.
（2） 点在线段上且满足，求与平面所成角的正弦值.
[答案] 取的中点，连接，，由己知可得，，两两垂直.
故以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
设 ，则 ，则点 ， ， ， ， ，所以 ，
，
设平面的法向量为，
则令，可得.
设与平面所成的角为，则.
解题感悟
若直线与平面α所成的角为θ，则利用法向量计算θ的步骤如下：
如图（1）所示，是中边上的高线，且，将沿翻折，使得平面平面，如图（2）.
（1） 在图（2）中，求证：；
[答案] 证明：由题图（1）知，在题图（2）中，，，
平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.
（2） 在图（2）中，是上一点（不含端点），连接，当与底面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值.
[答案] 以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
设，则，
，
，易知平面的一个法向量为，
与底面所成角的正切值为，
即，解得，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则即
令，得，，则是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角是，则 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
探究点三 平面与平面夹角的问题
例 如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点是的中点.
[答案] 证明：平面，平面，，
，，
，，，
，，平面，
平面，
又平面，平面平面.
（1） 证明：平面平面；
（2） 若，求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 取的中点，连接，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，.
设为平面的法向量，则
取，得.
设是平面的法向量，
则
取，得，
，平面与平面夹角的余弦值为.
解题感悟
利用向量法求平面与平面的夹角的步骤：（1）建立恰当的空间直角坐标系；（2）分别求出两个平面的法向量；（3）求两个法向量夹角的余弦值；（4）设两个平面的夹角，根据两个平面的夹角即为两个平面的法向量的夹角或其补角，从而得到两个平面的夹角.
[2021广西南宁三中高二段考] 如图，在长方形中，，，点是的中点，将沿折起，使平面平面，连接.
（1） 求证：平面；
[答案] 取的中点，连接，，，又平面平面，平面平面，
平面，过作直线.
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
，，
，
则，，，，
证明：易知，，.
，，
，，即，，又，，平面，平面.
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 设平面的法向量为易知.
易知，，
设平面的法向量为
则
即
令，得，，
平面的法向量为，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
1. 如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（图略)，设，则，，，，，，
，故异面直线与所成角的余弦值为.
2. 在正方体中，与平面所成角的正弦值为
( )
A. B. C. D.
B
[解析] 设正方体的棱长为1，依题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即令，，
与平面所成角的正弦值为.
3. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，且交于点.
（1） 求证：平面;
[答案] 证明：依题意建立如图所示的空间直角坐标系Axyz
设，则，，，，
，
，
.
，即，又且，，平面，
平面.
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 底面，是平面的一个法向量.
由（1）知，，，
设平面的法向量为（，，)，则即
令，则
，
故由题图可知平面ACD与平面夹角的余弦值为.
1. [2020广东广州海珠高二期末联考] 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
( )
A. B. C. D.
C
2. [2021安徽皖北名校高二第二次联考] 如图，在四棱锥中，底面，，底面是边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A
A. B. C. D.
3. [2020山东济南莱芜一中高二质检] 在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
B
4. 在正方体中，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
B
5. [2021吉林吉化一中高二月考] 在正方体中，，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
B
6. [2021山东济宁曲阜一中高二段测] （多选题）如图，已知是棱长为2的正方体的棱的中点，是棱的中点，设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，则( )
BCD
A. 平面 B.
C. D.
7. [2020黑龙江绥化青冈一中高二月考] 正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
C
8. 如图所示，正方体的棱长为6，分别是棱上的动点，且.当共面时，平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
B
9. [2021湖北孝感应城一中高二期末] 在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，点为的中点，点在的延长线上且，则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，故以BC，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
因为，，，所以所以，，，，，
又，所以，
故，
，
所以，
所以向量的夹角为，
又异面直线与所成角的取值范围是，
所以异面直线与所成的角为.
10. 如图，平面，，，，则平面与平面夹角的余弦值为___________.
11. [2020辽宁丹东高二期末] （多选题）在正三棱柱中，，则( )
A. 与底面所成角的正弦值为
B. 与底面所成角的正弦值为
C. 与侧面所成角的正弦值为
D. 与侧面所成角的正弦值为
BC
[解析] 取的中点，的中点，连接，则，，两两垂直，则以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则.
，，，，，
，底面的一个法向量为，
与底面所成角的正弦值为，错，B对;取的中点，的坐标为，
侧面的一个法向量为
与侧面所成角的正弦值为，故C对，D错.
12. [2021山东济宁高二期末] 如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，，直线与平面所成角的正弦值为.
（1） 求点到平面的距离;
[答案] 因为，，所以，所以，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则即所以，
所以，解得（负值舍去），
所以，，
所以点到平面的距离为.
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 设平面的法向量为，
则即所以，
所以.由题图可得平面与平面的夹角为锐角，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
13. [2020福建漳州高二第二次质检] 如图，在三棱台中，，，，.
（1） 证明：；
[答案] 过作交于点，连接，
因为，，，
所以，所以，
同理可得，因为
所以，所以.以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
易知，所以，，，，.
证明：易知，，所以所以，所以.
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 易知，，
设是平面的法向量，
则即
取，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
14. [2021广东深圳外国语学校高二月考] 如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，的中点为三角形的外接圆的圆心，点在边上，且.
（1） 求与平面所成的角；
[答案] 连接，在中，由的中点为三角形的外接圆的圆心，可知，三角形为等腰直角三角形，所以，，且.
在中，，为的中点，则，且.
在中，满足，
所以，
又，，平面，
所以平面，故与平面所成的角为.
（2） 求平面与平面夹角的正弦值.
[答案] 因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，
由得，所以，则，
设平面的法向量为，
则令，得，
由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，
所以，
所以.
故平面与平面夹角的正弦值为.
15. 如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，且.
[解析] 命题分析 考查了空间中线线垂直的证明和平面与平面夹角的求解.
答题要领 （1）由面面垂直的性质可证得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理可证得.（2）取的中点，连接，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.先求两平面的法向量，再利用向量法求平面与平面夹角的余弦值.
（1） 求证：；
[答案] 证明：易知，平面垂直于圆所在的平面，且两平面的交线为平面垂直于圆所在的平面.
又在圆所在的平面内，.为圆的直径，，
，又平面，
平面，平面，
.
（2） 若异面直线和所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 取，连接，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作与平行的直线为轴建立空间直角坐标系.
由异面直线和所成的角为，知，，
，由题设可知，，
，
.
设平面的法向量为，
则即取得，
.易知平面的一个法向量为，
.故平面与平面夹角的余弦值.
解题感悟 通常利用向量法解决两平面的夹角问题.
