(共43张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
加练课1 空间向量及其运算的综合应用
学习目标 1.进一步掌握空间向量及其运算的综合应用,从而解决新定义问题.
2.进一步掌握空间向量中的最值问题.
一、概念辨析,判断正误
1. 若均为非零向量,则是与共线的充要条件.
( )
×
2. 在向量的数量积运算中,.( )
×
3. 若是空间的一个基底,则中至多有一个零向量.( )
×
4. 对空间中任意一点与不共线的三点,,,若（其中）,则,,,四点共面.( )
×
5. 空间中任意三个向量一定是共面向量.( )
×
二、夯实基础,自我检测
6. 已知,则向量与的夹角为
( )
A. B. C. D.
C
7. 如图所示,在平行四边形中,,把沿对角线折起,使与成角,则的长为_____________.
2或
[解析] 与成角,或.
又,
或的长为2或.
8. 在直三棱柱中,棱为的中点.
（1） 求的长;
[答案] 以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
依题意得,
线段的长为.
（2） 求与所成角的余弦值.
[答案] 依题意得
.
又
故与所成角的余弦值为.
探究点一 空间向量的新定义问题
例 已知定义一种运算：.在四棱锥中,底面是一个平行四边形,
[答案] 由题意得.
,
即又平面,
平面.
（1） 求的值,并求证：平面;
（2） 求四棱锥的体积,说明的值与四棱锥体积的关系,并由此猜想的绝对值的几何意义.
[答案] 由题意知,
,
,
.
猜想：的绝对值表示以为邻边的平行六面体的体积.
解题感悟
向量的新定义问题,解题时根据新定义的规则运算即可.
设全体空间向量组成的集合为为中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数”.
（1） 设,若,求向量的坐标;
[答案] 依题意得.
设,代入运算得或.
[答案] 设与的夹角为,则,则,当且仅当,即时,等号成立.
故的最大值为2.
（2） 对于中任意的单位向量,求的最大值.
探究点二 空间向量中的最值问题
类型1 构造函数求最值
例1 [2021江苏扬州高二月考] 已知,点在直线上运动.当取得最小值时,点的坐标为
( )
A. (2,2,4) B.
C. D.
D
[解析] 设,
即,
故,
所以
故当时,取得最小值,
此时,
故选D.
解题感悟
解决此类问题的关键是运用空间向量的坐标运算建立所求的目标函数,从而转化为函数的最值问题求解.
类型2 直观判断求最值
例2 在棱长为2的正四面体中,点满足点满足,当最短时
( )
A. B. C. D.
A
[解析] 由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知,平面,
当最短时,平面,
为的中心,为的中点,
此时
, 平面平面,
,
.
又
,
故选A.
1. [2021四川资阳高二期末）] 如图,在棱长为3的正方体中,为平面上的一个动点,分别为的三等分点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 过作关于平面的对称点,连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小,任取（不含）,此时.
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,因为分别为的三等分点,所以,
又点到平面的距离为1,所以
所以的最小值为.
2. [2021陕西宝鸡高二期末] 在空间直角坐标系中,已知,点,分别在轴,轴上,且,那么的最小值是____________.
[解析] 设,
,
又,
即.
（当且仅当时,等号成立）.
1. 直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为3,分别为的中点,则( )
A. 2 B. -2 C. D.
B
2. （多选题）在正方体中,点分别为棱的中点,则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 平面
D. 和所成的角为
AD
3. 已知是空间中两两垂直的单位向量,则的最小值为_____________.
1. 已知在斜三棱柱中,底面是等腰直角三角形,与均成角,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
D
2. [2021山东枣庄八中高二月考] 如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在底面上移动,且满足,则线段的长度的最大值为( )
A. B. 2 C. D. 3
D
3. [2021广西名校高二期中] 在四面体中,,若与互余,则的最大值为( )
A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
B
4. [2021陕西西安周至二中高二期末] 在正方体中,棱长为2,点为棱上一点,则的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
5. [2021辽宁六校协作体高二期中] 已知四面体的每条棱长都等于2,点分别是棱的中点,则等于( )
A. 1 B. -1 C. 4 D. -4
A
6. 如图,在三棱锥中,已知设则的最小值为______.
2
7. [2020福建厦门高二期末] 如图,平行六面体的棱长均为为的中点,则的长是____________.
[解析] 由题意可知,
所以
所以.
8. [2021天津武清杨村三中高二月考] 已知,点在直线上运动,当取得最小值时,点的坐标是____________.
(1,1,2)
[解析] 易知,
设则
所以,
所以,
所以,
当时,取得最小值,此时的坐标为(1,1,2).
9. [2021黑龙江双鸭山一中高二期中] 已知平行六面体中,棱长均为,底面是正方形,且设.
[答案] 易知
.
（1） 用表示及求
[答案] 易知,
则
又
（2） 求异面直线与所成角的余弦值.
,
异面直线与所成角的余弦值是.(共82张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
加练课2 空间向量在立体几何中的应用
学习目标 1.进一步掌握用向量法证明平行、垂直.
2.进一步掌握求空间距离、空间角.
一、概念辨析，判断正误
1. 若空间向量平行于平面，则所在直线与平面平行.( )
×
2. 两异面直线所成的角的范围是，直线与平面所成的角的范围是，平面与平面的夹角的取值范围是.( )
√
3. 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
( )
×
二、夯实基础,自我检测
4. 两个平面的夹角的棱上有，两点,直线分别在这两个半平面内,且都垂直于，已知，则这两个平面的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
C
5. [2020陕西西安中学高二期末] 如图所示,直三棱柱的侧棱长为3,底面边长，点在棱上,且，点在棱上,则的最小值为( )
B
A. B. C. D.
6. 在如图所示的三棱锥中,平面，是棱的中点,若，，，则与所成角的余弦值为____________.
[解析] 平面，，过点作，又，
两两垂直,
故以A为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则，
又为的中点,，故，
，
与所成角的余弦值为.
探究点一 建立空间直角坐标系
类型1 利用共顶点的互相垂直的三条棱建系
例1 [2021北京海淀实验学校高二期中] 如图，在四棱柱中，底面，底面满足，，.
[答案] 证明：因为底面，且平面，所以.
因为，所以，故.
又，，平面，所以平面.
（1） 求证：平面；
[答案] 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，所
（2） 求直线与平面所成角的正弦值；
以，，.
设平面的法向量为，
则即
取，得，，
则，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3） 求点到平面的距离.
[答案] 由（2）可知平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离
故点到平面的距离为.
解题感悟
当图形中有明显的互相垂直，且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系解决立体几何问题.
类型2 利用线面垂直关系建系
例2 如图，在四棱锥中，，，，，，，.
[答案] 证明：取线段的中点，连接.
因为，，，所以.
因为，，所以.
又因为，所以，因为，所以，所以.
因为，所以，即.
又因为，且平面，，所以平面.
（1） 证明：平面；
（2） 在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
[答案] 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，.
设，因为点在线段上，
所以可设，则，即，所以.
设平面的法向量为，
则，，
所以
所以.
因为直线与平面所成角的正弦值等于，所以，
所以，即（负值舍去），所以点是线段的中点.
解题感悟
题目中有线面垂直时，可以借助线面垂直寻求两两垂直的直线，从而建立空间直角坐标系解决立体几何问题.
类型3 利用面面垂直关系建系
例3 [2021浙江宁波诺丁汉大学附属中学高二月考] 在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，平面底面.
（1） 证明：平面;
[答案] 证明：取的中点，连接，则底面.以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的边长为1，则，，，，，
所以，，，，，所以，
所以，又平面底面，且平面底面，
所以平面.
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 由（1）得是平面的一个法向量，
设是平面的法向量，
则则令，则，，
所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为.
解题感悟
题目涉及面面垂直，这是寻找线线垂直建立空间直角坐标系的突破口.
1. 如图，点是直三棱柱的棱的中点，为的重心，，.
（1） 求点到平面的距离;
[答案] 易知，，两两垂直，故以B为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，.
设平面的法向量为，
因为，，
所以
令，得，，即是平面的一个法向量.
易得，故点A到平面的距离.
（2） 求平面与平面夹角的余弦值.
[答案] 设平面和平面的夹角为，由（1）知，平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
因为，
所以
令，得，，即是平面的一个法向量，
所以.
故平面和平面夹角的余弦值为.
2. 如图，四边形与四边形均为菱形，，且.
（1） 求证：平面；
[答案] 证明：设与相交于点，连接，
四边形为菱形，，且为的中点，
，，
又，，平面，
平面.
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
[答案] 连接，四边形为菱形，且，
为等边三角形，
为的中点，，
又，且，，平面，平面，，，两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，四边形为菱形，，，.
为等边三角形，.
，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则取得.
设直线与平面所成的角为，
则.
探究点二 立体几何中的探索性问题
例 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.
（1） 求证：；
[答案] 证明：记，连接，
底面是边长为的正方形，
.
，，
平面底面，且平面底面，平面，
底面.
底面，，.
（2） 若点分别是棱，的中点，平面与棱的交点为点，则在线段上是否存在一点，使得？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由（1）可知.
则，，，，，，，，.
设平面的法向量为，
，，
令，可得.
记，可得，，
由可得，解得，
.
记，可得，
，若，则解得，.
故在线段BC上存在一点，使得，此时.
解题感悟
解决立体几何中的探索性问题的方法，一般根据探索性问题的设问，首先假设存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设；如果得到了矛盾，就否定假设.
[2021福建师范大学附属中学高二期中改编] 如图，在棱柱中，底面为平行四边形，，，，且在底面上的投影恰为的中点.
（1） 过作与垂直的平面，交棱于点，试确定点的位置，并说明理由；
[答案] 当点为棱BC的中点时，符合题意，理由如下：
连接，.在中，
，
所以，
因此，即，
因为在底面上的投影恰为的中点，所以底面，
又底面，
所以，
又，，平面，所以平面，因此点即为所求，平面即为平面.
（2） 在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
[答案] 存在满足条件的点，且的位置与或重合.
由（1）知，，，
所以，
以，的方向分别为，轴的正方向，以过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设，
易得平面的法向量为，，，，
设为平面的法向量，则
即
令，得，因为平面与平面的夹角为，
所以，
即，
所以，解得.
故与或重合时，平面与平面的夹角为.
1. 如图，矩形，矩形，正方形两两垂直，且，若线段上存在点使得，则的长度的最小值为( )
A. 4 B. C. 2 D.
D
2. 在正方体中，点，分别是，的中点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 与所成的角为
C. 平面
D. 与平面所成角的余弦值为
C
3. [2021江苏镇江高二期中] 如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.
[答案] 建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，易知平面的一个法向量是，
设与平面所成的角为，
所以，
所以.
（1） 求与平面所成角的余弦值；
（2） 求平面与平面夹角的大小；
[答案] 易知，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则
即
令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则
即
令，则，
所以，
所以，
故平面与平面的夹角为.
（3） 求点到平面的距离.
[答案] 易知，
所以，由（2）知平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
1. [2021山东济南回民中学高二期中] 若平面平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是( )
A. (-1,,) B.
C. （1，2，0） D.
C
2. 在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点.有以下三个命题：
①异面直线与所成的角是定值；
②三棱锥的体积是定值；
③直线与平面所成的角是定值.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
B
3. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，在平面上运动，若，则的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
B
[解析] 过作平面，垂足为，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，.
设，，则，，，
，
，，由正方体的性质可知，
且，，
当时，，
.
4. 如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为
( )
A
A. B.
C. D.
5. [2021天津静海高二月考] 如图，在四棱锥中，底面，且底面为直角梯形，，，，，为的中点.
（1） 求证：平面；
[答案] 证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
依题意得，，，，，.
所以，，，
因为，，所以，，又因为，，平面，
所以平面.
（2） 求平面和底面夹角的余弦值.
[答案] 依题意可知为底面的一个法向量，
由（1）知，.
设平面的法向量为，
则即
令，可得，
所以，
所以平面和底面夹角的余弦值为.
6. [2021江苏扬州宝应中学高二期中] 在三棱柱中，平面，，，分别是，的中点.
（1） 求直线与平面所成角的正弦值；
[答案] 由题意可知，，，CB两两垂直，故以C为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，
设平面的法向量为，
则即令，可得，即，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2） 在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
[答案] 假设在棱上存在一点满足题意.设，则，
所以，
设平面的法向量为
则即令，可得，即，
由（1）知平面的一个法向量为，
所以，
因为平面与平面的夹角为，所以，
解得，此时（负值舍去），符合题意，
所以在棱上存在一点，且，使得平面与平面的夹角为.
7. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，______. 求证：四边形是直角梯形，并求直线与平面所成角的正弦值.
从①，②平面这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并完成解答.
选①，先证四边形是直角梯形.平面，且平面，，.，.又，，.又，，平面，平面，且平面，.又，，四边形是直角梯形.再求直线与平面所成角的正弦值.过作的垂线交于点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， . 为 的中点， ， ，
，.设平面的法向量为，则令，得.设直线与平面所成的角为，.直线与平面所成角的正弦值为.
选②，先证四边形是直角梯形.平面，且，平面，，.，.又，，.，， 平面， 平面，又平面，.平面，平面，平面平面，，则四边形是直角梯形.再求直线与平面所成角的正弦值.同①.
[解析] 命题分析 本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，线面角的求法以及逻辑推理、数学运算的素养.
答题要领 选①，
由平面可得，.求解三角形得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面，则，进而得到 ，故四边形ABCD是直角梯形.过 作 的垂线交 于点 .以 为坐标原点建立空间直角坐标系 .求出平面的法向量与的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值.
选②，
由平面可得，.求解三角形得，由直线与平面垂直的判定定理可得平面，则，然后由平面得，则四边形是直角梯形.求直线与平面所成角的正弦值，同①.
解题感悟
立体几何的综合问题，首先利用定义、定理、公理等证明空间线线、线面、面面的平行或垂直关系，再利用空间向量进行空间角的计算.
