华东师大版数学九年级上册22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系（教案）

一元二次方程根与系数的关系
【教学目标】
一、知识技能目标
1．能说出根与系数的关系；
2．会利用根与系数的关系解有关的问题。
二、过程性目标
在经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程中，通过尝试与交流，开拓思路，体会应用自己探索成果的喜悦。
三、情感态度目标
通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯。
【教学重难点】
根的判别式和韦达定理的学习。
【教学过程】
一、知识点导入
1．根的判别式：
（1）从配方法那里我们知道不是所有的一元二次方程都是有实数解的，原因在于配方得到的右边的项为 ；而当，是不能开方的，所以方程无实数解。而与0的大小关系又取决于。
所以：当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根。
由此可知的取值决定了一元二次方程根的情况，我们把称作根的判别式，用符号“Δ”表示；
即：。
（2）根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
2．韦达定理：
当Δ≥0时，由求根公式可知。
可令，；
∴，。我们把方程两根与方程系数存在的这种关系式称为：韦达定理。
注意：
（1）前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
（2）主要内容：。
（3）应用：整体代入求值。
二、例题精讲
1．不解方程，判别一元二次方程的根的情况是（ ）。
A．有两个不相等的实数根；
B．没有实数根；
C．有两个相等的实数根；
D．无法确定。
2．若方程只有一个实数根，那么方程（ ）。
A．没有实数根； B．有2个不同的实数根；
C．有2个相等的实数根； D．实数根的个数不能确定。
3．的何值时？关于的一元二次方程。
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根。
4．为给定的有理数，为何值时，方程的根为有理数？
5．已知关于方程。
（1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰的一边长为，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求这个三角形的周长。
6．已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，不解方程，那么：
x1+x2=___________；
x1·x2=___________；
+=__________；
｜x1－x2｜=________。
三、针对练习
1．方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=___________，所以方程的根的情况是___________。
2．一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）。
A．有两个不等的实数根； B．有两个相等的实数根；
C．没有实数根； D．不能确定。
3．方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根，那么总成立的式子是（ ）。
A．b2-4ac＞0； B．b2-4ac＜0；
C．b2-4ac≤0； D．b2-4ac≥0。
4．如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k=___________。
5．试说明关于x的方程x2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根。
6．已知一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围。
7．方程的两个根是x1，x2，求代数式的值。
8．设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）； （2）；
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