2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1 抛物线及其标准方程导学案
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.1 抛物线及其标准方程导学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-01-13 10:57:48 | ||
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文档简介
3.3.1 抛物线及其标准方程
班级 姓名 小组___________
【学习目标】
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程
【重点难点】
1.抛物线的定义、几何图形和标准方程
2.抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
【导学流程】
情境导入：把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．
[问题] 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
基础感知
一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
归纳小结：1．抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”：“一动”即一个 ，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的 ，和一条定直线l，即抛物线的 ；一相等，即|MF|＝d(d为M到准线l的距离)．
2．定义中要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
归纳小结：四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
合作与交流
1．若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．双曲线
2．平面内到点A(2，3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．圆
3．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为
4．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
5．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__x2＝8y．
典例分析
例1. (链接教科书第132页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
归纳小结：求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
例2. (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
归纳小结：抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
例3. (链接教科书第132页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
归纳小结：求抛物线实际应用的五个步骤
班级 姓名 小组___________
【学习目标】
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程
【重点难点】
1.抛物线的定义、几何图形和标准方程
2.抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
【导学流程】
情境导入：把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．
[问题] 你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？
基础感知
一 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
归纳小结：1．抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”：“一动”即一个 ，设为M；“二定”包括一个定点F，即抛物线的 ，和一条定直线l，即抛物线的 ；一相等，即|MF|＝d(d为M到准线l的距离)．
2．定义中要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
归纳小结：四个标准方程的区分
焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
合作与交流
1．若动点P到点(3，0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．双曲线
2．平面内到点A(2，3)和直线l：x＋2y－8＝0距离相等的点的轨迹是( )
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．圆
3．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1) B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0) D．开口向右，焦点为
4．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为( )
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
5．已知动点P到定点(0，2)的距离和它到直线l：y＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__x2＝8y．
典例分析
例1. (链接教科书第132页例1)求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6，6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6，6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p>0)，
将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p>0)，
将点M(－6，6)代入可得，36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2，0)，
∴抛物线的焦点是F(2，0)，∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
归纳小结：求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
[注意] 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．
例2. (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2 B．3
C．6 D．9
(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，
所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，
其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，
而＝，所以p＝1，2p＝2，
故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．
归纳小结：抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
例3. (链接教科书第132页例2)某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？
[解] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A(10，－2)．
设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)，
则102＝－2p×(－2)，所以p＝25，
所以抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.
若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，
y＝－×82＝－1.28，
即船体在x＝±8之间通过点B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．
而船体高为5米，所以无法通行．
又因为5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，
150×7＝1 050(吨)，
所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．
归纳小结：求抛物线实际应用的五个步骤