2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2.1 抛物线的简单几何性质导学案

3.3.2.1　抛物线的简单几何性质
班级 姓名 小组___________
【学习目标】
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，
3.了解抛物线的简单应用
【重点难点】
　1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质
2..了解抛物线的简单应用
【导学流程】
情境导入 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？
[问题]　上述情境中主要用到了抛物线的怎样的几何性质？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
基础感知
一、 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
性质 焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0，0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
合作与交流
1.在同一坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象，你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？
提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小．
2.．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝±3y　　　　　 B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．y2＝±12x
3．设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
4．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p＝________．答案：4
典例分析
例1　(链接教科书第134页例3)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程．
[解]　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
归纳小结：用待定系数法求抛物线方程的步骤
[注意]　求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．　　　　
例2 (1)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？
(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
[解]　(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．
当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程是y＝kx＋1，代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，x＝，符合题意；当k≠0时，由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.
故满足条件的直线有三条．
(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①
(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解
(ⅱ)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．
令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－.
所以原方程组有唯一解
综上，实数a的取值集合是.
归纳小结：直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数；
(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．　　　　
例3.　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．
[解]　由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|＝2p≠p，不满足题意．
所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝＝·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.
归纳小结：抛物线弦长的求解思路
当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.
[注意]　焦点弦是特殊的弦，一般利用抛物线的定义转化为焦半径和焦点弦长问题处理．注意熟记抛物线的四种标准方程对应的焦点弦长公式．　　　　
例4、　过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________．
[解析]　法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．
由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4.
故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝8x1，　①
y＝8x2，②
且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④
将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，则弦AB所在直线的斜率为4.
故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
[答案]　4x－y－15＝0
归纳小结：解决中点弦问题的思路
解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝.
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)．
线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－x0)．