景胜中学 2022-2023学年度高二年级月考（1月）
数学试题
一、选择题（每题 5分，共计 60分）
1．已知等差数列 an 的公差为 1，且 S99 99，则 a3 a6 a96 a99 的值是（ ）
A．99 B．66 C．33 D．0
2．已知向量 a 1,1,0 b 1,0, 2 ka b a
， ，且 与 2b互相垂直，则 k （ ）
11 1 3 11
A． B． C． D．
4 5 5 4
x2 23 C y．已知椭圆 1： 2 2 1 a b 0
3
，其长轴长为 4且离心率为 ，在椭圆C1上任取一点 P，过点 P作
a b 2
C x 2 y 2
圆 2： 3 2的两条切线 PM ,PN ，切点分别为M ,N，则 PM PN 的最小值为（ ）
3
A． 2 B． C． D．0
2 4 2 6
4．数列{Fn} :1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家斐波那
契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前两项之和，记数
列{Fn}的前 n项和为 Sn，则下列结论中正确的是（ ）
① S5 F7 -1 ② S5 F6 -1 ③S2021 F2023 -1 ④S2021 F2022 -1
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
5．等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a1 0,S8 S24 ，则满足 Sn 0的最小的正整数 n的值为（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
6．函数 f x x2 cos x x sin x 1的图象大致为（ ）
A． B．
1
C． D．
x
2 x a, x 0
7．已知 A，B是函数 f x ，图象上不同的两点，若函数 y f x 在点 A、B处的切线重
xlnx a, x 0
合，则实数 a的取值范围是（ ）
, 1 1 1A
B , C 0, D , ． 2 ． ． ． 2 2
8 x
2 y2
．如图所示，已知 F1,F2是椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左 右焦点，a b
A 为椭圆的上顶点，B在 x轴上， BAF2 90 ，且F1是 BF2的中点，O
为坐标原点，若点O到直线 AB的距离为 3，则椭圆C的方程为（ ）
x2 x2 y2A． y2 1 B． 1
4 4 3
2 2
C x y x
2 y2
． 1 D． 1
16 9 16 12
9．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为 1的正方形，若
A1AB A1AD 60 ，且 AA1 3，则 AC1的长为（ ）
A． 5 B．2 2 C． 14 D． 17
10．已知点 P在直线 l： y x 2上，过点 P作圆 C： x2 y2 2x 4 y 4 0的切线，切点分别为 A，B，
则弦 AB的最小值为（ ）
A 3 7 B 6 7 C 9 2． ． ． D．4
5 5 5
11 x．若曲线 f x a x 1(a 0且 a 1)在点 0,m 处的切线与直线 x m 1 0垂直，则函数 f x 在区间
1,2 上的最大值为（ ）
A．3 e 2 B．1 e C． 2 e2 D．2 e
12．在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四边形 ABCD是边长为 2的菱形， DAB 60 ， AA1 1，
cos DAA 11 cos BAA1 ，则下列结论中正确的个数为（ ）4
① A1C DB；② A1C 11；③ A1C 平面 B1BDD1；④四棱柱 ABCD A1B1C1D1的体积为 11 .
2
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每题 5分，共计 20分）
1
13．已知数列{an}为等差数列， a3 3，设{an}的前 n项和为 An，且 A6 21，数列{ }a 的前 n项和为 Sn，n
m
若对一切 n N *，恒有 S2n Sn 成立，则 m能取到的最大整数是_____.16
14 C : x
2 y2
．若双曲线 1的离心率不大于 2 5，则 C的虚轴长的取值范围为___________.
2
1
15．函数 f (x) ex x2 ax是 R上的单调递增函数，则 a的取值范围是______．
2
16．已知正四面体 ABCD中， E， F 分别是线段 BC， AD的中点，点G是线段CD上靠近D的四等分点，
则直线 EF 与 AG所成角的余弦值为________．
三、解答题（共计 70分）
17．（10分）已知公差不为 0的等差数列{an}的前 n项和为Sn，且S1 1，S3，S4成等差数列，a1，a2，a5
成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 S4，S6，Sn成等比数列，求 n的值.
18 *．（12分）已知数列 an 满足： an 1 an 2n 5 n N ，且 a1 3 .
（1）求数列 an 的通项公式；
1,n 1
（2）数列 b b *n 满足 n log a , n b b b b 2 k N 2, n N * ，若 1 2 3 k ， ，求 k的值. n 1 n
19 12 x．（ 分）已知函数 f x acos x be（a，b R），曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程为 y x．
（1）求实数 a，b的值；
x , （2）当 时， f x c（ c Z）恒成立，求 c的最小值． 2
3
20．（12分）如图所示，直三棱柱 ABC A1B1C1中，CA CB 1， BCA 90 ，棱 AA1 2．M 、N分别
是 A1B1、 A1A的中点．
（1）求证：C1M NB；
（2）求直线 A1B与直线CB1所成夹角的余弦值．
2 2
21．（12 x y分）已知椭圆 C： 2 2 1 a b 0 的短轴长为 2，直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A，B，点a b
P b,
1
在椭圆 C上，且直线 PA与 PB关于直线 x 1对称.
a
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）求△PAB的面积 S的最大值.
1
22 2．（12分）已知函数 f x x 1 1 2lnx ax lnx ln 2 a a R ．4 2
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）当 x 1时， f x 0恒成立，求实数 a的取值范围。
4
5数学答案
1．B 2．D 3．D 4．D 5．C 6．A 7．B 8．D 9．D 10．B 11．A 12．A
13 7 14 26． ．[4, ) 15． a 1 16．
26
17．（1） an 2n 1；（2）n=9.
【分析】
2S3 S1 1 S4
2
（1）由已知条件可知 a2 a1a5 ，从而可求出 a1，d，进而可得等差数列{an}的通项
d 0
公式；
2 2（ ）由（1）可得 Sn＝n2，由 S4，S6，Sn成等比数列，得 S4Sn S6 ，求出 n.
（1）
设等差数列{an}的公差为 d.
2S3 S1 1 S4
a 1 a 1
由题意可知 a2
2 a
1 1
1a5 ，得 d 2a ，即 1 d 2
d 0
∴an＝2n－1.
（2）
由(1)知 an＝2n－1，∴Sn＝n2，
∴S4＝16，S6＝36，
又 S4Sn S
2
6 ，
2
∴Sn＝n2
36
＝ ＝81，
16
∴n＝9，
18．（1 *） an n 2,n N ；
（2） k 7 .
【分析】
（1）由题设可得 an 2 an 2，可知 an 的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为 2，
分别求出 n为奇数、偶数时的通项公式，进而写出 an 的通项公式；
答案第 1页，共 7页
1,n 1
（2）由（1）可得bn log n 2 ,n 2,n N ，结合已知条件及对数的运算性质求 k值. n 1
（1）
∵an 1 an 2n 5，
∴an+1 an+2 2n 7，且 an 2 an 2，
∴ an 的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为 2，
∵ a1 3，则 a2 4，
∴ a2n 1 a1 2 n 1 2n 1 2n 1 2 an n 2 （n为奇数）；
∴ a2n a2 2 n 1 2n 2 an n 2 （ n为偶数），
*
综上， an n 2,n N .
（2）
1,n 1
由（1）得：bn ，
log n 1 n 2 , n 2, n N
∴b1b2b3 bk log 34 log4 5 log k 1 k 2 log 3 k 2 2，解得 k 7 .
19．（1） a 1，b 1
（2）1
【分析】
（1）求出导函数 f (x)，由 f (0) 1， f (0) 0求得 a,b；
（2）求出导函数 f (x)，并设 g(x) f (x) ，再求导函数 g (x)，确定 f (x)的单调性，得 f (x)
存在零点 x0，即 f (x)的极大值点，求出 f (x0)的范围，再由不等式恒成立得 c的范围，最小
值．
（1）
因为 f (x) asin x bex，
f 0 b 1
所以
f 0 a b 0
答案第 2页，共 7页
a 1
解得
b
；
1
（2）
f x cos x ex x 因为 ， ,
，
2
所以 f x sin x ex，设 g x sin x ex
g x cos x ex cos x ex ．
当 x
,0
时， cos x 0，2 e
x 0，所以 g (x) 0；
当 x ,
时， 1 cos x 1，2 e
x 1，所以 g (x) 0．
所以，当 x
,
时， g (x) 0， g(x)即 f (x)单调递减．
2
1
1
2
f 0 1 0 2 1 2
1 因为 ， f e 4 ，
4 2 2 e 2
1
2 1
2
因为 ，所以 1 1 e 2 e 2
，所以 f 4
0．
2
e 2
x 所以 0 ,0 ，使得 f x sin x ex00 0 0 x，即 e 0 sin x0 ．
4
所以，当 x ,x0 时， f (x) 0， f (x)单调递增； 2
当 x x0 , 时， f (x) 0， f (x)单调递减．
x
所以 f (x) 0max f x0 cos x0 e cos x0 sin x0 2 sin x0 ．
4
因为 x
0
,0 ，所以 x0 0, ，所以 sin
x 2 0 0, 4 4 4 4 2
，
所以 f x0 0,1 ．
由题意知，c f x0 ，所以，整数 c的最小值为 1．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的解题难点是需
要对导函数再一次求导，确定单调性后，得出零点有存在性，而不是具体的值，由零点存在
答案第 3页，共 7页
性得出函数的极大值，并求出极大值的范围，然后再由不等式恒成立得出结论．本题属于难
题．
20．（1）证明见解析
（2 30）
10
【分析】
（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（2）结合（1），利用坐标法求解即可.
（1）
证明：因为直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA 90 ，
所以CA,CB,CC1两两垂直，故以点C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为CA CB 1， AA1 2，M 、 N分别是 A1B1、 A1A的中点．
所以C1 0,0,2 ， A 1,0,0 ， B 0,1,0 ， A1 1,0,2 ， B1 0,1,2
1 1
，M , , 2 ， N 1,0,1 ，
2 2
C M 1 1
所以 1 , , 0 ,NB 1,1, 1 ，
2 2
1 1
所以C1M NB , , 0 1,1, 1 0，即C1M NB， 2 2
所以C1M NB
（2）
答案第 4页，共 7页
解：根据（1）得C 0,0,0 ， A1 1,0,2 ，B1 0,1,2 ， B 0,1,0 ，
所以 A1B 1,1, 2 ，CB1 0,1,2 ，
A
所以 cos A1B,CB1 1
B C B 1 3 30
A 101B CB1 5 6
30
所以直线 A1B与直线CB1所成夹角的余弦值为 .
10
2
21 x．（1） y2 1
2
2
（2）
2
【分析】
1
（1）由题可得b 1，将 P b, a
代入椭圆方程求得 a2 2即可；
（2）设出直线 PA的方程，与椭圆联立，表示出 A,B坐标，进而求出直线 AB斜率，设出方
程，代入椭圆，求出弦长，即可表示出面积，求出最大值.
（1）
因为短轴长为 2，所以b 1，
1 1 1
因为点P b, 在椭圆 C上，所以 2
a a2 a2
1，解得a 2，
x2
所以椭圆 C的标准方程为 y2 1；
2
（2）
P 2
由（1）知， 1, ，
2
设直线PA的斜率为 k(k 0)，则直线 PB的斜率为 k，
PA y 2则直线 的方程为 k x 1 ，
2
2
联立直线 PA与椭圆方程消去 y可得 2k 1 (x 1)2 (2 2k 2)(x 1) 0，
设 A x1, y1 ,B x2, y2 ，
x 1 2(1 2k) 2
2 k 2k 2
则 1
， y ，1 2k 2 1 2 1 2k 2
2 k 2k2
同理可得 x2 1
2(1 2k)
2 ， ，
1 2k 2 y2 2 1 2k 2
答案第 5页，共 7页
y y 2 k 2k2 2 k 2k2 所以直线 AB的斜率 k 2 1 4k 2AB ，x2 x1 2(1 2k ) 2(1 2k ) 4 2k 2
2
故直线 AB的斜率为定值 ，
2
2
设直线 AB的方程为 y x t，直线 x 1与直线 AB相交于点Q，
2
2
则Q 1, t ，所以 | PQ | | t |，
2
2
y x t
2
联立方程 ，可得2 x
2 2tx t2 1 0，
x
y
2 1
2
Δ 2t2 4 t2 1 0，则 t2 2， x1 x2 2t, x 21x2 t 1，
1 1
所以 S |PQ | x1 x 2 | t | x1 x 2
2 4x x 2 t 2 2 t 2 22 2 1 2 ，2 2
当且仅当 t 1时等号成立，所以△PAB S 2的面积 的最大值为 .
2
22．（1）答案见解析
1
（2） , 2
4ln 2 2
【分析】
（1）求得 f x 的定义域和导函数，对 a进行分类讨论，由此求得 f x 的单调性.
（2）由 f x 0分离常数 a，利用构造函数法，结合导数求得 a的取值范围.
（1）
1 1 2 2
由题知 f x 的定义域为 0, ， f x x 1 2 ln x x a ln x a x a 1 ln x ．
2 4 x
1 1
若 a 0，则当0 x 时， f x 0，当 x 时， f x 0，
e e
f x 0, 1 1 ∴ 在 上单调递减，在 , 上单调递增；
e e
若0 a
1 1 1
，则当0 x a或 x 时， f x 0，当 a x 时， f x 0，
e e e
f x 0,a a, 1 1∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 ,
上单调递增； e e
若a
1
，则当 x 0时， f x 0，∴ f x 在 0, 上单调递增；
e
答案第 6页，共 7页
a 1 1若 ，则当0 x 或 x a时， f x 0 1，当 x a时， f x 0，
e e e
f x 0, 1 1 ,a ∴ 在 上单调递增，在e 上单调递减，在 a, 上单调递增． e
1 1
综上所述，当 a 0时， f x 在 0, 上单调递减，在e , 上单调递增； e
1
当0 a 时， f x 在 0,a 1 1上单调递增，在 a, 上单调递减，在 ,
上单调递增；e e e
1
当a 时， f x 在 0, 上单调递增；
e
a 1当 时， f x 在 0,
1 1
上单调递增，在 ,a 上单调递减，在 a, 上单调递增．e e e
（2）
由（1）知，当 a 1时， f x 在 1, 上单调递增，
由 f 1 1 ln 2 1 a 0
1 1
，得 a ，故 a 1．
4 2 4 ln 2 2 4 ln 2 2
当 a 1时， f x 在 1,a 上单调递减，在 a, 上单调递增，
2
由 f a a 1 2 ln a a2 ln a 1 a a ln 2 a 0，得 ln a ln 2
1
0
4 2 4 2 2
h a a a ln a ln 2 1 a 1 h a 1 1设 ，则 ln a 1 1 1 ln a 0，
4 2 2 4 2 2 2 4
∴h a 在 1, 上单调递减，
∵h 2 0，∴由h a 0得1 a 2．
1
综上所述，实数 a的取值范围为 , 2 ．
4ln 2 2
【点睛】
对于恒成立问题，常通过分离参数，将问题转化为含参部分大于（或小于）另一端不含参数
部分的最大值（或最小值）问题，再利用导数研究不含参数部分的最值，若分离参数后不易
求解，就要从分类讨论和放缩等问题入手解决．
答案第 7页，共 7页
