山西省运城市景胜高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考数学（理）试题（Word版含答案）

景胜高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考
数学（理）试题
参考公式：
锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．已知集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．已知向量，，且，则m的值为（ ）
A． B．2 C．4 D．或4
4．魔方又叫鲁比克方块（Rubk'sCube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克 艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过AD，BC，B1C1，A1D1的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足，，则p（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．定义在上的函数满足，对任意的，，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9.已知长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．12 B．20 C．24 D．32
10．已知双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以OA为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
11．设，其中，，若对任意的xR恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对任意的xR有成立
C．的单调递增区间是
D．存在经过点(a，b)的直线与函数的图象不相交
12．若存在实数x，y满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．e
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设x，y满足则的最小值是 ，最大值是 ．
14．曲线与直线相切，则 ．
15．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则 ．
16．如图所示，在平面四边形ABCD中，，，，，在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则的面积为 ．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（12分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，其中，点E，F，G分别是AC，BC，AB的中点．
（1）求证：平面CDG；
（2）求二面角FAED的余弦值．
19．（12分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．
（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；
（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．
20．（12分）设椭圆，O为原点，点A(4，0)是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若，满足，求证：直线l经过定点．
21．（12分）已知函数（是自然对数的底数）．
（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．
22．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当，时，解不等式；
（2）当时，若不等式对任意的xR恒成立，求实数a的取值范围．
数学（理科）答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D C B A D B B A B C
13．答案： 14．答案：1 15．答案： 16．答案：
17．解：（1）因为，，所以，
即，
又是各项为正的单调递增数列，所以，
所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以．
（2），
所以
．
18．解：（1）证明：根据已知得，又G为AB的中点，所以，
因为，G为AB的中点，所以，
又，所以平面CDG．
又因为，所以平面CDG．
（2）因为，，所以平面ABD，取BD中点H，连接AH，FH，则平面BDC，
又，所以以H为原点，以HB，HF，HA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面AEF的法向量为，
则即
令，得．
设平面AED的法向量为，
则即
令，得．
所以，所以二面角FAED的余弦值为．
19．解：（1）若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球．
求得顾客所获得的减免金额为40元的概率为．
（2）某顾客所获得的减免金额X可能为30，40，50，60．
，
，
，
.
所以X的分布列为
X 30 40 50 60
P
.
所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为．
20．解：（1）由题意得，，，所以．
所以椭圆C的方程为.
（2）证明：设，，则，，
，．
所以，
整理得．①
由得，
则，．
代入①整理得，
所以直线l的方程为，即直线l恒过定点．
21．解：（1）由题意可求得，
因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，
即在上有两个不相等的变号根．
设，则，
①当时，，，
所以在(0，2)上单调递增，不符合条件．
②当时，令得，
当，即时，，，
所以在(0，2)上单调递减，不符合条件；
当，即时，，，
所以在(0，2)上单调递增，不符合条件；
当，即时，在上单调递减，上单调递增，
若要在上有两个不相等的变号根，则解得．
综上所述，．
（2）设，，
令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．
（i）当时，，则，所以．
因为，，所以，因此在上单调递增．
（ii）当时，，则，所以．
因为，，，所以，因此在上单调递减．
综合（i）（ii）可知，当时，，
当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，
当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，
当，即时，
①当时，，要使，可令，即；
②当时，，要使，
可令，即，
所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2．
综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，
当时，关于x的方程根的个数为1，
当时，关于x的方程根的个数为2．
22．解：（1）略
（2）略