景胜中学 2021-2022学年度高三年级月考（ 1 月）
数学（文）试题
参考公式：
1
锥体的体积公式：V Sh（其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）．
3
一、选择题（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．）
1．已知集合 A {x |1 x 4},B x | x 2 2x 3 0 ，则 A B等于（ ）
A． ( 1,1] B． ( , 1] (1, ) C．[3,4) D． ( , 1] [3, )
6
2．已知复数 z满足 z ，则 | z | （ ）
1 i
A． 2 B． 2 2 C．3 D．3 2
3．已知向量a (1,3),b (m,4)，且b / /(2a b)，则 m的值为（ ）
4
A． B．2 C．4 D． 2或 4
3
4．已知圆锥的表面积为3 ，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
3 3 3
A． B． C． D． 3
6 3 2
5．魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于 1974年发明
的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔
方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶
魔方中 1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为
边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（ ）
2 8 4 1
A． B． C． D．
9 27 9 2
1 sin2
6．已知 2，则 tan 2 （ ）
2cos2 sin2
3 4 3 4
A． B． C． D．
4 3 4 3
7 F E : y2．已知点 是抛物线 2px(p 0)的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线 E上的两点，满足
| FA | | FB | 10,FA FB FO 0则 p （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
8．定义在 ( 1,1)上的函数 f (x)满足 f (x) g(x) g( x) 2，对任意的 x1, x2 ( 1,1), x1 x2，恒有
f x1 f x2 x1 x2 0，则关于 x的不等式 f (3x 1) f (x) 4的解集为（ ）
1
A , 1． B． ,0
1 2
C
． ,
D
． ,0
4 4 4 3
9 ．已知函数 f (x) 2sin x ( 0)的部分图象如图所示，则使 f (a x) f (a x) 0成立的 a
6
的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
6 5 4 3
10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC为鳖臑， PA 平
面 ABC,PA AB 2, AC 4，三棱锥 P ABC的四个顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为
（ ）
A．12 B． 20 C． 24 D．32
x2 y2 3
11．已知F1,F2 是双曲线C : 2 2 1(a 0,b 0)的左、右焦点，过点 F1且斜率为 的直线交 y轴a b 3
于点 N，交双曲线右支于点 M，若 |MN | F2N ，则双曲线 C的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
12．若存在实数 x y ln x x 3 e y e y， 满足 ，则 x y （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． e
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
x y 0,
13．设 x ，y满足 2x y 1, 则 x y的最小值是_______，最大值是_________．
x 2y 2,
14．曲线 y ln x x在点 (1, f (1))处的切线方程为________．
2
15．过点P(2, 3) 2作圆C : x y2 2x 0的两条切线，切点分别为 A，B，则 PA PB _______．
16．如图所示，在平面四边形 ABCD中， AB BD, AB BD,BC CD, AD 2，在 ABC 中，角 A，
B 2，C的对应边分别为 a，b，c，若 c 2abcosC，则 ACD的面积为__________．
三、解答题（共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（12分）设 an 是各项都为正的单调递增数列，已知 a1 4，且an满足关系式：an 1 an 4 2 an 1an ，
n N*．
（1）求 an 的通项公式；
1
（2）若bn ，求数列 b 的前 n项和 S ．an 1 n n
18．（12分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为 2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三
角板沿直角边折起形成三棱锥 A BCD，如图所示，其中 ABD 60 ，点 E，F，G分别是 AC,BC, AB
的中点．
（1）求证： EF 平面CDG；
（2）求三棱锥G ACD的体积．
19．（12分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球
兑奖的方式对观影卡充值满 200元的顾客进行减免，规定每人在装有 4个白球、2个红球的抽奖箱中一次
抽取两个球．已知抽出 1个白球减 20元，抽出 1个红球减 40元．
3
（1）求某顾客所获得的减免金额为 40元的概率；
（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于 80元的概率．
x2 y2
20．（2分）设椭圆C : 2 2 1(a b 0)，O为原点，点 A(4,0)是 x轴上一定点，已知椭圆的长轴a b
3
长等于 |OA |，离心率为 ．
2
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 l : y kx t与椭圆 C交于两个不同点 M，N，已知 M关于 y轴的对称点为M ，N关于原点 O
N 的对称点为 ，若点 A,M ,N 三点共线，求证：直线 l经过定点．
21 12 f (x) 2ln x ax 2．（ 分）已知函数 4ax 3a(a R) ．
（1）讨论函数 f (x)的单调性；
（2）对 x (1, )，都有 f (x) 0成立，求实数 a的取值范围．
22．[选修 4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 f (x) b | x | | x a | (a 0)．
（1）当b 1,a 2时，解不等式 f (x) 5；
（2）当b 2时，若不等式 f (x) 3对任意的 x R恒成立，求实数 a的取值范围．
4数学（文科）答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A B C A D B A B B C
4 2
13．答案：
3 3
14．答案：2x y 1 0 [或 y 1 2(x 1)，或 y 2x 1 ]（多种形式均得分）
3 2
15．答案： 16．答案：
2 2
17．解：（1）因为 an 1 an 4 2 a
*
n 1an ,n N ，所以 an 1 an 2 an 1an 4，
即 2an 1 an 4，
又 an 是各项为正的单调递增数列，所以 an 1 an 2， 3分
所以 an 是首项为 2，公差为 2的等差数列，
所以 an 2 2(n 1) 2n
2
，所以an 4n ． 6分
b 1 1 1 1 1 1（2） n 2
， 8分an 1 4n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
所以 Sn b1 b2 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 2
10分
3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 1 n
2
． 12分
2n 1 2n 1
18．解：（1）证明：根据已知得 AD BD，又 G为 AB的中点，所以DG AB， 2分
因为 AC BC ，G为 AB的中点，所以CG AB， 4分
又DG CG G,DG 平面CDG,CG 平面CDG，所以 AB 平面CDG， 5分
又因为 AB / /EF ，所以EF 平面CDG． 6分
（2）因为CD AD,CD BD，所以CD 平面 ABD，
取BD中点 H，连接 AH ,FH ，则 AH 平面 BDC， 8分
所以对于三棱锥 A BCD的体积，以三角形 BCD为底， AH 为高，
1
V 1 1 2 3所以 A BCD S3 BCD
AH 2 3 ， 10分
3 3
V 1V 1 3所以 G ACD 2 B ACD
V ． 12分
2 A BCD 3
19．解：（1）设 4个白球为 a，b，c，d，2个红球为 e，f，事件 A为顾客所获得的减免金额为 40元，
则 {ab,ac,ad ,ae,af ,bc,bd ,be,bf ,cd ,ce,cf ,de,df ,ef }，共 15种情况， 3分
A {ab,ac,ad ,bc,bd ,cd}，共 6种情况， 5分
6 2
所以顾客所获得的减免金额为 40元的概率为 P ． 6分
15 5
（2）设事件 B为顾客所获得的减免金额为 80元，则B {ef }，共 1种情况， 8分
1
所以顾客所获得的减免金额为 80元的概率为 P(B) ，
15
14
故减免金额低于 80元的概率 P 1 P(B) ． 12分
15
20．解：（1）由题意得， a 2,c 3 b2 a2 c2，所以 1． 3分
x2
所以椭圆 C的方程为 y2 1． 4分
4
（2）证明：设M x1, y1 ,N x2 , y 2 ，则M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
k y1 ,k y 2
AM x
．
1 4 AN 4 x2
因为点 A,M ,N 三点共线，
y y
所以 k k ，即 1 2 ， 6分AM AN x1 4 4 x2
y1 y2 y1 x2 4 y2 x1 4 所以 0，
x1 4 4 x2 x1 4 x2 4
整理得 2kx1x2 (t 4k) x1 x2 8t 0 ．① 7分
y kx t,
由 x2 得 1 4k 2 x2 8ktx 4t2 4 0， 8分
y
2 1,
4
8kt 4t 2
则 x1 x2 2 ,x1x
4
1 4k 2
， 9分
1 4k 2
2
代入①整理得 t k ， 11分
所以直线 l的方程为 y kx k，即直线 l恒过定点 ( 1,0)． 12分
2 ax2 2ax 1
21．解：（1 ） f (x) 2 2ax 4a (x 0)， 1分
x x
令 g(x) ax 2 2ax 1(x 0) ，
①当 a 0时， g(x) 1 0，
在 (0, ) 上， f (x) 0，所以 f (x)单调递增． 2分
2
②当 a 0时， 4a 4a 4a(a 1) 0 ，令 g(x) 0，
2
x a a a
2
得 1 ,x
a a a
2 ，且 x1 0 xa a 2
，
所以当 x 0, x 1 时， f (x) 0，所以 f (x)单调递增；
当 x x , 1 时， f (x) 0，所以 f (x)单调递减． 3分
③当 a 0时， 4a(a 1)，
当0 a 1时， 4a(a 1) 0，
在 (0, )上， f (x) 0，所以 f (x)单调递增． 4分
当 a 1时， 4a2 4a 4a(a 1) 0 ，令 g(x) 0，
x a a
2 a ,x a a
2 a
得 1 ，且0 x x ，a 2 a 1 2
所以当 x 0, x1 或 x x2 , 时， f (x) 0，所以 f (x)单调递增；
当 x x1, x 2 时， f (x) 0，所以 f (x)单调递减． 5分
综上可得：当 a 0时， f (x)在 0, x1 上单调递增，在 x1, 上单调递减；
当0 a 1时， f (x)在 (0, )上单调递增；
当 a 1时， f (x)在 0, x1 , x2, 上单调递增，在 x1, x2 上单调递减． 6分
（2）因为 f (1) 0，根据（1）的讨论可知，当0 a 1时，f (x)在 (0, )上单调递增，所以 f (x)在 (1, )
上单调递增，所以 f (x) f (1) 0成立． 8分
3
当 a 0时， f (x)在 x1, 上单调递减， x 时， f (x) ，
所以存在 x x1, 使得 f (x) 0，故此时不成立． 9分
当 a 1时， f (x)在 0, x1 , x2, 上单调递增；在 x1, x2 上单调递减，而
x a a
2 a 2
1 1 x
a a a
2 ，所以当 x 1, x2 时， f (x)单调递减，此时 f (x) f (1) 0，a a
不合题意． 11分
综上可得：0 a 1． 12分
22．解：（1）当b 1,a 2时，不等式 f (x) 5即为 | x | | x 2 | 5， 1分
法一：当 x x 2时，可得 x (x 2) 5 x 7，解得 ，则 2 x 7； 2分
2 2
当0 x 2时，可得 x (x 2) 5，即2 5，所以0 x 2； 3分
当 x 0时，可得 x (x 2) 5 x 3 3，解得 ，则 x 0． 4分
2 2
3 , 7 综上可得，原不等式的解集为 ． 5分 2 2
3 7
法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为 , ． 5分 2 2
（2）当b 2时，若不等式 f (x) 3对任意的 x R 恒成立，即为 f (x)min 3，
3x a, x a,
又 f (x) x a,0 x a, 6分
a 3x, x 0,
当 x a时， f (x) f (a) 2a； 7分
当0 x a时，a f (x) 2a； 8分
当 x 0时， f (x) a． 9分
故 f (x)min a，则a 3，即 a的取值范围是[3, )． 10分
4
