山西省太原第五高级中学校2021-2022学年高一上学期1月月考（二）数学试题（PDF版含答案）

太原五中 2021—2022 学年度第一学期月考（二）
高 一 数 学 8.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为 ，经过 天后体积
与天数 的关系式为 = · . 4已知新丸经过 50天后，体积变为 .若一个新丸体积变9
8
10 4 , 40 , 为 ，则需经过的天数为 ( )一、选择题（本大题共 小题，每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中，只 27
有一项是符合题目要求的） A. 125 B. 100 C. 75 D. 50
1.已知集合 = { | 2 4 + 3 < 0}， = { |4 > 8}，则 ∩ = 9.已知函数 ( )与 ( )分别是定义域上的奇函数与偶函数，且 ( ) + ( ) = 2 1
+1
3
A. (1, ) B. ( 3 , 3) C. (2,3) D. (1,3)
2 2 2，则 (2) = ( )
2.函数 ( ) = 1 log2( + 2)的定义域为 ( ) 2 7 11A. B. C. 3 D.3 3 3
A. [ 2,0] B. ( 2,0) C. ( 2,0] D. (0, +∞)
10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和
3.若函数 ( ) = ln + 2 + 1在区间 内有唯一的零点，则实数 的取值范围是
阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ∈ ，用
( ) 表示不超过 的最大整数，则 = 成为高斯函数，例如： 3.5 = 4， 2.1 = 2，
A. B. C. D. (1, 2) e 1
已知函数 =
1+e
，则函数 = + 的值域是( )
2
2 1 2, ≤ 1
4.已知函数 ( ) = ( + 1), > 1且 ( ) = 2，则 (4 ) = ( ) A. 0,1 B. 1 C. 1,0,1 D. 1,02
A. 32 B. 4 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）
1
= log 4 = log1 = 0.5 0.2 11.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角 的集合是5.设 5 ，则 3， ，则 ， ， 的大小关系是( )5
_________________________．
A. < < B. < < C. < < D. < <

12.已知半径为 1的扇形面积为 ，则此扇形的周长
6.函数 的单调递增区间为( ) 3
为 ．
A. ∞, 1 B. 2, +∞ C. ∞, 0 D. 1, +∞
13.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( 1) = 0，若 , ∈ ( ∞, 0)，且 1 ≠ 2时，
7.设函数 ( )是定义在实数集上的奇函数，在区间[ 1,0)上单调递增，且 ( + 2) = 1 2
1 ( 1) 2 ( 2)
( ) < 0( ) 恒成立，则不等式 (2 ) < 0 的解集为__________．，则有 1 2
|log |, 0 < ≤ 2
( 1
2
A. ) < ( 3 ) < (1) (1) < ( 3B. ) < ( 1 ) 14.已知函数 ( ) = 1 2 8 + 5, > 2，若函数 = 存在四个不同的零点3 2 2 3 3 3
C. (1) < ( 1 ) < ( 3 ) D. ( 3 ) < (1) < ( 1 ) 1, 2, 3, 4，则 1 + 2 + 3 + 4的取值范围是________．
3 2 2 3
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三．解答题（本大题共 4小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明步骤或演算步骤） lg3 lg8 lg16
(2)请你运用上述对数运算性质计算 的值;
15.（本题 10 分，每小问 5 分） lg 4 lg9 lg 27
1 3 - 2 - 2
-1
2 (3)因为 2
10 1024 103,1045 ,所以 210的位数为 4(一个自然数数位的个数,叫做位（1） （ 3 - 2） 27 6 16 4 - 2 8 3 - 2 4 5

2 数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断 2019
2020的位数.(注 lg 2019 3.305)
（2)2lg5 lg8 lg5 lg 20 (lg 2)2 7log7 5
3
18. （本题 12 分，第一问 3 分，第 2 问 4 分，第 3 问 5 分）
16. (本题 10 分，每问 5 分)
x
y f (x) f ( x
2 a
定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 满足 ) f (x) f (y) 已知定义域为 R 的函数 f x 是奇函数．，
y 2
x 1
（1）求实数 a 的值
且函数 f (x)在(0，＋∞)上是增函数。
（2）判断并且用定义证明 f x 的单调性
f t 3x f 3x 9x 2 0
(1)求 f ( 1)，并证明函数 y f (x)是偶函数； （3）若 t R，不等式 对任意的 x 1恒成立，求实数 t
的取值范围．
(2)若 f (4) 2，解不等式 f (x 5) f (3) 1。
x
17.（本题 12 分，每问 4 分）
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,
数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运
算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对
数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果
a 0 ,且 a 1,M 0 n,那么 loga M n loga M n R ;
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答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算，属于基础题．
可求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解： = { |1 < < 3}, = { | > 3 }；
2
∴ ∩ = ( 3 , 3)，
2
故选 B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查求函数的定义域，属于基础题，较易．
1 log2( + 2) ≥ 0根据 + 2 > 0 可以得出答案，
【解答】
1 log2( + 2) ≥ 0解：由题意可得 + 2 > 0 ，解得 2 < ≤ 0，所以函数 ( )的定义域为( 2,0]，
故选 C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性、零点判定定理的应用，是中档题．
函数 ( ) = + 2 + 1在区间(1, )内有唯一的零点，根据函数单调性及利用零点
判定定理列出不等式，求解即可求出 的范围．
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【解答】
解：函数 ( ) = + 2 + 1在区间(1, )内有唯一的零点，
当 > 0 时，函数 ( ) = + 2 + 1单调递增，
则 (1) ( ) < 0，
可得： (1 + 2 + 1) < 0，解得 ∈ ( 2, 0)．
故选 A．
4.【答案】
【解析】解：当 ≤ 1时， ( ) = 2 1 1 = 2，即2 1 = 1无解；
当 > 1 时， ( ) = log2 ( + 1) = 2，解得 = 3，
∴ (4 ) = (1) = 21 1 2 = 1．
故选： ．
先分段代解析式解方程，可解得 = 3，然后再求得 (1)．
本题考查了分段函数的应用，属中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了对数的运算及性质、指数运算及性质，大小比较，属于基础题．
1 1
利用指数运算及性质得到 0. 5 0.2 = 1 5 = 25 > 20 = 1,利用对数运算及性质得到 =
2
log 11 = log53 < log54 = < 13 ，由此得出结论．5
【解答】
1
解：利用指数运算及性质得到 0. 5 0.2 = 1 5
1
= 25 > 20 = 1,
2
1
利用对数运算及性质得到 = log1 = log 3 < log 4 = < 1
5 3
5 5 ，
所以 < < ．
故选 B．
6.【答案】
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【解析】
【分析】
本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能
力，属于中等题．
求出函数 的定义域，然后利用复合函数同增异减法则可求出函数
= 的单调递增区间．
【解答】
解：解不等式 2 2 > 0，可得 < 0或 > 2，
所以函数 = 的定义域为 ．
内层函数 = 2 2 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，
外层函数 = log1 在 0, + ∞ 上为减函数，
2
2
由复合函数同增异减法则可知，函数 ( ) = log1( 2 )的单调递增区间为 ．
2
故选 C．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．
3 1 1
根据题意，可得 ( ) = ( ) = ( )，结合函数的奇偶性与单调性分析可得 ( )在
2 2 2
区间(0,1] 1 1上单调递增，进而可得 ( ) < ( ) < (1)，进而分析可得答案．
3 2
【解答】
解：根据题意，函数 ( )满足 ( + 2) = ( )，
= 1 ( 3当 时，有 ) = ( 1 ) = ( 1 )，
2 2 2 2
函数 ( )是定义在实数集上的奇函数，在区间[ 1,0)上单调递增，
则 ( )在区间(0,1]上单调递增，
( 1 1则有 ) < ( ) < (1)，
3 2
1 3
则有 ( ) < ( ) < (1)，
3 2
故选： ．
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8.【答案】
【解析】
【分析】
= 50 = 4 8由题意得 ，可令 天后体积变为 ，即有 = = 8 ，由此能
9 27 27
求出结果．
本题考查函数在生产生活中的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的
隐含条件，合理建立方程．
【解答】
4 1
解：由已知，得 = 50 ，∴ 9 = (
4 )50．
9
8 8设经过 1天后，一个新丸体积变为 ，则 = 1，27 27
1 3
∴ 8 = ( ) 1 = ( 4 ) 150，∴ = ， 1 = 75．27 9 50 2
故选 C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，属于中档题．
利用奇偶性的性质即可求解．
【解答】
解：由题意，函数 ( )与 ( )分别是定义域上的奇函数与偶函数，且
1
因为 ( ) + ( ) = 2 2，
+1
所以 (2) + (2) = 5①，
3
又因为函数 ( )与 ( )分别是定义域上的奇函数与偶函数，
则有 ( 2) + ( 2) = (2) + (2) = 3②
联立①②得 (2) = 2，
3
故选 A．
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10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，定义域、值域的求解，属于中档题．
( ) = 1

根据 ) = ( ) e 12( +1) ，可知函数为奇函数，再根据 = ，化简得1+e 2
( ) = 1 1 1 1 ，得到 <
1
<
1
，再分 ( ) ∈ ( 1 , 0) 1， ( ) ∈ (0, )， ( ) = 0
2 +1 2 2 +1 2 2 2
求得[ ( )]和[ ( )]的值即可得解．
【解答】
1 1
解：∵ ( ) = ( ) = = ( )2( +1)， 2( +1) ，
∴ ( )为奇函数，

由 = e
1
，化简得 ( ) = 1 1 ，1+e 2 2 +1
∵ + 1 > 1，
∴ 0 < 1 < 1， +1
∴ 1 < 1 1 < 1
2 2
，
+1 2
∴当 ( ) ∈ ( 1 , 0)时，[ ( )] = 1，[ ( )] = 0，
2
当 ( ) ∈ (0, 1 )时，[ ( )] = 0，[ ( 1)] = 1，
2
当 ( ) = 0 时，[ ( ) ] = 0，[ ( ) ] = 0，
所以函数 = [ ( )] + [ ( )]的值域为{ 1,0}．
故选 D．
11. 3 【答案】 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ 6 4
【解析】
【分析】
本题考查终边相同的角的集合和象限角，属于基础题．
利用终边相同的角的集合，结合已知图象即可解答．
【解答】
解：由题意，得与 终边相同的角可表示为 ，
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与 终边相同的角可表示为 ，
3
故角 的集合是 + 2 ≤ ≤ + 2 , ∈ ，
6 4
3
故答案为 | + 2 + 2 , ∈ ．
6 4
12. 2 【答案】 + 23
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是一般题．
根据题意，设出扇形的圆心角，根据扇形的面积公式求出圆心角，再求扇形的周长．
【解答】解：设扇形的圆心角为 ，则扇形的弧长为 = = ；
1 1 2
扇形的面积为 = = = ，解得 = ；
2 2 3 3
∴ = 2 弧长为 ，
3
+ 2 = 2 扇形的周长为 + 2．
3
2
故答案为： + 2．
3
13.【答案】( 1 , 0) ∪ (0, 1 )2 2
【解析】
【分析】
解答本题的关键是借助题设中的函数的奇偶性与单调性，进而运用分类整合思想，数形
结合从而将问题进行等价转化从而使得问题获解．
【解答】
解：由题设可知函数 ( ) = ( )是偶函数且在区间( ∞,0)内的单调递减函数， (
1) = (1) = 0．
结合函数的图像，所以原不等式可化为 2 (2 ) < 0，即 0 < 2 < 1 或 1 < 2 < 0，
1则 < < 0 或 0 < < 1，
2 2
故答案( 1 , 0) ∪ (0, 1 )．
2 2
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14. 21【答案】(10, )2
【解析】
【分析】
本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．
作出 ( )的函数图象，根据图象得出 和各零点的范围，然后根据函数图象可求出 1 +
2的范围和 3 + 4的值，即可求出答案．
【解答】
解：作出 ( )的函数图象如图所示：
由图象可知当 0 < < 1 时，方程 ( ) = 有 4个解，
设 ( )的 4个零点从小到大为 1 < 2 < 3 < 4，
由函数图象可知
= 1所以 2 , ∈
1 , 1
11 2
由函数图象的对称性可知 3 + 4 = 8，
∴ 1 11 + 2 + 3 + 4 = 1 + + 8 ， 1 ∈ , 11 2
1 1
根据对勾函数单调性， 1 ∈ , 1 时， 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + + 8 递减，所以 2 1 1 +
2 + 3 + 4的取值范围为(10,
21 )，
2
故答案为(10, 21 ).
2
三．解答题（44分）
15 本题 12分
1 =15（ ）原式 ; ----------6分2
(2) 原式=8 ----------12分
16. (本题 10 分，每问 5 分)
解：(1)令 x＝y≠0，则 f(1)＝f(x)－f(x)＝0.---------------1分
再令 x＝1，y＝－1可得 f(－1)＝f(1)－f(－1)
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＝－f(－1)，∴f(－1)＝0. -----------3分
证明：令 y＝－1可得 f(－x)＝f(x)－f(－1)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数． ----------------5分
(2)∵f(2)＝f(4)－f(2)，∴f(2) 1＝ f(4)＝1.
2
x2－5x
2
又 f(x－5)－f(3)＝f(x －5x)，∴f 3 ≤f(2)． -------------7分
x 3
∵f(x)是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，
x2－5x x2－5x
∴－2≤ ≤2且 ≠0， -------------8分
3 3
解得－1≤x＜0或 0＜x≤2或 3≤x＜5或 5＜x≤6. -----------9分
所以不等式的解集为{x|－1≤x＜0或 0＜x≤2或 3≤x＜5或 5＜x≤6}．--------10分
17
17.【答案】(1)见解析(2) (3)
12 2019
2020的位数为 6677
【详解】
(1)设 x logaM
所以M ax
所以M n ax n anx
所以 loga M
n nx n loga M ,得证. ---------------4分
(2)
lg3 lg8 lg16 lg3 lg 2 3 lg 2 4

lg 4 lg9 lg 27

lg 2
2 lg3 2 lg33
lg3 3lg 2 4lg 2

2lg 2 2lg3 3lg3


lg3 17lg2

2lg2 6lg3
17
. ---------------8分
12
（3)设10k 20192020 10k 1 , k N*
所以 k lg20192020 k 1
所以 k 2020lg2019 k 1
所以 k 2020 3.305 k 1
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所以6675.1 k 6676.1
因为 k N*
所以 k 6676
所以 20192020的位数为 6677 ---------------12分
18. 1 因为 f x 是定义在 R上的奇函数，所以 f 0 0 1 a，即 0，解得 a 1，
1 1
x
经验证 a 1 2 1时， f x 是定义在 R上的奇函数， 故 ；
2x
a 1
1
---------------4分
x
2 f x 2 1 1 2 ，故 f x 在 R上是递减函数．
2x 1 2x 1
证明：任设 x1 x2，
2 2 2 2x1 2 x3 f x1 f (x2 f x2 1 1 ,2x1 1 2x2 1 2x1 1 2x2 1
x1 x2 ， 2 x1 2 x2 ， f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，
故 f x 是定义在 R上的递减函数．---------------8分
3 f t 3x f 3x 9x 2 0， f t 3x f 3x 9x 2 ，
因为 f x x x x是 R上的奇函数， f t 3 f 3 9 2 ，
f x 是 R上的递减函数， t 3x 3x 9x 2，
x
t 3 9
x 2 x 2 对任意的 x 1, 恒成立，
3x
1 3
3x
令 g x 2 1 3x
3x
，则 g x 在 1, 上是递增函数，
g(x)min g 1
4
t 4 4 g(x)min t ---------------12分3 3 3
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