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3.4.2圆周角和圆心角的关系教学设计
课题 3.4.2圆周角和圆心角的关系 单元 3 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.掌握圆周角定理的两个推论，会熟练运用这两个推论解决相关问题. 2.掌握圆内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用．
重点 圆周角定理的两个推论及圆内接四边形性质的应用．
难点 理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.什么是圆周角？ 2.什么是圆周角定理？ 学生自由讨论回答 通过两个简单的练习，复习第1课时学习的圆周角和圆心角的关系．既可复习旧知，亦可为新课的学习做好铺垫.
讲授新课 如图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？ 运用量角器得直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC＝180°，所以∠BAC＝90°. 得出圆周角定理推论二：直径所对的圆周角是直角 想一想：反过来，如图3－4－73，圆周角∠BAC＝90°，弦BC是直径吗？为什么？ 连接OB，OC， ∵圆周角∠BAC＝90°，∴圆心角∠BOC＝180°，即BOC是一条线段，所以BC是⊙O的一条直径． 师重点提示：这里要分别连接OB，OC，而不是直接连接BC. 得出圆周角定理推论三：90°的圆周角所对的弦是直径． 议一议 （1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？ （2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 BCD 之间关系还成立吗？为什么？ 回答：∠BAD＋∠BCD＝180°.并说明理由：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 归纳： 圆内接四边形的概念： 四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆(课件出示). 推论：总结圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 想一想： 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？ 推论： 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 学生动手操作，作出直径BC不同方向的圆周角，完成后运用自己的方法进行判断． 学生分组讨论，统一意见，师参与其中，及时给予指点．代表发言：弦BC是直径 学生在小组内交流、汇总，并在全班交流，补充. 教师引导学生观察、分析图形，得出推论 教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、总结规律，充分发挥学生的主体作用. 通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生逐步得出探究问题的数学思想方法——由特殊到一般． 活动的设计意在通过一系列的引导性问题，引导学生积极地去观察图形并思考，使学生主动地参与知识的形成，又能让学生体验获得新知的快乐，更有助于提高学生的能力
课堂练习 1．如图,☉O的直径AB=4,点C在☉上.若∠ABC=30°,则AC的长为( ) A.1 B. C. D.2 2.如图,AD是☉O的直径,若∠B=40°,则∠DAC的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 3. 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点. 若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 . 4.如图,四边形ABCD是平行四边形,☉O经过点A,C,D,与BC交于点E,连接AE.若∠D=70°,则∠BAE= °. 5. 如图,☉C经过原点,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上的一点.若∠BMO=120°,求☉C的半径长. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §3.4.2 圆周角与圆心角的关系 推论一 推论二 三、圆内接四边形的定义及推论
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3.4.2圆周角与圆心角的关系
北师大版 九年级下册
问题导入
1.什么是圆周角？
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
2.什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
新知讲解
B
C
O
A
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
新知讲解
如图，圆周角∠A = 90°，弦 BC 是直径吗？为什么？
∴∠BOC =2∠A = 180°，
∴弦 BC 是直径.
B
C
O
A
归纳总结
推论 直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
典例精析
例、如图，⊙O的直径AB =10cm，C 为⊙O上一点，∠B = 30°，求AC的长.
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB中，
sin∠ABC＝，
∴AC＝AB sin∠ABC＝10×sin30°
＝10×＝5(cm)．
∴AC的长为5 cm.
点拨
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
练一练
如图所示，已知经过原点的⊙ P 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ACB 的度数是（ ）
80°
B. 90°
C. 100°
D. 无法确定
B
议一议
B
C
O
D
A
（1）如图，A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与 ∠BCD 之间有什么关系？为什么？
∴∠BAD =∠BCD = 90°.
∵直径所对的圆周角是直角.
∴∠BAD +∠BCD =180°.
新知讲解
（2）如图，点C 的位置发生了变化，∠BAD 与 BCD 之间关系还成立吗？为什么？
∠BAD +∠BCD =180°还成立.
B
C
O
D
A
解：连接OB，OD
∵ ∠BAD = ∠1 ， ∠BCD = ∠2
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
1
2
新知讲解
B
C
O
D
A
B
C
O
D
A
在上面两图中，四边形 ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
归纳
圆内接四边形的对角互补.
推论
想一想
如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
B
C
O
D
A
E
根据圆内接四边形的对角互补，
∠A +∠BCD =180° .
又∠BCD +∠DCE =180° .
∴∠A =∠DCE .
练一练
1.如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠C=1∶2,则∠A的度数等于( )
A.30° B.45° C.60° D.80°
2.如图,已知四边形ABCD内接于半径为4的☉O中,且∠C=2∠A,则BD= .
4
C
典例精析
例、在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
变式训练
已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
解：延长AO至D，交圆于点D，连接BD
∴∠ABD=90°
∵∠OAB=40°
∴∠ADB=50°
∴∠C=180°-50°=130°
A
O
D
B
C
归纳
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想
直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，
遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中
作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行
两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之
间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等
的问题.
课堂练习
1．如图,☉O的直径AB=4,点C在☉上.若∠ABC=30°,则AC的长为( )
A.1 B. C. D.2
2.如图,AD是☉O的直径,若∠B=40°,则∠DAC的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
D
C
课堂练习
3. 如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点.
若BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 .
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,☉O经过点A,C,D,与BC交于点E,连接AE.若∠D=70°,则∠BAE= °.
2
40
课堂练习
5. 如图,☉C经过原点,且与两坐标轴分别交于点A,B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上的一点.若∠BMO=120°,求☉C 的半径长.
解:∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°.
∵∠AOB=90°,
∴∠ABO=30°,
∴AB=2OA=6.
∵AB是☉C的直径,
∴☉C的半径为3.
作业布置
1.课本第83页习题3.5第1、2、3题
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，过A，C，D三点的圆交BA的延长线于点E，连接EC.
(1)求∠E的度数；
(2)若AB＝6，BC＝10，求AE的长．
课堂小结
圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径.
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