人教版数学八年级下册18.2.3 正方形正方形课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
18.2.3 正方形
回顾：平行四边形,矩形与菱形有哪些性质
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等且互相平分
边：
对边平行且相等
具有平行四边形所有性质
菱形的性质
菱形的性质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
对角相等,邻角互补
具有平行四边形一切性质
角：
平行四边形
情境一： 观察体会
有一个直角
有一个直角
矩形
有一个直角
矩形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
你能给正方形下一个定义吗？
问题:
情景二
图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？
当CD移动到C D 位置，此时AD ＝AB，四边形ABCD还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
正方形是特殊的矩形
两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD
矩 形
正方形
〃
〃
矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢
探究（一）
菱 形
∟
∟
∟
∟
正方形
探 究（二）
菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
如何来给正方形下定义？
正方形定义
1、有一个角是直角且邻边相等的平行四边形叫做正方形；
2、有一个角是直角的菱形是正方形；
3、有一组邻边相等的矩形是正方形
正方形是特殊的平行四边形，又是特殊的菱形，特殊的矩形，你能猜出它具有怎样的性质？
边
对角线
角
正方形对边平行 四边相等
正方形的四个角都是直角
正方形的对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
A
B
C
D
O
正方形是中心对称图形，它也是轴对称图形
正方形是一个完美的图形
对称性
特征
正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性
平行四边形
中心对称图形
（对角线的交点）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（两条）
即是中心对称图形，
又是轴对称图形（四条）
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间的关系：
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
(1)
(2)
(3)
(4)
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
平行四边形
矩形
四边形
菱形
正
方
形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系
正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角互补.
D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
例题解析
学一学

O
A
B
C
D
例.求证：正方形的两条对角线把
这个正方形分成四个全等的等腰直
角三角形。
分析
分
析
：
这是一道几何命题的证明,该怎么做
你会做吗
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知
第三步：写出求证
第四步:进行证明
图中共有多少个
等腰直角三角形？
学一学

例1. 如图，在正方ABCD中，对角线AC、BD相交于O，
1)图中有多少个等腰直角三角形
2)说出图中相等的线段、相等的角。
3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
O
A
B
C
D
答案：1、八个 △ABC△BCD △CDA △DAB △AOB △AOD △BOC △COD
2 AB=BC=CD=DA AC=BD
OA=OB=OC=OD
3答案见课本107页
例2.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG
解：
因为四边形ABCD是正方形
根据正方形的四边相等，得
AD=CD
又知四边形DEFG也是正方形
所以 DE=DG
又因为正方形的每个内角为90°
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
所以∠ADE＝∠CDG
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD
所以AE=CG
A
B
C
D
E
F
G
已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
1
2
3
练一练
证明：（1）∵ ABCD是正方形
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°
在△ABF与△ADC中
AD=AB
∠ADE=∠ABF=90°
DE=BF
∴ △ABF≌△ADE（SAS）
∴ FA=EA ,∠1=∠3
（2）∵∠2+∠3=90 °
∴∠1+∠2=90 °
∴ EA⊥FA
1
2
3
A
C
B
D
E
１．若O点移动至E点时，连接AE、CE，你有那些结论？
想一想：
该怎样证明这些结论？
O
变一变
如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
3.一正方形对角线长为4,则它的面积为 ．
8
A
B
C
D
1．正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的 __________________
2.一正方形边长为4,则它的面积为 ．
16
等腰直角三角形
4.正方形ABCD的面积是9cm2。则AB=________AC=___________
3cm
3.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（ ）
A B
C D
E
F
C
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
（4） ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，经测量EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
A
B
C
E
课本课堂练习P101
解：
连接AC.
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠B=90°，AB=BC
∵ EC=30m，EB=10m
∴ S正方形ABCD=( )2=800(m2)
∴
∴
练习5．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF　　　　　　　　　　　　　　
证明：
6.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两
正方形重合部分的
面积是
A D
B C
O
P
Q
R
大显身手
7、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。
（1）求证：AE=CG
（2）观察图形，
猜想AE与CG的位置
关系，并证明你的
猜想。
A
B D E
C
G F
8、如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：
⑴CE=BG；
⑵EG=2AM．
H
M
E
D
F
G
B
C
A
归纳
1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。
2.正方形的四条边都相等。
3.正方形的四个角都相等。
4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角。
O
A
B
C
D
有 一组邻边相等 并且 有一个角是直角
平行四边形 是 正方形
的
对边平行且相等
每条对角线平分一组对角
对角线相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
四个角都是直角
对角相等
四条边都相等
性质
正方形
菱形
矩形
平行四边形
图形
小结
√
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