西宁市普高联考2021-2022学年第一学期期末高二数学试卷答案
选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D A C B B C B D B 理：D 文：A 理：C 文：A
填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13、。
14、
15、4x－3y－5＝0或x＝2
16．
解答题（本题共6小题，17题10分，18-22每题12分）
17、已知直线.
（1）求过点且与直线l垂直的直线的方程；
（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值.
【解析】直线的斜率为.
与直线垂直的直线斜率为，
所以所求直线方程为，
故所求的直线方程为；
（2）
直线l与两坐标轴的交点分别为，
则所围成的三角形面积为，
由题意可知，
化简得，
解得或.
18．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：面面．
证明：连接AC，交BD于O，连接OE，
在△CAP中，CO=OA，CE=EP，∴，
又∵平面BDE，平面BDE，∴平面BDE；
（2）
证明：∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，
又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.
∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD；
19、在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.
解析（1）由题意得，过点且与直线垂直的直线方程为：
由，解得： 圆心的坐标为
圆的半径：
圆的方程为：
（2）因为直线被圆截得的张长为
圆心到直线的距离：
若直线的斜率不存在，则为直线，此时圆心到的距离为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为：，即
由，整理得：
解得：或
直线的方程为：或
20、已知抛物线（）的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，M（3，2）是线段PQ的中点，求直线的方程.
解析解：（1）由抛物线性质知：的面积，
∴,
∴所求抛物线的标准方程为；
（2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，
设，，由，在抛物线上得：
，相式相减化简得：
又∵，，代入上式解得：.
故所求直线的方程为：.
即.
21（理科）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【详解】
（1）连接，
，分别为，中点 为的中位线
且
又为中点，且 且
四边形为平行四边形
，又平面，平面
平面
（2）设，
由直四棱柱性质可知：平面
四边形为菱形
则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则：，，，D（0，-1,0）
取中点，连接，则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面，平面
平面，即平面
为平面的一个法向量，且
设平面的法向量，又，
，令，则，
二面角的正弦值为：
21（文科）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
解：
（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.
从而点C到平面的距离为.
22、已知椭圆C：（a>b>0)， 直线经过椭圆的上顶点和右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A， B两点.若的面积为，求直线l的方程.
（1）；（2）或或或.
【分析】
（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出、的值，进而可求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，设点、，于是得出的面积为，将直线的方程与椭圆的方程联立，将韦达定理代入的面积表达式可求出的值，从而可得出直线的方程．
【详解】（1）由，令可得；令可得；
因为直线经过椭圆的上顶点和右焦点，
所以半焦距为，短半轴长为，因此，
所以，椭圆的方程为；
（2）由（1）可得，
设过的直线方程为，
由消去，整理得，
显然.
设，，则，，
从而.
所以，解得或
所以直线的方程为或，或.西宁市2021-2022学年高二上学期期末联考
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2、抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3．“”是“直线：和直线：互相平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、下列有关命题的说法错误的是（ ）
A. 若“”为假命题，则、均为假命题；
B. 若、是两个不同平面，，，则；
C. 若直线l过点（2,2）且在两坐标轴截距相等，则直线l的方程为x+y-2=0
D. 若命题：，，则命题：：，.
5．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为，顶角为的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
6．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列说法：
①诺，则； ②若，则
③若，则； ④若，则；
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A. 8 B. 4 C. D.
8、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9、关于直线和圆．下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距为2 B．直线恒过定点
C．若直线与圆相切，则直线与圆的位置关系是相交
D．圆上点，圆上点，则的最大值为
10、已知抛物线C：的焦点为F，准线为，点A是抛物线C上一点，于D.若，，则抛物线C的方程为（ ）
A. B. C. D.
11（文科）已知双曲线的一条渐近线与圆相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
11（理科）已知F为椭圆C: ＝1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|,∠POF=120°,则椭圆C的离心率为
A. B. C. －1 D. －1
12（文科）已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，的斜率分别为，则
A． B． C． D．
12（理科）知椭圆C：的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13、已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在X轴上，则圆C的方程为___________。
14、已知圆锥展开图的侧面积为π，且为半圆，则底面半径为_______．
15、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，且点A(5，0)到l的距离为3，则直线l的方程为________．
16．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为_______。
解答题（本题共6小题，17题10分，18-22每题12分）
17、已知直线.
（1）求过点且与直线l垂直的直线的方程；
（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值.
18．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：面面．
在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线上，且圆M与直线相切于点.
求圆M的方程；
过坐标原点O的直线被圆M截得的弦长为，求直线的方程.
20、已知抛物线（）的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线与抛物线C交于P，Q两点，M（3，2）是线段PQ的中点，求直线的方程.
21（理科）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
21（文科）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
已知椭圆C：（a>b>0)， 直线经过椭圆的上顶点和右焦点.
求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线l与椭圆C相交于A， B两点.若的面积为，求直线l的方程.
