河北省邯郸市武安市第一高级中学校2022届高三1月第四次调研考试数学试题（PDF版含答案）

武安一中 2022 届高三第四次调研考试 1 AP A B 9 AC8．已知 AB AC， AB ， AC t，若 P点是 ABC 所在平面内一点，且 t AB AC ，则 PB PC的
数学试卷
最大值等于（ ）
时间：120 分钟 总分：150 分
一、单选题 A．16 B．4 C．82 D．76
z z 1 i 3 i 二、多选题1．设复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为 x1, x2 , , xn，则下列说法正确的是（ ）
A． z的虚部为 2i B． z 5 C． z为纯虚数 D．在复平面内， z对应的点位于第二象限
A．若数据 x 21, x2 , , xn，方差 s 0，则所有的数据 xi (i 1,2, ,n)相同
2．在圆柱O1O2内有一个球O，球O分别与圆柱O1O2的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若O1O2 2，
则圆柱O1O 的表面积为（ ）. B．若数据 x2 1, x2 , , xn，的均值为 3，则数据 yi 2xi 1(i 1,2, ,n)的均值为 6
A． 4 B． 5 C．6 D． 7 C．若数据 x1, x2 , , xn，的中位数为 90，则可以估计总体中有至少有50%的数据不大于 90
5
3．若随机变量 X B 5, p ，D X ，则 E X 4 （ ） D．若数据 x1, x2 , , xn，的众数为 78，则可以说总体中的众数为 78
1 1 15 5
A． B． C． D．
5 4 16 2 10．已知 ， 是两个不同的平面，m，n， l是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）

4． 1
1
(a x)
4
的展开式中 x3x 的系数为 6，则实数
a的值为（ ）
A．若m ，n ，则m∥n B．若 ，m ， n ，则m n
3 5 7 9
A． B． C． D．
4 4 4 4 C．若 l，m∥ ，m∥ ，则m∥ l D．若 l，m ，m l ，则m
5．某城市的汽车牌照号码由 2个英文字母后接 4个数字组成，其中 4个数字互不相同的牌照号码共有
11．甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3个黑球，乙罐中有 4个红球，3个白球和 3 个黑球．先从甲罐中随
（ ）个
机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中
2 2 2
A． A2610
4 2 4
B． A A C． C126 10 26 104 D． C1 426 A10
随机取出一球，以 B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
6．马林·梅森(MarinMersenne，1588-1648)是 17 世纪法国数学家．他在欧几里得、费马等人研究的基
A． P B 2 B． P B | A1
5
C．事件 B与事件 A1相互独立 D． A1， A2， A3是两两互斥的事件
础上深入地研究了 2 p 1型的数．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2 p 1(其中 p是素数) 5 11
的素数，称为梅森素数．在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率 12．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 2，点 P在线段 BC1上运动，点Q在线段 AA1上运动，则下列
是（ ） 说法中正确的有（ ）
3 5 13 19
A． B． C． D． A．三棱锥 A D1PC的体积为定值 B．线段 PQ长度的最小值为 27 12 28 55
7．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC为鳖臑，PA 平面 ABC， C．当 P为 BC1的中点时，三棱锥 P ABB1的外接球表面积为2
PA AB 2， AC 4，三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
D．平面 BPQ截该正方体所得截面可能为三角形 四边形 五边形
A．12 B． 20 C． 24 D． 32
1
男生 40 50
第 II 卷（非选择题）
三、填空题
女生
13．已知单位向量 e1 ， e2 的夹角为120 ，向量 a e1 2e2 ，b 2e1 e2 ，则向量 a，b夹角的余弦值
总计 30
为________．
（Ⅰ）补全 2 2列联表，并根据表中数据判断是否有 95％的把握认为“选考物理与性别有关”；
14．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现
（Ⅱ）从这 100 人中按照分层抽样的方法选取 10 人参加座谈会.试问参加座谈会的人中，选考物理的男
从中随机抽出 100 名司机，已知抽到的司机年龄都在
生和选考历史的女生分别有多少人？
[20，45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残
2
缺的频率直方图如图所示，利用这个残缺的频率直方图 n ad bc
参考公式：K 2 ，其中 n a b c d．
a b c d a c b d
估计该市出租车司机年龄的中位数大约是
参考数据：
________．(保留一位小数点)
2
15．在某市 2020年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布 N 98,100 .已知参加 P K k0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
本次考试的全市理科学生约100000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
排在全市第______名.
（参考数值：P X 0.6826，P 2 X 2 0.9544，P 3 X 3 0.9974）
18．如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，平面 PCD 平面 ABCD, AB 2,BC 1，
16．如图，将由六个边长为 3 的正三角形构成的平行四边形形状的纸片沿虚线折起，制作了一个粽子形
PC PD 2,E为 PB中点．
状的六面体模型，则该六面体的体积为__________；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
__________.
四、解答题
17．据悉，我省将从 2022 年开始进入“ 3 1 2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一
高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四 （1）求证： PD 平面 PBC；
科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级 1500 名学生的选科倾向，随机抽取了 100 人，统 （2）求三棱锥 E ABC的体积．
计选考科目人数如下表：
选考物理 选考历史 总计
2
19．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，湖北除武汉以外的地市，医疗资源和患者需求之间也存在矛盾.国 22．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发
家卫健委宣布建立 16 个省支援武汉以外地市的一一对口支援关系，以“一省包一市”的方式，全力支持 货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账 微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据 2019年中
湖北省加强对患者的救治工作.在接到上级通知后，某医院部门马上召开动员会，迅速组织队伍，在报名 国消费者信息研究，超过 40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激
请战的 6 名医生（其中男医生 4 人、女医生 2 人）中，任选 3 人奔赴湖北新冠肺炎防治一线. 增，越来越多的消费者也首次通过第三方 APP 品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营
（1）设所选 3 人中女医生人数为 X ，求 X 的分布列及期望； 店统计了 2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数 yi和时间第 xi 天间的数据，列表如下：
（2）设“男医生甲被选中”为事件A，“女医生乙被选中”为事件 B，求 P(B)和 P(B | A) .
xi 1 2 3 4 5
20．澳大利亚 Argyle 钻石矿石全球最重要的粉钻和红钻出产地，占全球供应的 90%．该钻石矿曾发现一 yi 75 84 93 98 100
颗 28.84ct 的宝石级钻石原石——[ArgyleOctavia]，为
（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数 y与时间 x之间的关系？若可用，估计8月10日
该矿区 27 年来发现最大的钻石原石之一．如图，这颗钻
到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若 | r | 0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模
石拥有完整的正八面体晶形，其命名[ArgyleOctavia]特
型拟合，计算 r时精确到0.01).
别强调钻石的正八面体特征——[Octavia]在拉丁语中
n
xi x yi y
是[第八]的意思．如图设 为随机变量，从棱长为 1 的 参考数据： 4340 65.88.附：相关系数 r i 1n n ，回归直线方程的斜率
xi x 2 yi y 2
i 1 i 1
正八面体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距
n
xi x yi y
离；当两条棱异面时， 2． b i 1 n ，截距 a y bx .
x x 2i
（1）求概率 P 0 ； i 1
（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取 7人，再从这 7人中任取3人
（2）求 的分布列，并求其数学期望 E ．
进行奖励，求这3人取自不同天的概率.
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一
21．如图，在四棱锥 P ABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，AD DP，AB / /CD， ADC 90 ．且 1次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，
3
AD CD PD 2AB 2．
中奖两次打8折，中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学
（I）求证： AB / /平面 PCD；
期望的角度分析选哪种方案更优惠.
（Ⅱ）求证： AB 平面 PAD；
（Ⅲ）求二面角 A PB C 的余弦值
3
高三第四次调研考试---答案 因为每次取一球，所以 A1， A2， A3是两两互斥的事件，故 D 正确；
1．B 2．C 3．D 4．B 5．D 5
5
5
6．C 因为 P A1 ,P A2
2 ,P A 3 P(B A ) P(BA1) 5 ，所以 10 11
10 10 3 10 1 P(A 5
，故 B 正确；
1) 11
10
可知不超过 20 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，共 8 个，其中梅森素数有 3，7 共 2 个
2 4 3 4
2
则在不超过 20 的素数中，随机选取两个不同的数共有C8 28种，其中至少有一个为梅森素数有 P(B A ) P(BA2 ) 10 11 4 ,P(B A ) P(BA3) 4同理 10 112 ，P(A 2 3 32 ) 11 P(A3) 11
C1C1 C 2 13种，所以至少有一个为梅森素数的概率是 P 13 .故选：C. 10 102 6 2 28
P(B) P(BA ) P(BA ) P(BA ) 5 5 2 4 3 4 97．B 所以 1 2 3 ，故 AC 错误；故选：BD10 11 10 11 10 11 22
将三棱锥 P ABC放在一个长方体中，如图示： 12．AB
则三棱锥 P ABC的外接球就是一个长方体的外接球，因为 PA AB 2， 如图，由正方体 ABCD A1B1C1D1 可得D1C1 //AB,D1C1=AB,
AC 4， ABC 为直角三角形，所以BC AC2 AB2 42 22 2 3 .
故四边形D1C1BA为平行四边形，故 BC1 //AD1，而 BC1 平面 AD1C，
2
设长方体的外接球的半径为 R，则 2R 4 4 12 20，故 R2 5 . AD1 平面 AD1C，故 BC1 //平面 AD1C，∴ BC1上任一点到平面
所以外接球的表面积为 S 4 R2 20 .故选：B. AD1C距离为定值，即 P到平面 AD1C距离为定值，而 AD1C面积为
8．D
定值，∴故VP AD C为定值，A 对. PQmin AB 2，B 对.1
1
以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，则 B ,0 ，
t ∵底面△ABB1为等腰直角三角形，且边长为 2，∴△ABB1外接圆半径为 2，

C 0, t t 0 ， AB 1 , 0

， AC 0,t
1 1
， ∵三棱锥 P ABB1的高为 B1C1 2 1， t 2 2
1
1
AP t , 0
9 0, t 1,9 P 1,9 PB 1 1, 9 PC 如图，取 AB 的中点为 ，连接MP,MB，则MP AC 2，故，即 ， ， 1,t 9 1 M，
t t t
2

MP MB1 MA MB 2，故M 为三棱锥 P ABB1的外接球的球心，

PB PC 1 1 9t 81 82 9t 1 1 1 9t 1 1 ， t 0， 9t 2 9t 6（当且仅当 ，即 t t t t t t 3 且半径为 2，故表面积为8 ，故 C 不对.

时取等号）， PB PC 82 6 76.故选：D. 如下图所示：平面 BPQ截该正方体所得截面可能为三角形 四边形，不可
9．AC 10．AC 能为五边形，故 D 错.故选：AB.
11．BD 21
13． 14．33.6 15．15870
14
1
9 2 8 6 （2）取CD的中点M ，连结PM，因为 PC PD 2,CD AB 2,M 是CD的中点，所以
16．
2 27
PM CD，且 PM 1，
1 1 3 3 9 2
【详解】易得该六面体为两个正四面体的组合体，所以体积为V 2 6 3 ;
3 2 2 2 因为平面 PCD 平面 ABCD,PM 平面 PCD，平面 PCD 平面
1 3 27 3
设该六面体的内切球的半径为 r，则V S r(S 为该六面体的表面积 )， S 6 32 ，所以
3 4 2 ABCD CD，
4
r 2 3 8 6 9 2 8 6，则该六面体的内切球的体积为 r ;故答案为： ； ． 所以 PM 平面 ABCD，
3 3 27 2 27
17． 1由 E为 PB中点，所以VE ABC V
1 1 1 1
P ABC 2 1 1 ．2 2 3 2 6
【详解】 （Ⅰ）根据题意补全 2 2列联表，如下：
1
所以三棱锥E ABCC的体积为 ．
选考物理 选考历史 总计 6
1 2
19．（1）分布列见解析， E X 1（人）；（2） ， .
男生 40 10 50 2 5
【详解】
女生 30 20 50
解：（1） X 的所有可能取值为 0，1，2.
总计 70 30 100 3 2 1
P X 0 C4 1 P X 1 C4C2 3 P X C
1C 2 1
3 ， 3 ， 2 4 2 .C6 5 C 5 C36 6 5
2 100 40 20 10 30
2
根据表中数据，可得K 4.762 3.841，故有 95%的把提认为“选考物理与性
50 50 70 30 所以 X 的分布列为：
别有关．” X 0 1 2
10 1
（2）根据题意，抽样比为 ，
100 10 1 3 1P
40 1
5 5 5
所以参加座谈会的人中，选考物理的男生人数为 4人，
10 X 的期望 E X 0 1 1 3 2 1 1（人）.
1
参加座谈会的人中，选考历史的女生人数为 20 2 5 5 5人
10 1
2 C1 1 P(AB) 2
故参加座谈会的人中，选考物理的男生和选考历史的女生分别有 4 人和 2 人. P B C5 1 P(AB) 4 P B | A 5（2） 3 ， 3 , .C6 2 C6 5 P(A) 1 5
18．【详解】（1）因为底面 ABCD为矩形，所以 BC CD， 2
又因为平面 PCD 平面 ABCD,BC 平面 ABCD，平面PCD 平面 ABCD CD， 6 920．（1） ；（2）分布列见解析， E .
11 11
所以 BC 平面 PCD，因为 PD 平面 PCD，所以 BC⊥PD，
解：（1）若两条棱相交，则交点必为正八面体 6个顶点中的 1个，
由 PC PD 2, CD AB 2，所以PC 2 PD2 CD2，所以 PD PC，
2 6C
2
4 36 6
又过任意顶点有 4 条棱，所以共有6C4 对相交棱，所以P 0 2 ；
又因为 BC PC C ,BC ,PC 平面 PBC，所以 PD 平面 PBC． C12 66 11
2

（2）由题意， 的所有可能取值为 0，1，2. 又 m,n [0, ]，且观察可得二面角 A PB C 所成的平面角为钝角，
若两条棱平行，则它们之间的距离为 1，一共有 6对，
所以二面角 A PB C 2的余弦值为
2
P 6 6 1 1 ， P 2 1 P 0 P 1
C2 66 11 1
6 1 4
，
5 5
12 11 11 11 2 222．解：（1）由表中数据可得 x 3， y 90， xi x 10， yi y 434
i 1 i 1
所以 的分布列为： n
5 xi x yi y
64， x x y y 64 r i 1，所以 0.97 0.75i i n n
i 1 4340
，
0 1 2 xi x 2 y y 2i
i 1 i 1
n
6 1 4
P xi x yi y
11 11 11 64所以可用线性回归模型拟合人数 y与天数 x之间的关系.而b i 1 n 6.4，
2 10
E 0 6
xi x
1 1 4 9 2 . i 1
11 11 11 11

AB / /CD AB PCD CD PCD AB / / PCD 则 a y bx 90 6.4 3 70.8 ，所以 y 6.4x 70.8，令 x 6，可得 y 109.2 .21．（I）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（Ⅱ）因为 ADC 90 ， AB / /CD，所以 AB AD， 答：8月10日到该专营店购物的人数约为109.
又因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCD AD，所以 AB 平面 PAD； （2）因为75:100 3: 4，所以从第1天和第5天取的人数分别为3和 4，从而3人取自不同天的种数为
（Ⅲ）因为 DP，DA，DC 两两垂直，以 D为原点，DA，DC，DP 为 x，y，z轴正方向建系，如图所示： 1 2 2 1 C
1 2 2 1
C C C C 3
C4 C3C4 6 6
3 4 3 4 ，所以概率 P 3 .答：这3人取自不同天的概率为 .
所以 A(2,0,0),B(2,1,0),C(0, 2,0),P(0,0, 2)
C7 7 7
，所以
（3）若选方案一，需付款1000 100 900元.
AP ( 2,0, 2),PB (2,1, 2),PC (0, 2, 2)，
若选方案二，设需付款 X 元，则 X 的取值可能为600，800，900，1000，

设平面 PAB 的法向量m (x1, y1, z1)， 1 3 2
则 P(X 600) C
3
1
3 ， P(X 800)
1 2 6
C 2 3 ，
m AP 0 2x1 2z1 0
3 27 3 3 27
则 ，即 ，令 x 1，则法向量可取
m
PB 0 2x1 y1 2z1 0
1
2 3
P(X 1 2 12 2 8 900) C1 3 ， P(X 1000) C
0 ，
ur 3 3 27 3 3 27
m = (1,0,1) ，
E(X ) 600 1 6 12 8 24200 2y 2z 0 所以 800 900 1000 900， n P C 0
27 27 27 27 27
同理设平面 PBC 法向量n (x2 , y2 , z2 )
2 2
，则
n
， ，
PB 0 2x2 y2 2z2 0 因此选择方案二更划算.
1
1 1 1
y 1 n ,1,1

令 ，则法向量可取 ，所以 cos m,n
m n 2 2 2 ，
2 m n 2 1
2
1 1
4
3