房山区2021-2022学年度第一学期（中学）期末考试参考答案
高三数学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B C A C D A B C D C
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） （12） （13）
（14）答案不唯一，如；等比数列中， （15）①③④
三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
（Ⅰ）
函数的最小正周期………...………………3（7）
（Ⅱ）选择条件①：
由的最大值为，可知，所以……………...…………2（9）
所以
因为，所以……………...………...………………...……………1
所以 当，即时， ……………………...…………………...………………2
取得最小值 ……………...………………...………………...………………2（14）
选择条件②：
由的一个对称中心为，可知，
所以 ……………...………………...…………………………...…………2
所以
因为，所以 ……...………………...………………1
所以 当，即时， ……...…………………...………………2
取得最小值 ………...………………...………………2（14）
（17）（本小题14分）
（Ⅰ）证明：因为，所以
又，，，
所以平面． ……...………………...…………………...………………...………3
（Ⅱ）证明：因为平面，
所以
又
所以两两互相垂直. ………………...……………...………………...………………1
如图以为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
…...………………...……………...………………...………………1
由,
可知，，，，，
，, ，
设为平面的一个法向量，
则，即， ….….….….….1
令则，所以， …...………………...…………………...………………1
设为平面的一个法向量，
则，即， …...………………...……………………...………………1
令则，所以，…...………………...……………………...………………1
则 ….………………...…………………...………………2
易知二面角为锐二面角
所以二面角的余弦值为. …...………………...………………...………………1
（Ⅲ）由， 得
因为
所以与平面不平行，所以直线与平面相交.………...……………1
在四边形中延长交的延长线于点.
点就是直线与平面的交点
易知，所以. ……………...………………...…………1
（18）（本小题14分）
（Ⅰ）由实验园的频率分布直方图得：
所以估计实验园的“大果”率为 ………………...………………...…………3
（Ⅱ）由对照园的频率分布直方图得：这个果实中大果的个数为：
个.
采用分层抽样的方法从100个果实中抽取10个，其中大果有个
………………...………………...…………1
从这10个果实中随机抽取3个，记“大果”个数为，
则的可能取值为， …………...….………………...…………1
……...………………4
所以的分布列为：
0 1 2 3
…………...….………………...……………...….………………..………1
所以 …………...….………………………………2
（Ⅲ） …………...….…………………………...….………………...…………2
（19）（本小题14分）
（Ⅰ）由离心率为，可得 …...….…………………...….……………………………1
因为为椭圆的上、下顶点，且，所以 即 , ……………1
又
解得 …...….…………………...….……………………………1
所以 椭圆的标准方程为 …...….…………………...….……………………………1（4）
（Ⅱ） 直线经过定点 ，证明如下： …...….…………...….……………………………1
①当直线的斜率存在时，设，()，
由，得， ….………….…...….…………...….………1
则 …...….…………...….…...….…………...….………1
设
则， ， …...….…………...….…...….…………...….………2
则 …...….…………...….………2
所以 …...….…………...….…...….…………...….………1
所以直线的方程为，即
所以 直线经过定点． …...….…………...….…...….…………...….………1
②当直线的斜率不存在时，设，，，
则
解得，
此时直线也经过定点 …...….…………...….…...….…………...….………1
综上 直线经过定点．
（20）（本小题15分）
（Ⅰ） …...….…...….…………...….…………...….…...….…………...….………2
由题意，公共切线的斜率，即 …...….…...….…………...….………1
又因为，所以切线方程为． …...….…...….…………...….………1（4）
（Ⅱ）设函数．
“曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一个零点”．
① 当时，
当时，，所以在单调递增．
又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．.….…………...….………3
② 当时，令 ，解得
与的变化情况如下：
0
↘ ↗
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故有且仅有一个零点，符合题意． ..….…...….…………...….…………...….…...….………3
③ 当时， 令，解得．
与的变化情况如下：
0
↘ ↗
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，
因为，，且在上单调递增，
所以
又因为存在 ，
使得
所以存在使得，
所以函数存在两个零点，与题意不符.…...….…………...….…………...….…...….…4
综上，曲线与有且仅有一个公共点时，
的范围是或. ...….…...….…………...….…………...….…...….…………...….1
（21）（本小题14分）
（Ⅰ）（或 ） . .…...….…………...….…………...….…...….3
（Ⅱ）必要性：因为数列是递减数列，
所以 ，
所以 是首项为，公差为的等差数列，
所以 .. .…...….…………...….…………...….…...….3
充分性：由于，，…，
所以 ， 即 ，
因为 ，所以 ，，
所以数列是递减数列.
综上，结论得证． . .…...….…………...….…………...….…...….3
（Ⅲ）令 ，
则 ．
因为 ，
，
，
所以
因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或 ．
当时，
数列的项满足，，时，
有，；
当时，
数列的项满足，，，时，
有，．
当，时，不能被整除，
此时不存在数列使得，． . .…...….…………...….…………...….…...….5
高三数学参考答案 2 / 4房山区2021-2022学年度第一学期期末考试
高 三 数 学
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
（1）已知集合，且，则实数取值的集合是
（A） （B）
（C） （D）
（2）复数的实部是
（A） （B）
（C） （D）
（3）在的展开式中，的系数是
（A） （B） （C） （D）
（4）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是
（A） （B） （C） （D）
（5）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清
明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，
立春当日日影长为尺，春分当日日影长为尺，则立夏当日日影长为
（A）尺 （B）尺 （C）尺 （D）尺
（6）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，
则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（7）“”是“直线与圆相交”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所
经过的区域构成的几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）
（9）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）
的关系为.下列说法中正确的是
（A）第5个月时，浮萍面积就会超过
（B）浮萍面积每月的增长率不相等
（C）浮萍每月增加的面积都相等
（D）若浮萍面积为，，时所对应的时间分别是，则
（10）某数学兴趣小组研究曲线和曲线的性质，
下面是四位同学提出的结论：
甲：曲线关于原点对称；
乙：曲线都关于直线对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的面积.
四位同学的结论中错误的是
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）抛物线的顶点到其准线的距离为 .
（12）在△中，，则____，△的面积____．
（13）如图，网格纸上小正方形的边长为. 从四点中任取两个点作为向量的始
点和终点，则 ；的最大值为 .
（14）无穷数列的前n项和记为．若是递增数列，而是递减数列，
则数列的通项公式可以为____．
（15）设函数 给出下列四个结论：
①函数的值域是；
②对，方程都有3个实数根；
③，使得；
④若互不相等的实数满足，则的
取值范围是.
其中所有正确结论的序号是____.
三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）在下列三个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，求函数在
上的最小值.
条件①：的最大值为；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）
如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）判断直线与平面是否相交，
如果相交，求出到交点的距离；
如果不相交，求直线到平面的距离．
（18）（本小题14分）
某种水果按照果径大小分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．一般的，果径越
大售价越高．为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验．其中实验园采用实验方案，对照园未采用．实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）．统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm及以上的为“大果”．
（Ⅰ）估计实验园的“大果”率；
（Ⅱ）现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中
随机抽取3个，记“大果”个数为，求的分布列和数学期望的；
（Ⅲ）以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取个，设其中恰有2个“大果”的概率为，当最大时，写出的值（只需写出结论）.
（19）（本小题14分）
已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的上、下顶点，
且.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于（不与点重合）两点，若直线与直线的斜
率之和为，判断直线是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.
（20）（本小题15分）
已知函数，函数，其中．
（Ⅰ）如果曲线与在处具有公共的切线，求的值及切线方程；
（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．
（21）（本小题14分）
若数列 满足，则称为数列．
记 ．
（Ⅰ）写出一个满足，且的数列；
（Ⅱ）若，证明数列是递减数列的充要条件是；
（Ⅲ）对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？
如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.
